高考数学真题分类练习专题18 等差数列与等比数列（解析版）

专题18等差数列与等比数列

十年大数据*全景展示

年份题号考点考查内容

等差数列与等比数等比数列的通项公式、前〃项和公式及等差数列的前〃项和公式，

2011文17

列综合问题逻辑思维能力、运算求解能力

理5等比数列问题等比数列通项公式及性质

2012

文14等比数列问题等比数列八项和公式

卷2文17等差数列问题等差数列通项公式、前几项和公式、性质，方程思想

2013住2理3等比数列问题等比数列的通项公式与前〃项和公式及方程思想

卷1文6等比数列问题等比数列前〃项和公式

卷2文5等差数列问题等比中项、等差数列通项公式及前〃项和公式

2014等比数列概念、通项公式、前〃项和公式及数列不等式证明，放缩

住2理17等比数列问题

思想

等比数列问题

卷2文5等比数列通项公式及方程思想

卷2文5等差数列问题等差通项公式、性质及前几项和公式

卷2理16等差数列问题数列前〃项和S”与小关系、等差数列定义及通项公式

2015等比数列问题

卷2理4等比数列通项公式及方程思想

等比数列问题

卷1文13等比数列定义及前〃项和公式

卷1文7等差数列问题等差数列通项公式、前F项和公式，方.程思想

卷2文17等差数列问题等差数列通项公式及对新概念的理解与应用，运算求解能力

等差数列与等比数

卷1文17等差数列通项公式、等比数列定义、前〃项和公式，运算求解能力

列综合问题

2016

卷1理3等差数列问题等差数列通项公式、前〃项和公式、性质

等差数列与等比数等比数列通项公式、等差数列前〃项和公式及二次函数最值问题，

卷1理15

列综合问题函数与方程思想

等比数列问题

卷3理14等比数列通项公式及方程思想

卷3理9等差数列问题等差数列通项公式及前〃项和公式、等比数列概念，方程思想

等差数列与等比数等差数列通项公式及前〃项和公式、等比数列通项公式及前〃项和

卷2文17

2017列的综合问题公式，方程思想

卷2理3等比数列问题等比数列定义及前〃项和公式及传统文化

等差数列与等比数

卷1文17等比数列通项公式、前〃项和公式及等差数列定义，方程思想

列的综合问题

卷1理4等差数列问题等差数列的通项公式及前〃项，方程思想

卷3理文17等比数列问题等比数列通项公式、前〃项和公式，方程思想与运算求解能力

卷2理文17等差数列问题等差数列的通项公式及前〃项和公式及前〃项和的最值，方程思想

2018

卷1文17等比数列问题等比数列定义、通项公式，运算求解能力

卷1理4等差数列问题等差数列通项公式与前〃项和公式，方程思想

等差数列问题

卷3文14等差数列通项公式与前〃项和公式，方程思想

2019卷3理5等比数列问题等比数列通项公式与前F项和公式，方程思想

等差数列与等比数

卷2文18等比数列的通项公式、等差数列定义及前〃项和公式，方程思想

列综合问题

等差数列与等比数等比数列的定义及通项公式、等差数列定义与通项公式，运算求解

卷2理19

列的综合问题能力

卷1文14等比数问题等比数列通项公式与前〃项和公式，方程思想

等差数列通项公式与前F项和公式及数列数列不等式问题，方程思

卷1文18等差数列问题

想

卷1理14等比数列问题等比数列通项公式与前〃项和公式，方程思想

卷1理9等差数列问题等差数列通项公式与前〃项和公式，方程思想

理

卷1

文10等比数列问题等比数列的性质，等比数列基本量的计算，方程思想

2020理4等差数列问题等差数列通项公式、前〃项和公式，方程思想，数学文化

卷2理6等比数列问题等比数列通项公式、前〃项和公式，方程思想

文6等比数列问题等比数列通项公式与前〃项和公式，方程思想

大数据分析*预测高考

考点出现频率2021年预测

考点58等差数列问题15/37

2021年高考仍将考查等差数列与等比数列定义、性质、

考点59等比数列问题13/37前〃项和公式，题型为选择填空题或解答题的第1小

题，难度为基础题或中档题.

考点60等差数列与等比数列的综合问题967

十年试题分类*探求规律

考点58等差数列问题

1.（2020全国n理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石

板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比

上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层

共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块

【答案】C

【思路导引】第〃环天石心块数为劣,第一层共有〃环，则｛%｝是以9为首项，9为公差的等差数列，

设S“为｛4｝的前〃项和，由题意可得S3〃—S2“=S2“—S“+729,解方程即可得到小进一步得到S3”.

【解析】设第〃环天石心块数为外，第一层共有〃环，则｛〃〃｝是以9为首项，9为公差的等差数列，

勺=9+（〃-1>9=9〃，设S”为｛%｝的前〃项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为

SnMn-SnHn-S*,因为下层比中层多729块，所以邑〃-=S?”一S〃+729，即

燮产一吟幽=网等一喈*729,即9/=729,解得"9.所以

§3“=%=27。+；*27）=3402,故选C-

2.（2020浙江7）已知等差数列｛an｝的前〃项和S”，公差d。0,：1.记a=S2,%=Srt+2-S2/J

下列等式不可能成立的是（）

A.2a4=a2+a6B.2b4=h2+b6C.a\-«2a8D.b：=b2b&

【答案】B

【解析】A.由等差数列的性质可知2%=%+4,成立；

B.b4=S5-S6=-a6,&=53-52=6，〃6=57-品=一（4+佝+40）=-3%，

若2%=与+4,贝ij一入=q-3%O2（为—4）二/一%，

即6d=-6dod=0,这与已知矛盾，故B不成立;

C.=出4O（4+3d）2=（4+d）（〃]+7d）,整理为：a、=d,故C成立;

D.々=S9-S[4=-（4（）+41+%+4+44）=一542,当〃；二&4时,即心2=4,（一5%）,整理为

（4+5d）2=—5（4+2J）（4+lld）,即242+25qd+45d2=0,,△＞（）,方程有解，故D成立.综上

可知，等式不可能成立的是B,故选B.

3.（2019•新课标I,理9）记S”为等差数列伍“｝的前〃项和.已知$4=0,%=5,则（）

-]、

22

A.an=2n-5B.an=3n-\0C.Sn=2n-SnD.Sn=^n-2n

【答案】A

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d,由§4=0,6=5,得

2

:.an=2n-5»Sn-n-4n,故选A.

4.（2018•新课标I,理4）记S,为等差数列｛q｝的前〃项和.若3S3=S2+W，q=2,则6=（）

A.-12B.-10C.10D.12

【答案】B

3x74x?

【解析lvSn为等差数列｛an｝的前n项和，3s3=S2+S4,q=2,二3x（3q+—^―d）=4+4+d+4q+—^―d,

把用=2,代入得d=-3，♦,.%=2+4x（—3）=70,故选B.

5.（2017•新课标I,理4）记S“为等差数列甩｝的前〃项和.若能+%=24,$6=48,则｛可｝的公差为（）

A.IB.2C.4D.8

【答案】C

q+3d+4+4d=24

【解析】由题知，:.I6x5，解得q=-2,d=4,故选C.

6a,+2d=48

6.（2017•新课标HI,理9）等差数列｛4｝的首项为1,公差不为0.若出,%，4成等比数列，则｛七｝前6

项的和为（）

A.-24B.-3C.3D.8

【答案】A

【解析】•.•等差数列｛q｝的首项为1,公差不为0.%，%，4成等比数列，••・〃；=%4，

.•.(q-2d)2=(4+d)(4+5d),且4=1,"=0,解得t/=-2,前6项的和为

56=^+—tZ=6xl+—x(-2)=-24,故选A.

7.(2016•新课标I,理3)已知等差数列｛%｝前9项的和为27,«10=8,则%0=()

A.100B.99C.98D.97

【答案】C

【解析】由题知，§9=2殁④=史华=9%=27,...6=3,又•.•%=8=%+5d=3+5d,.•.4=1,

/.a100=a5+95d=98，故选C

8.(2015新课标I,文7)已知｛%｝是公差为1的等差数列，S“为｛%｝的前〃项和，若58=4见，则4。=

()

1719

(A)—(B)—(C)10(D)12

22

【答窠】B

【解析】•••公差d=l,S8=4S4,J84+gx8x7=4(44+gx4x3),解得卬=；,/.

119

4o=q+9d=万+9=耳，故选B.

9.（2015新课标II,文5）设S”是等差数列｛2｝的前〃项和，若4+。3+%=3,则S$=（）

A.5B.7c.9D.11

【答案】A

5（a.+a.）

【解析】4+%=3q=3=%=1,S5=--------=5a3=5.故选A.

10.（2014新课标II,文5）等差数列｛%｝的公差是2,若%,（，%成等比数洌，则｛凡｝的前〃项和S,t=（）

〃5-1）

A.n（n+1）B.〃（〃一1）Lnx•

29

【答案】A

622

（解析】•・•4，①，4成等比数列，.==a2a8，即（4+）=（4+2）（4+14）,解得a,=2,Sn=n+n,

故选A.

11.（2017浙江）已知等差数列｛q｝的公差为d,前〃项和为S“，则“d>0”是

M

S4+S6>255"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】•・・（56-55）-（1-54）=4-6=（当4>0,可得54+56>2%当54+56>255，可得4>0.所

以“d>0”是“S,+S6>2s$”充分必要条件，选C.

12.（2015重庆）在等差数列｛《,｝中，若4=4,q=2,则〃6=<）

A.-1B.0C.1D.6

【答案】B

【解析】由等差数列的性质得%=2%—的=2x2—4=。，选B%=2.

13.（2015浙江）已知｛%｝是等差数列，公差d不为零，前〃项和是S”.若外,%，6成等比数列，则（）

A.a｝d>0,dS4>0B.a/v0,dS4<0

C.a｝d>0,JS4<0D.a]d<0,dS4>0

【答窠】B

【解析】由。3，4,%成等比数列可得：（4+3d）2=（4+2d）?（47d）,即3q+5d=0,所以q=-|d,

所以qdvO,又dS&=（4+：）?44=2（2q+3d）d=-|d2Vo.

14.（2014辽宁）设等差数列｛〃”｝的公差为d,若数列｛2%%｝为递减数列，则（）

A.d<0B.d>0C.ayd<0D.axd>0

【答案】C

【解析】•・•数列｛2“0｝为递减数列，a,an=a.[a]+（n-1）J]=a.dn+a,（a1-d）,等式右边为关于〃的一次

函数，・・・〃0<0.

15.（2014福建）等差数列｛〃”｝的前〃项和S“，若4=2~3=12,则必=（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【解析】设等差数列｛。“｝的公差为〃，贝!53=34+3〃，所以12=3乂2+3小解得d=2,所以％=12.

16.（2014重庆）在等差数列｛%｝中，q=2,4+%=1°，则的=（）

A.5B.8c.ioD.14

【答案】B

【解析】由等差数列的性质得4+%=4+%，因为4=2,43+%=1°，所以。7=8，选B.

17.：2013辽宁）下面是关于.公差d>0的等差数列｛〃“｝的四个命题:

P：数列｛4｝是递增数列;〃2：数列｛%｝是递增数列;

P3：数列｛肾｝是递增数列;

小：数列的+3〃d｝是递增数列;

其中的真命题为

%,Pa

A.p,,p2B.p3,p4C.〃2，P3D.

【答案】D

2

【解析】设4=4+（〃一l）d=dn+m,所以p｝正确：如果。“二3〃一12则满足已知，但〃=3n-\2n

并非递增所以P2错；如果若+则满足已知，但?=1+;，是递减数列，所以P3错；

an+3nd=4dn+m,所以是递增数列，正确.

18.（2012福建）等差数列｛4｝中，a,+a5=10,%=7，则数列｛4｝的公差为（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由题意有4+%=2%=10，6=5，又:包=7，・'・4一%=2，d=2.

19.（2012辽宁）在等差数列｛q｝中，已知处+为=脩，则该数列前11项和S“=（）

A.58B.88C.143D.176

【答案】B

【解析】a4+a8=2a6=16?.tz6=8,而S"=)=11《=88,故选B.

20.(2011江西)设｛q｝为等差数列，公差1二-2,S〃为其前几项和，若5o=S”，

则.二()

A.18B.20C.22D.24

【答案】B

【解析】由5o=S”，得《|=5”一£0=0,a[=«II+(l-ll)J=0+(-10ix(-2)=20.

21.(2011天津)已知｛%｝为等差数列，其公差为-2,且%是。3与%的等比中项，S“为｛6｝的前〃项和，

neN*,则So的值为

A.-110B.-90C.90D.110

【答案】D

【解析】因为%是由与。9的等比中项，所以，又数列M的公差为一2,所以

(4-12)2=(4-4)(4-16),解得4=20,故an=20+(n-V)x(-2)=22-2n,所以

5lo=12^d^!o)=5x(20+2)=110.

22.(2020北京8)在等差数列｛%｝中，，4=一9,^5=-1,记7；=。冏？…45=1，2,…)，则数列｛，｝

()

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】A

【解析】设公差为d,a5-ai=4d,即d=2,an=2n-ll,lWnW5使，an<0,n26时，an>0,所以n=4时，Tn

>0,并且取最大值：n=5时，Tn<0：n，6时.Tn<0,并且当n越来越大时,Tn越来越小，所以Tn无最小

项.故选A.

23.（2020上海7）已知等差数列｛凡｝的首项q工0,且满足％+《0=%，则"…+…'的=

。10

27

【答案】—

8

-rA,…f…+4。9q9（4+4d）27d27

［解析］由条件可知2。］+9d=4+8d=>q=-d，—~—---------=--=--------------=-------=—

%/q+9d8d8

27

故答案为：11.

8

24.（2019•新课标HI,理14）记S”为等差数列｛4｝的前〃项和，若。户0,&=3q,则&=—.

S$

【答案】4

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d,则由qwO,凡=3/可得，d=2a｝,...1」。（4+4。）

S$5（q+&）

_2（2%+94）_2（24+18q）_4

2q+4d2a｝+84

25.（2015•新课标H,理16）设数列｛q｝的前〃项和为S“，且q=T,%尸S.R,则S.=.

【答案】」

n

【解析】••・％川='+5,.・.5..「斗=5〃,瓦，］-白=1,又•.・％=-1，即1=一1，

，“+I5

...数列｛_!_）是以首项是-1、公差为T的等差数列，，_L=一〃，...5.=」.

s“snn

26.（2015安徽）已知数列｛/｝中，4=1,。“=。2+,（〃22）,则数列｛4｝的前9项和等于______

2

【答案】27

【解析】・・・q=l,q=41+5(/222),所以数列｛〃“｝是首项为1,公差为5的等差数列，所以前9项

和2=9+等4=27.

27.(2019江苏8)已知数列｛4｝(〃£N")是等差数列，S”是其前〃项和.若生织+4=0，§9=27,则Sg

的值是.

【答案】16

(4+d)(a+4d)+q+7d=0

｝q=-5

【解析】设等差数列｛2｝的首项为％,公差为"，则・c9x8,»，解得，

9a+——J=27d=2

.2

8x7/7

所以Sg=84+—-—=6x(—5)+15x2=16.

28.(2019北京理10)设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若〃2=-3,Ss=-10,则g=.Sn

的最小值为.

【答案】0,-10

ao=a.+d=—3",所以％=4+4d=0.

【解析】由题意得，《c…八，解得4

S5=ax•5+10t/=-10d=1

因为｛q｝是一个递增数列，且6=0,所以S”的最小值为邑或S5,54=S5=(-4)x4+-y^xl=-10.

29.(2018北京)设｛%｝是等差数列，且4=3,/+4=36,则｛6｝的通项公式为一.

【答案】14

q+2d=()

【解析】解法•设｛/｝的公差为d,首项为6,则《一，，

q+5d+q+6d=14

解得l4"-4,所以与=7X(-4)+23X2=14.

d=22

解法二2%+7d=14,所以d=2.故%=6+d=2,故S7=74=7x2=14.

30.（2018上海）记等差数列｛q｝的前儿项和为5“，若％=0，4+/=14,则S?=.

【答案】an=6n-3

【解析】设等差数列的公差为d,。2+6=4+4+4+4〃=6+51=36,/.d=6,/.

=3+（〃-1）♦6=6〃-3.

31.（2015广东）在等差数列｛4｝中，若“3+。4+G+。6+%=25,则。2+。8=.

【答案】10

【解析】由6+%+%+。6+%=25得56=25,所以〃5=5,故％+网=2%=1。.

32.（2014北京）若等差数列｛为｝满足生+6+%>。，%+4o<。，则当〃=_时

｛〃〃｝的前〃项和最大.

【答案】8

【解析】•・•数列｛4｝是等差数列，且%+%+为;延>0,0s>0.又％+40=6+。9<0，・・・49<0.当

〃=8时，其前〃项和最大.

33.（2014江西）在等差数列｛七｝中，4=7,公差为d,前〃项和为S.，当且仅当〃=8时S”取最大值，

则d的取值范围.

【答案】

8

d<0

7

【解析】由题意可知，当且仅当〃=8时鼠取最大值，可得｛6>0,解得T<d<一-.

8

〃9<0

34.（2013广东）在等差数列｛""｝中，已知“3+4=1°,则应+生=.

【答案】20

【解析】依题意2a［十94=1。，所以34十勺=3（4十4〃）十/十64二4%+184=20.

35.（2012北京）已知｛〃“｝为等差数列，S”为其前〃项和.若6=；，$2=〃3，

则a2=；Sn=.

【答案】1,幽出

4

【解析】设公差为d，贝i」24+d=q+2d,把4=1代入得d=.・.生=1,=-«（/?+1）

224

36.（2012江西）设数列｛《｝,｛〃』都是等差数列，若4+伉=7,6+4=21,则为+4=.

【答案】35

【解析】因为数列｛%｝,｛包｝都是等差数列，所以数列｛4+2｝也是等差数列.故由等差中项的性质，得

（%+么）+（4+4）=2（4+4），即（%+仇）+7=2x21,解得々5+4=35.

37.（2012广东）已知递增的等差数列｛《｝满足q=1,%=嬉一4,则〃“=—.

【答案】an=2n-｛

［解析］4=1,%=出-4o1+2d=（1+d）z—4od=2=。”=2n-l

38.（2011广东）等差数列｛4｝前9项的和等于前4项的和.若q=l,4+%=。，

贝必二.

【答案】10

9x84x31

【解析】设｛〃“｝的公差为d，由S9=S4及4=1,得9x1+——d=4xl+--d,所以d=--.又

226

4+%=0,所以［1+（攵_1）X（_，）］+［1+（4_1）X（_L）］=0,即％=10.

39.（2019•新课标I,文18）记S”为等差数列｛/｝的前〃项和，已知Sg=-q.

（1）若％=4，求｛《｝的通项公式；

（2）若4>0,求使得5”之见的〃的取值范围.

【解析】（1）根据题意，等差数列｛4｝中，设其公差为d,

若Sg=—&,则s9=（4+?）x9=9a5=_/,变形可得4=0,即q+4d=0,

若4=4,则"=^^=-2,

则an=a3+（n-3）d=-2n+10,

〃（〃一1）八/八」

c+----Ld>a.+（n-Y）d

⑵若S〃2,则2,

当〃=1时，不等式成立，

^>d-a

当"22时，有2,变形可得（，L2）dN-2q,

(n-2)(—^)>-2«(

又由$=-4，即S9=（q+yx9=%=_5,则有火=°，即4+4d=0,则有4

又由q>0,则有〃《10,

则有24〃410,

综合可得：2OW10,〃GN.

40.（2018•新课标H,理（文）17）记S“为等差数列｛/｝的前〃项和，已知4=-7,S3=-15.

（1）求｛4｝的通项公式;

（2）求S”，并求S”的最小值.

【解析】（1）•・•等差数列｛q｝中，q=—7,S3=-15,

:.a.=-7,3a.+3J=-15,解得q=-7,4=2,

/.an=-l+2（n-1）=2〃-9；

（2）d=2,4=2〃-9,

/.Stl=]（4+q）=5（2〃2-16〃）=〃2-8〃=（〃-4）2-16»

.♦.当〃=4时，前八项的和S”取得最小值为-16.

41.（2016•新课标H,文17）等差数列｛qj中，q+q=4,A+%=6.

（I）求｛七｝的通项公式；

（11）设d=[《]，求数列｛4｝的前10项和，其中[幻表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.

【解析】（I）设等差数列｛为｝的公差为d,

,/ciy+a4=4,4+%=6.

J2q+5d=4

一+10d=6'

4=]

解得：\2，

d=—

5

23

:.a=-n+-：

"n55

（II）-：bn=[an]f

b、=b?=a=1,

b4=b$=2,

=b<=4=3,

4=Ao=4.

故数列｛么｝的前10项和So=3x1+2x2+3x3+2x4=24.

42.(2013新课标U,文17)已知等差数列｛〃”｝的公差不为零，4=25,且4,。“，。门成等比数列•

(I)求｛。“｝的通项公式；

(II)求4+/+%+…+；

【解析】(I)设｛%｝的公差为d,

由题意，"11="1013'

即回+101)2=%(4+12"),

•・,q=25,

，d=0(舍去)或d=-2,

cin—In+27；

(II)令S*=4+%+%+…+a3n-2

由(I)知，a3n_2=-6n+3i,

•••｛6皿｝是首项为25,公差为-6的等差数列，

**•S“=耳(q+。3”-2)二耳(一6〃+56)=-3〃~+28〃.

43.(2014浙江)已知等差数列｛q｝的公差d>0,设｛4｝的前〃项和为S“，4=1,

52-S3=36.

(I)求d及S”；

(II)求见A(，n,keN")的值，使得am+am+l+am+2+…+am+t=65.

【解析】(I)由题意，(2q+d)(3q+&/)=36,

将4=1代入上式得d=2或d=—5,

因为d〉0,所以d=2,从而〃“二2〃-1,S”=*(neN*).

(II)由(1)知，+。“+]+…+=(2机+2—1)(左+1),

所以(2m+A—1)/+1)=65,

由m,kwN.知，(2〃7+2—1)(%+1)>1,

一2tn+Z:-1=13〜[m=5

所以《，所以4

44.(2013福建)已知等差数列｛凡｝的公差d=l,前〃项和为S..

:I)若I,4,4成等比数列，求6；

[II)若§5>4%，求〃1的取值范围.

【解析】(I)因为数列｛%｝的公差d=l，且1,%,七成等比数列，

所以4：=1x(4+2),

即q2—4—2=0,解得4=-1或4=2.

(H)因为数列｛《｝的公差d=l,且Ss〉4%,

所以5q+10>4；+8%.

即q2+3q-10<0,解得一5<“<2

45.(2011福建),已知等差数列｛%｝中，生=-3.

(I)求数列｛为｝的通项公式；

(H)若数列｛4｝的前2项和&=-35,求A的值.

【解析】(I)设等差数列｛%｝的公差为"，则4=4+5—1)”.

由4=1,%=-3可得1+2d=-3.

解得d=-2.

从而，=1+(1)x(—2)=3—2几

(II)由⑴可知勺=3-2〃，

叩+(3-2〃)]

所以=-------------=2n-n2.

〃2

进而由£=一35可得24-k2=-35,

即左2—24—35=0,解得％=7或1=一5.

又々wN*,故％=7为所求.

46.(2013江苏)设｛4｝是首项为a,公差为d的等差数列(d工0),S”是其前〃项和.

记,=〃，/?GN*,其中。为实数.

n+c

(I)若c=0,且“，b『打成等比数列，证明：S欣=/s4化〃£N*)；

(II)若圾｝是等差数列，证明：c=0.

【证明】（I）若c=0,则2=a,neN\又由题S”=〃。+生上㈣，

n2

,Sn-\1,

••2=——n=a+^~Jd，：也t+1-L>=小，

n22

.•.｛〃』是等差数列，首项为。，公差为（dwO）,又用bv4成等比数列，

22

:.b；=帅4,(a+y)=a(a+^-)»，ad+?=。(弓)，•.•〃力(),:.d=2a,Sn=na.

22222X

Snk=(nk)a=nka,nSk=rrk~a,Snk=nSk(k,nGN).

(ID由题勿=乎」，〃wN”，或J''T)d],若gj是等差数歹九

n+c2(n+<?)

则可设4=x+y〃，％,y是常数，"[2"+,(〃"'1=/+/关于〃€N*恒成立.

2(/r+c)

整理得：(d-2y)/+(2Q-d-2x)ir-2cyn-2cx=0,

关于力wN*恒成立.2y=0,2。一/一24=0,2。，=0,2以=0,

:.d=2y^0,2a-2x=d,cy=Qiex=0,.\c=0..

考点59等比数列问题

1.（2020全国I文10）设｛%｝是等比数列，且4+外+4=1,%+生+包=2,则。6+%+仰=（）

A.12B.24C.30D.32

【答案】D

【思路导引】根据已知条件求得9的值，再由％+%+仆=炉（4+/+%）可求得结果.

【解析】设等比数列｛为｝的公比为g,则4+/+q=q（i+q+q2）=i，

%+%+%=44+4屋+4/=qq(l+q+q2)=q=2,

「.4-%+%=a"+a/+调=0十夕+/)=g=32,故选D.

2.(2020全国II文6)记S〃为等比数列｛4｝的前八项和.若%-%=12,%-4=24,则」

%

:)

A.2fl-lB.2-2~C.2-2〃TD.2l-n-l

【答案】B

【思路导引】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列

的通项公式和的〃项和公式进行求解即可.

s〜，的4一%/=12[q=2

【解析】设等比数列的公比为4,由%-%=12,%-%=24可得：\\'=>｛,

4g5fq3=%3=11

.・・4==2"T,S“二4QT)二上二二2“-1,因此2=三==2-2『”，故选B.

\-q1-2atl2

3.(2020全国II理6)数列｛。“｝中，at=2fam+n=a,flan,若%M+4+2+…+%HO=2"一25,则&=

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【思路导引】取用二1，可得出数列｛4｝是等比数列，求得数列｛q｝的通项公式，利用等比数列求和公式

可得出关于2的等式，由ATEN*可求得上的值.

(解析]在等式4"+"=4M,中，令m=1,可得/+i=〃M=2a”，「•=2,

所以，数列应｝是以2为首项，以2为公比的等比数列，则4A=2X2"T=2',

^.(1-210)2A+1-(1-210)

=2*+,(2,0-1)=25(2,0-1)»

•••4+|+4+2+一.+%+101-2-1-2

/.2"+,=25>则女+1=5,解得々=4.故选：C.

4.（2019•新课标【II,理5）已知各项均为正数的等比数列｛七｝的前4项和为15,且4=3/+%，则。3=（）

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

【解析】设等比数列｛〃“｝的公比为,3>0）,则由前4项和为15,且q=3%+4区，有

4甘小八用』5,生*=4,故选C.

5.（2017•新课标H,理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍

加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下

一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏

【答案】B

【解析】设塔顶的4盏灯，由题意｛为｝是公比为2的等比数列，.•.$=军12=381,

解得4=3,故选5.

6.（2015•新课标H,理4）已知等比数列｛%｝满足q=3,4+%+%=21,则/+%+%=（）

A.21B.42C.63D.84

【解析】•/«）=3>a[+/+%=21,q（l+q2+4，）=21,夕4+如+1=7,..q4+炉一6=0,

:.q1=2,/./+G+。7=4(/+g4+</6)=3x(2+4+8)=42,故选8.

7.（2015新课标II,文9）已知等比数列｛〃“｝满足4="心火=4（包一1），则。2=（）

A.2B.1C.-D.L

28

【答案】C

［解析］由题意可得=4（q_1）=。4=2,所以4q,故a=aQ=L，选

2-因一2

C.

2

8.（2013新课标I,文6）设首项为1,公比为:的等比数列｛%｝的前n项和为S“，则

A.Sn-2an—1B.Sn-3an-2C.Sn-4-3anD.S“一3-2a,t

【答案】D

i2

1—cin

【解析】S『—好=3—2%,故选。

1--

3

9.（2013新课标II,理3）等比数列｛凡｝的前n项和为S”，已知S3=〃2+l°q，6=9，