高考数学复习专题29《定义法或几何法求空间角》讲义及答案

专题29定义法或几何法求空间角

一、单选题

1.在长方形A8CO中，AB=2AD,过A。，BC分别作异于平面ABC。的平面a,/3,若二口户=/,则/

与8。所成角的正切值是（）

A.—B.1C.2D.4

2

2.在正方体E为棱4A的中点，则异面直线EG与AD所成角的正切值为（）

A.—B.在C.@D.—

2222

a

3.已知三棱柱qG的侧棱与底面垂直，体积为一，底面是边长为"的正三角形，若P为底面

4

A8C的中心，则P4与平面A8C所成角的大小为（）

5左八冗「兀c九

A.—B.—C.-D.一

12346

4.空间四边形ABC。中，AB、BC、8的中点分别是P、Q、R,且PQ=3,QR=5,PR=7,那么异面直线

AC和瓦）所成的角是（）

A.30°B.60C.120°D.150°

5.如氨，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M、N分别是BC和AG的中点，则MV与

A用所成角的余弦值为（）

6.如图在四面体QA3C中，PC_L平面ABC,AB=BC=CA=PC,那么直线AP和C8所成角的余

弦值：）

7.如图所示，点P是二面角a-A3-夕楂上的一点，分别在a、4平面内引射线PM、PN,若

/BPM=NBPN=45°,/MPN="、那么二面角。一48一夕的大小为（）

A.60B.70°C.80D.90

8.如图，是正方体，4g=。6=：4片，则8耳与。耳所成角的余弦值是（）

9.在长方体ABC。—AgGR中，AA.=AD=\,AB=2,P、。分别为上底面的边A。、CO的中

点，过P、Q的平面与底面交于R、s两点，R、s分别在下底面的边用G、4与上，4s=g,

平面PSR。与棱AA交于点T，则直线灯与侧面4ROA所成角的正切值为（）.

5

A.-

2

B.2

C.6

D,或

2

10.如图，在正四棱锥P—A8CD中，设直线与直线OC、平面43CD所成的角分别为。、夕，二

面角「一8一"的大小为贝（）

A.a>p,y>pB.a>p,y<p

C.a<P，y>。D.a<p,y<p

11.己知在正方体48co—A4G。中，M，N分别为AQ,AC上的点，且满足AO=3MO,

AN=2NC,则异面直线MN与GA所成角的余弦值为（）

A.柜B.立C.在D.正

5534

12.如图所示，已知正方体ABC。-A4GR,则直线GA与平面A3C所成的角为（）

DiG

A.30。B.45°C.60°D.90°

13.如图，四棱锥尸一ABC。中，ABC。为矩形，平面PAO_L平面ABC。，PA=PD,。是线段PC上

的点（不含端点）.设AQ与所成的角为AQ与平面ABC。所成的角为夕，二面角Q-AB-C的平

面角为/,则（）

A.a<p<yB.P<a<yC.y<p<aD.p<y<a

14.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖瞒.在鳖嚅A3CD中,

ABJL平面BCQ,且48=3。=CO,则异面直线AC与3短所成角的余弦值为（）

x/3

rV3

V-.----.~T

15.已知长方体4?。。-4片6口的高儿4=2,47=2遥，44=乂4。=丁，则当工+》最大时，二面

角A一qA—G的余弦值为（）

<15c.正

—

二、多选题

16.在正方体ABQ>4SGa中，E,F,G分别为BC,CG,8囱的中点，则（）

A.DDA.AF

B.BG〃平面AEF

C.异面直线4G与政所成角的余弦值为巫

D.点G到平面AEF的距离是点。到平面AM的距离的2倍

17.在棱长为1的正方体中中，点尸在线段上运动，则下列命题正确的是（）

A.异面直线C|P和C4所成的角为定值

B.直线。。和平面BPG平行

C.三棱锥8PG的体积为定值

D.直线CP和平面A所成的角为定值

18.20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人

工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态.

其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点，14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方

体“切”去8个“角”后得到的几何体.已知一个立方八面体的棱长为1,则（）

它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2

它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直

它的体积为逆

3

D.它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等

三、解答题

19.如图，在四棱锥/M8CO中，平面PBC_L平面4BCDN8OC=90。，BC=T,BP=5PC=2.

（1）求证：CO_L平面PBD；

（2）若与底面PBC所成的角为:，求二面角B-PC-。的正切值.

20.如图所示，平面A8E凡L平面ABC,四边形A8E/是矩形，AB=2,AF=20，△ABC是以A为直角

的等腰直角三角形，点P是线段8尸上的一点，P尸=3.

Pi

A

B

(1)证明：AC_LBF；

(2)求直线BC与平面布。所成角的正切值.

21.如图AB=BD,NA8力=60。，平面88_L平面ABD,E、F、G分别为棱AC、CD、A。中点.

(1)证明：E/LL平面3CG；

(2)若8。=4,且二面角A—8尸一O的正切值为遥，求三棱锥G—8E尸体双.(注意：本题用向量法求解

不得分)

22.公ABC中,AB=AC=y/5>BC=2,E,F分别是边AB,AC上的点，且EF7/BC,AHLBC

于〃，A/n£F=O,将上“沿折起，点A到达A',此时满足面4巴尸_1_面吕CF石.

AP5

(1)若一=-,求直线48与面BCfE所成角大小;

EB3

（2）若E,尸分别为AB,AC中点，求锐二面角A—8后一。的余弦值；

（3）在（2）的条件下，求点△到面A'CF的距离.

23.在四棱锥P—ABCO中，AD//BC.BCtCD,ZABC=120°,A£>=4,5c=3,AB=2,

CD=6CE，APA-ED.

（1）求证：。石_1_面庄〃：

（2）已知点尸为A3中点，点尸在底面ABC。上的射影为点Q,直线4P与平面A8CQ所成角的余弦值

为立，当三棱锥尸的体积最大时，求异面直线尸8与。尸所成角的余弦值.

3

24.如图，已知四棱锥A—BCDE1中，8C_L平面ADC,乙48=45°，DE//BC,AC=BC=2DE,

EA=EB，?是AB的中点.

（I）求证：EF〃平面ACO；

（II）求直线A8与平面88七所成角的正弦值.

25.如图，在矩形A6CD中，AB=35BC=3,沿对角线8。把折起，使点C移到点（7,且

C在平面ABD内的射影O恰好落在AB上.

oA

(1)求证：AD1BC；

(2)求证：平面DBC1.平面ADC；

(3)求二面角C—AO—B的余弦值.

26.如图，已知三棱锥P-ABC中，AB=AC=PA=PB=2,BC=2丘,。为8c的中点.

P

(1)求证：PD.LAB；

⑵若PD=B求PO与平面PAC所成角的正弦值.

27.如图，三棱柱ABC-A4G中，44_1_平面ACCA，ZOL4)=60°,AB=A4,=1,AC=2.

(I)证明：例_LBC；

(II)求直线A片与平面ABC所成角的正弦值.

28.如图，在平面四边形4ABe中，NC43=NC4'A=90。，AfA=A'C.AB=AM=MC,A4ZC绕

AC旋转.

（1）若AA'AC所在平面与AABC所在平面垂直，求证：AC_L平面AA5.

（2）若二面角A'—AC—8大小为60。，求直线43与平面ABC所成角的正切值.

29.如图，多面体48coE/中，四边形A8CO是菱形，ZABC=60%F4_L平面ABC。,

FA/皿AB=FA=2ED=2.

（1）求二面角FBCA的大小的正切值；

（2）求点E到平面AR7的距离；

（3）求直线AC与平面A3F所成的角的正弦值.

30.如图，三棱台ABC—Z）斯中，/ABC=90'，AC=2AB=2DF,四边形ACFD为等腰梯形,

ZACF=45,平面A8EO_L平面4CFD.

(I)求证：ABLCF；

(ID求直线与平面48c所成角的正弦值.

专题29定义法或几何法求空间角

一、单选题

1.在长方形A8CO中，AB=2ADf过A。，BC分别作异于平面ABC。的平面a,。,若二口户=/,则/

与8。所成角的正切值是()

A.—B.1C.2D.4

2

【答案】C

【分析】

将异面直线平移到同一平面ABC。中即有/与8。所成角为NAD3,即可求其正切值.

【详解】

由4Q〃8c及线面平行的判定定理，得ADH。,

再由线面平行的性质定理，得AD//1.

所以/与所成角是NADB，从而tanNA£>8=2.

故选：C.

【点睛】

思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过京移直线，把异面直线的问题

化归为共面直线问题来解决：

(1)平移：平移异面直线中的一条或两关到同一平面内；

(2)认定：确定异面直线所成的平面角；

jr

(3)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,耳］,当角为钝角时，应取补角作为两条异面直线所成的

角.

2.在正方体48co—4⑸GA，£为棱AA的中点，则异面直线与所成角的正切值为()

BTC-TD-T

【答案】c

【分析】

利用正方体A8CO—44GR中，B,C,；MD,将问题转化为求共面直线EQ与&G所成角的正切值,

在VGgE中进行计算即可.

【详解】

在正方体ABC。-A旦GR中，BCJ/AD,所以异面直线EG与AO所成角为NEC£,

如图设正方体边长为2a，则由E为棱AA的中点，可得AE=〃，所以4七=扇,

B[E_\/5a_岳

则tanNECM=鬲一五一彳

故选:C.

【点睛】

求异由直线所成角主要有以下两种方法：

几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的

三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.

向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取

绝对值即为直线所成角的余弦值.

Q

3.已知三棱柱ABC-A,qG的侧棱与底面垂直，体积为；，底面是边长为Q的正三角形，若尸为底面

4

A4G的中心，则R4与平面48c所成角的大小为（）

【答案】B

【分析】

根据三棱柱ABC-44G的体积公式，求得。p二石，结合线面角的定义，即可求解.

【详解】

如图所示，底面是边长为百的正三角形，可得S&^c=」xGxGxsin60〉=乎，

设。点是AABC的中心，所以匕铲A.=50记-0尸=3叵•。尸=2,解得OP=JL

又由0A=xx—=1,

23

在直角△O4P中，可得tan/OAP=2C=Y>=石，

OA1

式71

又0</。4。<一,所以/。4尸二一.

23

故选：B.

4点〜力——7\B

G

4.空间四边形ABC。中，AB、BC、CO的中点分别是P、。、R,且PQ=3,QR=5,PR=L那么异面直线

AC和6。所成的角是（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】B

【分析】

由异面直线所成角的定义确定异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算.

【详解】

•・・AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R,：,PQ//AC.QR//BD,

工异面直线AC和BD所成的角是/PQR（或其补角）,

PQ'QR-P居_32+52_72__j_

△PQR中cos/PQR=,NPQR=120。，

2PQQR--2x3x5~~2

・•・异面直线AC和BD所成的角为60°.

故选：B.

5.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形,M、N分别是BC和AG的中点，则MN与

L•——

5105。・噜

【答案】D

【分析】

取AK的中点连接PN、PB，设P3C1A四=Q,证明出四边形8MNP为平行四边形，可知异面直

线MN与A片所成的角为NAQ3或其补角，设43=2,计算出△ABQ三边边长，利用余弦定理计算出

cosNAQB,即可得解.

【详解】

取44的中点尸，连接PN、PB，设尸BnA4=Q,设AB=2,

・・・P、N分别为4与、AG的中点，则PN〃B£且PN=gBG，

在正三棱柱ABC-AQG中，BC〃与G且旦G，

•・•M为8C的中点，所以，BM//PN且BM=PN,

则四边形BMN尸为平行四边形，所以，MNHPB,

所以，异面直线MV与A耳所成的角为NAQ8或其补角,

=2近,PB=小PB；+BB；=岳,

・.・A4〃AB,嗤嚼嚼=；..AQ=|明呼,BQ1PB=*

由余茏定理可得cosNAQB=AQ十颂,

2AQBQ10

因此，MN与A与所成角的余弦值为巫.

10

故选：D.

【点睛】

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面

直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两袋,作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

I八TC

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是［0,耳，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面

直线所成的角.

6.如图在四面体BA8C中，PC_L平面ABC,AB=BC=CA=PC,那么直线AP和CB所成角的余

弦值（）

【答案】A

【分析】

设AB=8C=C4=PC=2,分别取43,AC,PC的中点连接DE,EF,DF,CD,则

DE//BC,EF//AP,所以/DEF（或其扑角）就是直线AP和C3所成的角，根据三角形的余弦定理可求

得选项.

【详解】

设AB=BC=C4=?C=2,分别取48,4。，尸。的中点。,瓦尸，连接DE,EF,DF,CD,

则DE〃BC,E尸〃AP,所以NDEF（或其补角）就是直线AP和C5所成的角，

又PC_L平面ABC,DCu平面A8C,所以尸C_LDC,所以0尸={FC?+DC?=,产+=2,

又OE=，8C=1,FE=-AP=y/2f所以在△7）瓦'中，

22

。炉+律―。尸2_产+（闾-2?72

cos/.DEF=

2DExEF2x1x754

所以直线AP和CB所成角的余弦值为—.

本题考查求异面直角所成的角，平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线,

把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

(1)平移：平移异面直线中的一条或两务，作出异面直线所成的角;

(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,5,当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面

直线所成的角.

7.如图所示，点P是二面角-万棱上的一点，分别在。、4平面内引射线PM、PN,若

NBPM=NBPN=45，NMPN=60'那么二面角。一43一夕的大小为()

A.60B.70C.80D.90

【答案】D

【分析】

过48上一点。分别在。、/内做A8的垂线，交PM、PN于点M、N,则NMQN即为二面角

一夕的平面角，设尸Q=a,通过解三角形即可求出答案.

【详解】

解：过A8上一点。分别在1、夕内做AB的垂线，交PM、PN于点M、N,

则NMQN即为二面角。一43-尸的平面角，如下图所示：

设PQ=a,NQPN=NQPM=45,

：,QN=QM=a,PN=PM=回，

又♦：NMPN=&y,工LMPN为等边三角形,则MV二缶，

222

•9•QN+QM=MNf

・•・NA1QN=90,

故选：D.

8.如图，48。。一4片£。|是正方体，4耳=。6=；44，则B居与所成角的余弦值是（

)

D,正

2

【答案】A

【分析】

通过平移直线求得异面直线所成的角，再由余弦定理即可得解.

【详解】

过点A在平面A844内作AfV/Of；,再过点用在平面4内作&E//A/，如图,

则ZBE.E或其补角即为8巴与DF｝所成的角,

因为ABC。—A耳是正方体，不妨设4G==4A4=1，

4

2

则BE=—AB=2,BE]=EE1=>/4+1=VF7»

BE；+EE-BE?17+17-415

所以在△§££：中,cosNBE[E=

2xVF7xVF7-17,

故选：A.

9.在长方体—中，AAi-AD-I,AB=2,"、。分别为上底面的边A。、8的中

点，过P、。的平面与底面4妫G。交于R、S两点，R、S分别在下底面的边用0、4⑸上，B1S=g,

平面尸SR。与棱A4交于点丁，则直线7S与侧面AROA所成角的正切值为（）.

B.2

C.6

D.6

2

【答案】A

【分析】

4S

根据题意画出图形，通过分析可知，直线7S与侧面ARD4所成角为幺75,则tan/4/S=六，然后

根据图形中的几何条件分析计算出AT及AS的长度即可解得答案.

【详解】

延长P7和SR交于点E,连接QR,AG，

•・•PQU平面ABCD，平面ABC。〃平面AB£D1,

：.尸。〃平面ABCQ,

又尸Qu平面PQRS,且PQRSflABCR=RS,

APQ//RS,乂PQ〃AG

・・・&s〃AG，・,・%JR=3J,

A81--2-4

又B£=AD=l,：.BiR=—,

AA,ESsAB、RS,

1

As空s2-

==-33

AE-4R-1=2,且AS=A4_B1S=p,・・・AE=G，

4-

APA.E11

丁AAPTsAA[ET,,且==不，

A/A/22

3

.V_A^_4_3

,•---~-又AT+AT=A^=1,

ATAP2

2

根据线面夹角的概念可知，直线0与侧面4RD4所成角为幺方，

3

则tanZVS=^=]=|

5

故选：A.

【点睛】

本题考查直线与平面夹角的计算问题，利用定义法求解线面夹角时，一般步骤如下：

(1)找出斜线在平面内的投影，或根据题目条件通过作辅助线找到投影，找到所求角;

(2)根据几何条件计算所求角所在三角形的各边长；

(3)根据解三角形的方法计算所求角的三角函数值.

10.如图，在正四棱锥P—A5c。中，设直线与直线DC、平面ABC。所成的角分别为a、4，二

面角P—CO—8的大小为了，则()

A.«>/?,/>/?B.a>P，y<P

C.a<p,y>pD.a<P，y<fi

【答案】A

【分析】

连接AC、B力交于。，连尸O,取CO的中点E,连OE、PE,根据正棱锥的性质可知，4PCE=a,

4PC0=。，/PEO=y,再比较三个角的正弦值可得结果.

【详解】

连接AC、BD交于0,连PO,取CO的中点E,连OE,PE,如图:

因为A3//CD,所以NP84=a,又因为四棱锥P—A3CD为正四棱锥，所以/PCE=a,

由正四棱锥的性质可知，PO_L平面A68,所以NPCO=〃，

易得。E_LCZ),PELCD,所以NPEO=y,

PFpc

因为sina=正，sinp=,且PE>PO,所以sin。>sin/7,又a,£都是锐角，所以a>£,

POPO

因为sin/=—,sin〃=——,且PC>PE,所以sin/>sin£,因为£,7都是锐角，所以

PEPC

故选：A

【点睛】

关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到

这三个角是解题关键，属于中档题.

11.已知在正方体ABCD-AHGD中，M，N分别为A。，AC上的点，且满足AO=3MO,

AN=2NC,则异面直线MN与GA所成角的余弦值为（）

A.还TD邛

5-5

【答案】A

【分析】

取线段AOI二一点£，使AE=2E£＞，连接ME，NE,证明4/NE（或其补角）为异面直线MV与GR

所成的角，在△“可£中求出此角的余弦艮」可.

【详解】

取线段A。上一点£，使AE=2ED，连接ME,NE,如图所示,

MDCNDE1

因为A。=3MD,2NC,所以而二万~AD~3

所以NE//CD,ME//AA,,

又CDUC\D\,所以易知/MAE（或其补角）为异面直线MN与GA所成的角・

正方体中A%J_平面ABC。，NEu平面ABCD,所以AAJ.NE,所以MELNE

21

设该正方体的棱长为3〃，则EN=§C£>=2。，ME=-AAl=a,

所以在孜△MNE中，MN=dME、EN2='/+（㈤2=&,

EN_2a_2x/5

所以cos/MN£=

故选:A.

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，解题时需根据定义作出异面直线所的角，并证明，然后再计算.

12.如图所示，已知正方体,则直线G"与平面43c所成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】

把G4与平面48C所成的角转化为A冉与平面48。所成的角，根据线面垂直的判定定理，证得Aq

平面ABC,得到N旦AO为4片与平面A3C所成的角，在直角△Ago中，即可求解.

【详解】

由题意，在正方体ABC。—48cA中，可得A8J/G。，

所以直线与平面A8C所成的角，即为A4与平面A/C所成的角,

连接交A出于点。，可得

又由6C_L平面ABgA,因为AB|U平面A3片A，可得8C_LA用

由线面垂直判定定理，可得44_L平面ABC,

所以N与A0为A片与平面\BC所成的角，

设正方体—的棱长为1,可得片0=孝，

在直角2^4耳。中，sinNgA,O=W=立，

AB、2

因为/用4。£（0。,90）,所以/&40=45°.

故选：B.

13.如图，四棱锥尸一ABC£＞中，ABC。为矩形，平面Q4D_L平面ABC。，PA=PD,。是线段PC上

的点（不含端点）.设AQ与8C所成的角为。，AQ与平面A8CO所成的角为夕，二面角。一AB-C的平

面角为/，则（)

A.a<p<yB.P<a<yC.y</3<aD.P<y<a

【答案】D

【分析】

根据空间角的定义作出异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角，归结在直角三角形中

计算正弦值、余弦值，然后可得角大小.

【详解】

如图，取A。中点E,连接尸石，:Q4二尸Z）,・♦・PE_LAD，而平面BADJ_平面ABC。，平面24。门

平面ABC。=AO,・•・PE_L平面A8CZ），

连接EC,作。。〃所交EC于。，则。O_L平面ABC。，

•・,AD//BC，:.ND4Q为直线AQ与BC所成的角，即ND4Q=a，作QNJ_AO于七，二sina=第,

QA

连接A。，则NQAO是宜线4。与平面ABC。所成的角，即/。4。=夕，显然Q0_LQ4,

・・・而加丝，

AO

作0M〃8C交AB于M，则QM_L48,连接QM,由OQ_L平面A8CD得Q。，AB,

QOC|OM=O,・・.A8_L平面AQM,・・・A8_LQM,・・・NQM。是二面角Q—A8—C的平面角，即

NQMO=y,同样。OJ_OM,sin/=-^-,

OM

由图可知OQ<QN,・•.sina>sin〃，a>P（a,〃都是锐角），

OM<AO,Asin^<sin/,p<y（/也是锐角），

NAOM

又cosau^,cos/=——,根据上面作图过程知OMAN是矩形，OM=AN,Acosa<cos/,

QAQM

cc>y,

综上/</<a.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，解题关键是根据它们的定义作出这

些角（平面上的角），然后利用二角函数值比较它们的大小.

14.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖席.在鳖膈ABCQ中,

AB_L平面BCD,且45=8C=C£>,则异面直线AC与3。所成角的余弦值为（）

D.且

23

【答案】A

【分析】

如图所示，分别取A8,AD，BC,8。的中点E,F,G,0,则EF//3Q,EG//AC,FOtOG,

/FEG为异面直线AC与BO所成角.

【详解】

解：如图所示，分别取AB,AD，BC,BD的中点E,F,G,0,则EF//BD,EG//AC,FO1.OG，

：.NFEG为异面直线AC与BO所成角.

设A3=2a，则EG=EF=&。，FG=d$/=&，

ZFEG=60°,

，异面直线AC与8。所成角的余弦值为g,

故选：A.

【点睛】

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面

直线问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是（0,g,当所作的角为钝角时,

应取它的补角作为两条异面直

线所成的角.

15.已知长方体ABC。—A4GR的高刈=2,AC=2几，4用=x,AD,二y,则当x+y最大时，二面

角4-旦。一G的余弦值为（）

A.叵B.一巫C.—D.-2

5555

【答窠】B

【分析】

先由基本不等式得确定当且仅当X=y=4时，x+y取得最大值8,接着求出a=b=2^3fABl=ADl=4f

4A=AC=2«,再取用。的中点丁，连接ar，CJ，AG，并确定NA『G就是二面角A—40—G

的平面角，最后在三角形ACJ中由余弦定理求得cosNATG解题.

【详解】

解：设AB=a,BC=b,

则由题意得:/”2=（2拘2,1+22=了2,从+22=y2,

所以V+y2=32,由基本不等式得：（x+yfvZC?+V,nM,

当且仅当冗=y=4时，x+）取得最大值8,此时々=8=26，A4=A〃=4,

所以修R=AC=2屈.

取qA的中点丁，连接AT，C,T,AG，如图，

则AT_L4A，C】T上BR,则NATG就是二面角A—gR—G的平面角，

在等腰三角形中，因为Aq=A〃=4,4A=2"，所以AT=Ji6，

在等腰三角形4A中，因为G4=GA=2g,B°=2®所以CJ=&,

在长方体ABCD-ABCiD，求得AG=2近，

故在三角形4CJ中，由余弦定理得cos乙47G二=一半，

4Z"1JL*JIv✓iJ

故选：B.

【点睛】

方法点睛：本题主要考查二面角的余弦值的求解，是中档题.求二面角的常用方法:

（1）找（确定二面角的平面角）

①点〔定义法）：再一面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直与棱的射线：

②线：三垂线定理）：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可

找到二面角的平面角或其补角；

③面：垂面法）：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的

角即是二面角的平面角.

（2）求（求二面角的平面角的余弦值或E弦值）

①在三角形中，利用余弦定理求值；

②射影面积公式求值；

③利用公式法求值.

还可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值.

二、多选题

16.在正方体A8CQ-4SG。中，E,F,G分别为BC,CCi,83的中点，则（）

A.DDA.AF

B.4G〃平面力£小

C.异面直线4G与所所成角的余弦值为巫

10

D.点G到平面AEF的距离是点。到平面AM的距离的2倍

【答案】BCD

【分析】

利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证OQ、4尸是否垂直及求直线4G与E尸所成角

的余茏值即可，利用等体积法可求G到平面AEF的距离与点C到平面4EF的距离的数量关系，利用线面平

行的判定即可判断4G、平面4EP是否平行.

【详解】

4选项，由皿〃CC「即CG与A厂并不垂直，所以。D_LA尸错误.

8选项，如下图，延长FE、G5交于G'连接/G'、G凡有GF//BE又E,F,G分别为8C,CCi,BBi的中

点，所以GG'=B81=AA，而A4//GG,即AG//AG'；又因为面A8gA0面4砂=46,且46«

面AE/L46(=面48片4，所以4G“平面AE尸，故正确.

。选项，取qG中点”，连接GH,由题意知GH与瓦'平行且相等，所以异面直线AiG与七户所成角的

平面角为“GH,若正方体棱长为2,则有G”=J5，AG=A〃=W，即在AAG”中有

。选项，如下图若设G到平面4E尸的距离、C到平面AEr的距离分别为4、力2,则由

=

匕-GEF=§,A8•SGEF=VG.AEF,SAEF且^A-CEF~-SCEF==]也。SAEF,知

凯:2,故正确.

故选：BCD

【点睛】

思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的

判定、线面垂直的性质证明.

1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为（0,3].

2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行.

3、由匕_GEF=^G-AEF'匕-CEF=^C-AEF即可求G、C到平面AEF的距离比.

17.在棱长为1的正方体中A8CO—44G。中，点p在线段上运动，则下列命题正确的是（）

A.异面直线Cf和C5所成的角为定值

B.直线CO和平面BPG平行

c.三棱锥O-BPG的体积为定值

D.直线CP和平面A8G。所成的角为定值

【答案】ABC

【分析】

4由正方体的性质判断8c，平面ABCR,得出8C_LC7,异面直线C尸与Cq所成的角为90。：B：

由CD〃43,证明〃平面ABC；。，即得。〃平面5PG；C：三棱锥D—BPC；的体积等于三棱锥的

体积P-O3G的体积，判断三棱锥。-8尸£的体积为定值；D：找出直线CP和平面ABC；。所成的角，

可知其不是定值.

【详解】

解：对于A,因为在正方体A8CO—A4Gp中，

8clBQ,B.CLC.D,,

又BqnCR=C，BC],GRu平面A3GA，

所以B|CJ_平面ABGR,

而CJu平面所以gCJ_C/,

故这两个异面直线所成的角为定值90。，所以A正确；

对于3,因为平面BPG与面A8GR是同一平面，

DC//AB,ABi面ABGR,。。仁平面A8GR,

故CZ)〃平面ABGP，即CD〃平面8PG，故B正确；

对于C,三棱锥。-BPG的体积等于三梭锥尸-。5G的体积，

而平面DBCI为固定平面，且△DBC1大小一定,

又因为PsAQ,

因为AA//8G，4。仁平面6£)C],8C|U平面8。a，

所以AR〃平面DBG，

所以点A到平面DBG的距离即为点尸到该平面的距离，为定值,

所以三棱锥。-8PG的体积为定值，故c正确：

对于由线面夹角的定义，令8G与BC的交点为a

所以4C_L平面48GR,

可得Z.CP0即为直线CP与平面A8GA所成的角，

当P移动时这个角是变化的，故D错误.

故选：ABC.

【分析】

本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定及性质，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，空间中的

距离，属于较难题.

18.20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人

工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态.

其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点，14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方

体“切”去8个“角”后得到的儿何体.已知一个立方八面体的棱长为1,则（）

A.它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2

B.它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直

C.它的体积为述

3

D.它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等

【答案】ACD

【分析】

利用立方八面体与正方体之间的关系计算出正方体的棱长，可判断A、C选项的正误；计算出不共面的棱所

成角的大小可判断B选项的正误，计算相邻的两个面所成二面角的大小可判断D选项的正误.

【详解】

如下图所示，由题意可知，立方八面体的顶点为正方体各棱的中点，

故立方八面体的棱为正方体ABC。-A4GA相邻两条棱的中点的连线，

故正方体的校长为户7=五,

由对称性可知，立方八面体的外接球球心为正方体ABC。—A4cA的中心，

外接球的直径为正方体的面对角线长2,该球