2025届重庆市八中高三数学上学期12月考试卷附答案解析

届重庆市八中高三数学上学期12月考试卷本试卷满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．已知，且，则一定正确的是（）A． B． C． D．3．记的内角的对边分别为，已知，则（）A． B． C． D．4．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．设，则随机变量的分布列是:12则当在（1，2）内增大时（）A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大6．已知数列满足，记则（）A． B． C．2024 D．-20257．已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（）A． B． C． D．8．已知，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．在复平面内，下列说法正确的是（）A．复数，则在复平面内对应的点位于第一象限B．若复数满足，则C．若，则的最小值为1D．若是关于的方程的根，则10．在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，点在底面内运动（含边界），且平面，则下列结论正确的是（）A．存在点使得平面B．平面截正方体所得截面的面积为C．若，则D．直线与平面所成角的正弦值为11．已知函数，则下列结论正确的是（）A．存在实数使得恰有两个极值点B．若恰有三个极值点，则C．对任意的且，总存在实数使得D．存在实数，使得的图象没有对称轴三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知，若，则实数的取值范围为__________．13．在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点．设，当与的面积比为时，则的值为__________．14．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，点满足，且，若，则该双曲线的离心率是__________．四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）已知函数．（1）试讨论函数的单调性；（2）若直线与相切，求实数的值．16．（本小题满分15分）在整数中任取三个不同的数，并构造三条线段的长度恰好为这三个数．（1）当时，求这三条线段能构成的不同三角形个数；（2）当时，求这三条线段能构成最大边长为20的三角形的概率．17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，平面，且，连接．（1）求证:;（2）当与平面所成角的正切值为时，求棱的长．18．（本小题满分17分）设，点是抛物线上的动点，点到抛物线的准线的距离最小值为2．（1）求的最小值；（2）求的取值范围；（3）证明:．19．（本小题满分17分）已知递增数列的各项为正整数，前项和为，数列满足“对任意的，均有成立．且．（1）证明:数列为等差数列，并求的通项公式;（2）若的公差大于1，定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G-数列”，证明:①对任意且，存在“-数列”，使得成立；②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立．数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案BCADDCBC二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDACDBCD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案3四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1），当时，，函数在上单调递增，当时，在上，单调递减；在上，单调递增．（2）设切点为，则，显然为方程的根，又令，故在处取最小值，故方程只有这一个根，故．16．（本小题满分15分）解：（1）当时，一共有20种可能，其中能够构成三角形有：，一共7个．（2）设，20为满足题意的三角形的边长，不妨设，则．当时，若，不能构成三角形，若，若，…若，所以一共有81个，又因为在整数1，2，…，20中任取三个不同的数的总的方法数为．故所求的概率为．17．（本小题满分15分）（1）证明：由题可知四边形为矩形，过点在平面内作交棱于点，连接，因为，所以，又，所以，于是．又，所以∽，所以，因为，于是，所以，因为平面，，所以平面，于是，又，且、平面，所以平面，又因为平面，因此．（2）解：以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．设，则，所以，设平面的法向量为，则，即取，于是．设与平面所成角为，因为：所以，则，化简整理得，解得或2，所以棱的长为或6．（15分18．（本小题满分17分）（1）解：易知，抛物线，设点，则．记，则．因为，所以，解得．因为在单调递减，在单调递增，所以的最小值为，故的最小值为．（2）解：依题意可知，由或者【或者倒角公式】得：．①当时，则；②当时，，所以，则；③当时，，所以，则．综上，的取值范围是．（3）证明：由（2）知，且，所以．19．（本小题满分17分）证明：（1）取，则，即，递推，当时，，两式相减整理得：又：，两式相减整理可得：，由，当时，，即，所以对任意的，都有，所以是等差数列，由，可得：．∴．（2）由于，∴，设“数列”的公比为，且．①由题意，只需证存