高考数学（文）专题六 函数与导数

专题六函数与导数

小题增分专项1函数的图象与性质

命I题I分I析

卷全国卷3年高考

年份全国I卷全国n卷全国ffl卷

&乜*函数的奇偶性、单

2020未考查未考查

调性・T】o

函数的图象

7田3时小函数的奇偶性及函

2019函数的图象函数的奇偶性及单

数求值・16

调性・T12

函数图象的识

分段函数及函函数图象的识辨(3

辨不

2018数的单调性、抽象函数的奇偶性

函数的奇偶性及对

解不等式・「2及周期性

数式运算・26

@命题规律

1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性

质及分段函数等方面，常以选择、填空题形式考查，难度一般。

主要考查函数的定义域、分段函数求值或分段函数中参数的求解

及函数图象的判断。

2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与

导数、不等式或创新性问题相结合命题，难度较大。

明确考点。考点整合。扣推要点

1.函数定义的注意问题

(1)定义中最重要的是定义域和对应关系，值域是由两者确

定，在求/”⑴)类型的函数值时，应按先内后外的原则计算。

(2)判断两个函数是否相同，应抓住两点：①定义域是否相同;

②对应关系是否相同，解析式是否可以化简。

2.函数的图象

(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两

种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平

移变换、伸缩变换和对称变换。

(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结

合其图象研究。

(3)函数图象的对称性。

①若函数y=/(x)满足f(a+x)=f(a—x),即/(x)=/(2a—x),

则y=/(x)的图象关于直线对称；

②若函数y=/(x)满足f(a+x)=—/(〃—x),即/⑴=—/(2〃

一%)，则y=/(尤)的图象关于点(。,0)对称。

3.函数的性质

(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质。证明函

数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结

论。复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则。

(2)奇偶性：①若/㈤是偶函数，则/(尤)=/(一力

②若/(%)是奇函数，。在其定义域内，则/(0)=0。

③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶

函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性。

(3)周期性：①若y=/(x)对九£R,/(x+a)=/(x—。)或/(x+

2〃)=/。)(〃>0)恒成立，则y=/(x)是周期为2a的周期函数。

②若y=/(x)是偶函数，其图象又关于直线x=q(aWO)对称，

则/(%)是周期为2⑷的周期函数。

③若>=/(幻是奇函数，其图象又关于直线x=〃(aWO)对称，

则/(%)是周期为4间的周期函数。

11

④若/('+〃)=一/。1的。+。)=±^伍20),则y=/(x)是

周期为2间的周期函数。

易错提醒〕

错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不

能用符号连接，可用“和”或”连接。

精析精研重点攻关_____________________________e考向探究e

考向一函数的图象及应用重点微专题

角度1函数图象的识别

[例1]（2020•福建重点高中联考）函数的大

致图象为（）

CD

解析易知函数/（X）的定义域为（-8,0）U（0,+8）,且/（一

所以为偶函数，排除B,C;/（l）

CC

I31

=/W=-f<l,排除人。故选口。

答案D

法悟通

本题是一道非基本初等函数图象识别问题，求解这类问题常

用的方法是排除法，即先判断函数的奇偶性、单调性等，排除不

符合的选项，再观察图象上的特殊点，如本题通过观察点(1,7(I))

所在的位置，排除剩余选项，从而使问题得到解答。

【变式训练1](2020.天津高考)函数丁=滞A.■Y的图象大致

为()

C

4x

解析解法一：令/㈤=冷,显然/(一刘=一/(x),f(x)

为奇函数，排除C,D;由/(1)>0,排除B,故选A。

4x

解法二：令由/(-1)<0,故选A。

答案A

角度2函数图象的应用

x2—x,

[例2]已知函数，(x)=1/八若存在九o£R

ln(x+1),x>0,

使得/(xo)^oro-l,则实数a的取值范围是()

A.(0,+00)

B.[-3,0]

C.(-8,-3]U[3,+8)

D.(-8,-3]U(0,+8)

2

解析根据题意，函数加)=|xg—+xl,)%,W0四,其图象如图，

直线y=or—1恒过定点(0,—1),若存在xO£R使得/(xo)Woro

-1,则函数/㈤的图象在直线丁=办一1下方有图象或与直线有

交点，当〃=0时，/(%)与1图象无交点，不符合题意；

当。＞0时，直线y=〃x—1经过第一、三、四象限，与函数/(%)

的图象必有交点，符合题意；当。＜0时，直线)=以—1经过第二、

三、四象限，若直线)=以―1与/(幻有交点，必然相交于第二象

y=-X

限，则有:即依一iMX2-%变形可得％2—(々+1)X+

[y=cuc—lf

1=0,令/20,解得々W—3或Q汩(舍去)，则有aW—3,综上

可得，。的取值范围为(-8,-3]U(0,+8)。

答案D

法悟通

(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象

本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质。

(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与

应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究。

【变式训练2】若当元£(1,2)时，函数y=(x-的图象始

终在函数y=logd的图象的下方，则实数a的取值范围是

解析如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y=(x—1产

和y=logaX的图象。由于当工£(1,2)时，函数y=(x—Ip的图象恒

d>\,

在函数y=logd的图象的下方，则七解得

Uoga221,

答案lv〃W2

重I点协川强I练

1.(2020•广州市调研测试)函数/(x)=ln|x|+|siii¥|(-TIWXW兀

且XW0)的图象大致是()

解析由于/(—x)=ln|x|+|siiu|=f(x),所以函数/(x)为偶函

数，图象关于y轴对称，由此排除B：f(7i)=InTt+sinjt=ln7r>0,

由此排除C;当0<xW兀时，/(x)=lnx+sinx,令且(1)=尸(%)=一十

X

cosx,则g%¥)=_R+sinx

<0,故广(x)在区间(0,兀］上单调递减,

TT2/1

且r5=一>°，/(兀)=一一1<0,所以广。)在区间(0,兀］上有唯一零

\A)兀71兀71

点，/。)在区间(0,兀］上有唯一的极值点，由此排除A。故选D。

答案D

2.定义在R上的偶函数满足/(x+1)=-/。),当xe［0,1］

时，f（x）=-2x4-1,设函数以1）=9卜"（一1<X<3）,则函数/（九）

与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（）

A.2B.4C.6D.8

解析因为/a+i）=-/a）,所以的周期为2,又了。）

为偶函数，所以/（X）的因象关于直线x=l对称。函数g（x）=5”

一"的图象关于直线x=l对称，作出/（X）及g（x）在（-1,3）上的图

象，可得四个交点的横坐标之和为2X2=4。

答案B

考向二函数的性质及应用重点微专题

角度1函数的单调性与最值

【例3】（1）（2020•北京市适应性测试）下列函数中，在区间

（0,+8）上为减函数的是（）

A.y=yjx+1B.^=x2—1

C.>=住｝D.y=log2%

解析函数y=y/x+1在区间L1,+8）上为增函数；函数y

=/—1在区间（0,+8）上为增函数；函数y=在区间（0,+

8）上为减函数；函数y=log2X在区间（0,+8）上为增函数。综上

所述，故选C。

答案c

⑵（2020•全国II卷）设函数/（此=炉一则/。）（）

A.是奇函数，且在（0,+8）单调递增

B.是奇函数，且在(0,+8)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增

D.是偶函数，且在(0,+8)单调递减

解析解法一：函数/(X)的定义域为(-8,0)U(0,+8),

因为/(一%)=(—x)3_^^=_^+己=_卜一$|=-/(X),

所以

函数为奇函数，排除C,D;因为函数y=x\y=一§在(0,

+8)上均为增函数，所以一！在(0,+8)上为增函数,

排除B。故选A。

解法二：函数/⑴的定义域为(一8,0)0(0,+8),因为/(一

/^=一^+±=一卜一±)=一/(此，所以函数/(工)

x)=(-x)3

为奇函数，排除C,D;当x£(0,+8)时，由/。)=/一9，得

31

fz(x)=3x2+—>0,所以f(无)=V一飞在(0,+8)上为增函数，排

XX"

除B。故选A。

答案A

(3)如果对任意的实数x,函数/⑶都满足/(工)=/(1一幻，且

当九斗寸，/(x)=log2(3x-l),那么函数/(x)在［-2,0］上的最大值

为()

A.1B.2C.3D.4

解析由函数/(x)对任意的实数x,都有fQ)=/(l—x),可

得了(%)的图象关于直线对称。当时，/(x)=log2(3x—1),

f(x)为增函数,故当XV；时，/㈤为减函数，故函数”幻在［-2,0］

上单调递减，故/⑴在[-2,0]上的最大值为"—2)=/(3)=log2(9

—l)=3o

答案C

法悟通

(1)利用函数的单调性可以比较大小，解不等式，求函数最值

等。

(2)求函数的最值可以用图象法、均值不等式法等，也要考虑

函数的单调性。

【变式训练3】(1)(2020•广州市阶段训练)已知函数/⑴满

2

足当元时，f(x)=x--则，

/(I—x)=/(l+x),21-/V9{x(x+2)>l}

=()

A.{x\x<-3或x>0}B.{x\x<0或x>2}

C.[x\x<—2或x>0}D.[x\x<2或x>4}

解析由/(I—x)=/(l+x)知函数/(x)的图象关于直线X=1

2

对称。因为当时，f(x)=x-—，易知函数/(x)在[1,+8)上

单调递增，且/(2)=1,所以/㈤在(一8,1)上单调递减，/(0)

=1,所以由/(x+2)>l得x+2>2或x+2<0,解得x>0或x<一2。

故选C。

答案c

(2)已知函数/(%)满足/(工一1)=/(5—1)，且对任意的汨，x?

£[2,+0°),都有">二"'"<0成立,若〃=/(log216),

X\X2

(7=/(log47),m=/错误!，则p,q,机的大小关系为()

A.q<m<pB.p<m<q

C.q<p<mD.p<q<m

解析因为/。-1)=/(5—尤)，所以函数/(x)的图象关于直线

X=2对称。又对任意的X\,X2E[2,+°°),都心二3

X]

<0成立，所以/(x)在区间[2,+8)上单调递减，在(一8,2)上

单调递增。因为log216=4,所以/(log216)=/(4)=/(0),又

3

l<log47<log48=2,0V同错误！V错误！°=1,所以0<错误！错误!

<1<log47<2,所以p<m<qo故选B。

答案B

角度2函数的奇偶性、周期性、对称性

[例4](1)(2020・武汉市质量监测)已知函数f(x)=arsiav

77

+xcosx(a£R)为奇函数，则f[一方=()

71_小式

AB.

A•一d6

S兀

C匹

J6D.6

解析解法一：因为/⑴为奇函数，所以/(-%)=

-f(x),即a(-x)sin(-x)+(—x)cos(-x)=­(arsirti+xcosx),整

7171(71

理得2oxsiax=0,所以Q=0,f(x)=xcosx9fgeos

-

Zoo故选Ao

解法二：因为/(x)为奇函数，y=xcosx为奇函数，所以y=/(x)

-xcosx=axsinx为奇函数，所以Q=0,f(x)=xcosx,f3；=~

71兀

3C0SF3j*。故选A。

答案A

(2)(2020・四省八校联盟联考)已知/(x)是定义在R上的奇函

数，满足"一%)=/(1+办若/⑴=2,则/⑴+八2)+/⑶+・・・

+/(50)=()

A.-50B.0

C.2D.50

解析由题意知，/(I+%)=/(1-x),/(x)=-/(-x),所以/

(^+4)=/[1+(X+3)]=/[1-(X+3)]=/(-2-X)=-/(2+X),即/

[(x+2)+2]=-/(2+x),所以/(x+2)=-/(无)，所以/a+4)=/

(x),所以函数/(x)的周期为4。而/(1)=2,/(2)=/(1+1)=/(1

-l)=/(0)=0,/(3)=/(-1)=-/(1)=-2,/(4)=/(0)=0,所以

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,所以/(1)+/(2)+…+/(49)+/(50)

=12[f(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(l)+/(2)=2o

答案C

法悟通

(1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其

图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化

到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论/(x)=/(W)o

(2)周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，

把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解。

(3)对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象

对称中心的性质简化所求问题。

【变式训练4】(2020•福建省质量检测)已知/⑴是定义在R

上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称。以下关于八尢)的结论：

◎⑴是周期函数；②f(x)满足/(x)=/(4—x)；③在(0,2)

上单调递减；®(x)=cos号是满足条件的一个函数。

其中正确结论的个数是()

A.4B.3C.2D.1

解析因为/(幻为偶函数，所以/(一］)=/(幻，又其图象关于

点(1,0)对称，所以/(一月=一/(2+工)，故。(%+2)=—/(%),故有

/(x+4)=-/(x+2)=f(x),即/(x)是以4为周期的周期函数，故

①正确。/(-%)=/(x)=/(%+4),把x替换成一x可得/(x)=/(4

TTY

—x),故②正确。/(x)=cos7是定义在R上的偶函数，且(1,0)是

它的图象的一个对称中心，可得④正确。不妨令f(x)=­COS7，

此时/(x)满足题意，但f(x)在(0,2)上单调递增，故③错误。故正

确结论的个数是3。故选B。

答案B

重I点I加I强I练

2SxWO,

1.己知函数f(x)=则/(l)十/(2)+/(3)+…

f(x-2),x>0,

+/(2021)=()

A.2021B.1516

20213031

•2D.

2"xV0

解析因为函数小)寸(二］，＞。，所以")+〃2)+/

⑶H---F/(2021)=1011X/(-l)+l010X/(0)=l011X2-1+l

010X2。1

答案D

2.定义在R上的函数/(x)满足/(x)=/(2—x)及/0)=一/(一

X),且在［0用上有/(x)=f,则/(201用

)

91

--

4B.4

A.

C9D.1

--

-44

解析函数/(x)的定义域是RJ(x)=一/(一/),所以函数/(尢)

是奇函数,又/(1)=/(2—幻，所以/(-x)=/(2+x)=-/(x),所

以/(4+x)=-/(2+x)=/(x),故函数/(x)是以4为周期的奇函数，

(n(n(n

所以/12019+方=/12020—2^|=/[2=一/日。因为在［0,1］上

⑴m1rn1,

有/(1)=/,所以/日1=［，｝=不故/。019/J=一笳故选D。

答案D

3.(2020・西安五校联考)已知定义在R上的函数/(幻和g(x),

其中/(x)的图象关于直线x=2对称，g(x)的图象关于点(2,-2)

中心对称，且/(©—gCxOnB'+r+B,则/(4)=o

解析根据题意，/(划一双幻=3'+炉+3,令x=0得，/(0)

—g(0)=4①，令x=4得，八4)一g(4)=81+64+3=148②。

由/(x)的图象关于直线x=2对称，得/(0)=/(4),由g(x)的图象

关于点(2,一2)中心对称,得g(0)+g(4)=—4,所以/(0)—g(0)

=/(4)+g(4)+4=4,即〃4)+g(4)=0③。又由/(4)一趴4)=148,

得"4)=74。

答案74

重点增分专练(十四)函数的图象与性质

A级基础达标

一、选择题

已知集合是函数丁=胪公的定义域，集合是函数

1.MN

y=f—4的值域，则MAN=()

JA—1

A.\xx^2B.\x-4^A<2

丁)不<；且》

C.(x,2—4D.0

(n

解析由题意得M=1—8,N=[—4,+°°),所以MGN

n.

-4,2J0故选B。

答案B

2.下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.y=x错误！B.y=2~x

C.y=\ogi_xD.y=~

2/x

解析对于能.函数当a>0时，y=K在(0,+8)上单

调递增，当a<0时，在(0,+8)上单调递减，所以A正确;

D中的函数y=,可转化为所以函数>=,在(0,+8)上单

XX

调递减，故D不符合题意；对于指数函数〉=优(〃>0,且。71),

当OVQVl时，丁=优’在(一8,+8)上单调递减，当a>［时，y=

优.在(-8,+8)上单调递增，而B中的函数丁=2一"可转化为y

=8},因此函数y=2=在(0,+8)上单调递减，故B不符合题

意；对于对数函数y=k)gd(a>0,且〃W1),当时，y=\ogaX

在(0,+8)上单调递减：当〃>1时，y=logd在(0,+8)上单调

递增，因此C中的函数y=log,x在(0,+8)上单调递减，故c

2

不符合题意。故选A。

答案A

［x2,x20,

3.已知函数/(x)=.则/«(—2))=()

—X,x<0,

A.4B.3

C.2D.1

X2

解析因为/(x)='7；所以/(-2)=—(-2)=2,

-x,x<0,

所以/(/(一2))=/(2)=22=4。故选A。

答案A

4.(2020•江西省红色七校联考)函数/(其中e为

CIC

自然对数的底数)在［-6,6］的图象大致为()

8

当心>0时，/a)>o,排除c；又/(2)=e?।已—?>[°古攵Ao

答案A

5.函数y=xcosx的大致图象为()

解析函数y=xcosx为奇函数，故排除B,D;当x取很小

的正实数时，函数值大于零。故选A。

答案A

6.(2020•开封市一模)已知定义在[加一5/-2加]上的奇函数f

(x),满足x>0时，/(工)=2]—1,则/(加)的值为()

A.一15B.-7C.3D.15

解析由题意知，(m—5)+(1—2/71)=0,解得加=—4o又当

x>0时,/(尤)=2」1,则/(附=/(-4)=一/(4)=一(24—1)=一15。

故选A。

答案A

7.(2020•陕西省百校联盟模拟)函数/㈤在[0,+8)上单调

递增，且/。+2)的图象关于直线工=-2对称，若/(-2)=1,则

满足2)W1的x的取值范围是()

A.[-2,2]B.(-8,-2]U[2,+8)

C.(—8,0]U[4,+8)D.[0,4]

解析依题意得，函数/(幻是偶函数，则/(x—2)Wl,即/(|x

一2|)守(|一2|)。由函数/(x)在。+8)上单调递增得打一2区2,

即一24工一242,04x44。所以满足/(x—2)41的x的取值范围是

[0,4]o故选D。

答案D

8.已知/(%)是定义在R上的奇函数，满足/(I+x)=/(l-x),

且/(l)=m则/(2)+/(3)+/(4)=()

A.0B.-a

C.aD.3a

解析因为函数/Q)满足/(1+1)=/(1一幻，所以f(x)的图象

关于直线x=l对称，所以/(2)=/(0),/(3)=/(—1)。又是定

义在R上的奇函数，所以"0)=0,又由/(l+x)=/(l—x)可得了(X

+D=/(I-X)=-/(X-I),所以/(X+2)=—/(尤)，故/。+4)=

-/(x+2)=/(x),因此，函数/1)是以4为周期的周期函数，所

以/(4)=/(0),又/(1)=〃，因此/(2)+/(3)+/(4)=/(0)+/(—1)

+/(0)=-/(l)=-«o故选B。

答案B

[\/l—x2,

9.(202。南充市适应性考试)函数/(x)=

辰I，W>1,

若方程/(x)=Q有且只有一个实数根，则实数a满足()

A.a=\B.a>\

C.OWavlD.。<0

解析方程/(%)=〃有且只有一个实数根，则直线y=a与/(%)

的图象有且只有一个交点，作出函数/(X)的图象如图所示，当Q

=1时，直线y=a与函数/(x)的图象有且只有一个交点。故选Ao

答案A

e-x,xWO,

10.已知函数/(x)=J2_若f(a—l)/f(一

XT2xI],X/0，

标+1),则实数〃的取值范围是()

A.[—2,1]

B.[-1,2]

C.(一8,-2]U[1,+8)

D.(一8,-1]U[2,+8)

解析因为/(x)=:八在区间(一8,+8)

上单调递减，所以不等式/3—l)2/(—a2+l)同解于不等式Q—

lW—a2+l,即〃2+。—2W0,解得一2WaWl。故选A。

答案A

二、填空题

H.已知/。)="'若加L1))=14,则实数

[炉+logd,x＞0,

a的值为o

解析由题知/(—1)=4,则/(4)=16+log,/4=14,解得。=

1

2°

套案-

u木2

Inx,尤21,

12,设函数/(冗)=《若/(加)＞1,则实数机的取

值范围是O

解析解法一：若皿21,则由In机＞1,得加＞e;若加vl,则

由1—得根＜0,故实数机的取值范围是(一8,O)U(e,+

°°)o

Inx,

解法二：如图所示，可得/(x)=।的图象与直线

1—x9x<\

y=l的交点分别为(0,1),(e,l),由图可知，若/(⑼>1,则实数m

的取值范围是(一8,Q)U(e,+°°)o

答案(-8,Q)U(e,+°°)

尤e'rx2

13.(2020•南充市适应性考试)已知函数f(x)=

CeIJL+

siBA，则/(—5)+/(—4)+/(—3)+/(—2)+/(—l)+/(0)+/(l)+/

(2)+/(3)+/(4)+/(5)的值是o

axex+x+2x(ex+l)+22

解析fW=e^+1+siiu=—函口—+sinx=~^+x

+siiu,所以/(—x)="x+sin(—x—sinx,所以

2?eA

/(x)+/(-x)=—+—=2,所以/(0)+/(0)=2=/(0)=1,

所以/(-5)+/(—4)+/(—3)+/(—2)+/(—1)+/(0)+/(1)+/(2)

+/(3)+/(4)+/(5)=5X2+l=llo

答案11

14.(2020•长沙市模拟考试)已知函数/a)=Qx-log2(2'+l)

+cosx(〃£R)为偶函数，则a=o

解析解法一：因为是偶函数，所以/(—x)=/(x),即一

ax—log2(2-v+1)+cos(~x)=ax—log2(2A+l)+cosx,所以2ax=

2'+1_

log2(2'+1)—log2(2~'+l)=log2并不Y=X,由X的任意性，可得。

1

2°

解法二：因为/(x)是偶函数，所以/(2)=/(—2),即2〃一k)g25

+cos2=-2«~log2^+cos(—2),所以4〃=log25—log2/=2,解得

a=2°

答案|

B级素养落实

2厂叫xWl,

15.设函数/㈤=「若/(I)是/⑴的最小值，则

X十19X>1,

实数。的取值范围为()

A.[—1,2)B.[—1,0]

C.[lz2]D.[1,+8)

解析解法一：因为/⑴是/(x)的最小值，所以丁=2广。1在(一

8,I】上单调递减，所以即”』所以

1,

八77c所以故选C。

解法二：当4=0时，函数/(%)的最小值是/(0),不符合题意，

排除A,B；当a=3时，函数/(%)无最小值，排除D。故选C。

答案C

16.(2020.北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部

门要求相关企业加强污水处理，排放未达标的企业要限期整改。

设企业的污水排放量W与时间■的关系为卬=/«),用一刑三譬

的大小评价在[。，切这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知

整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示。

给出下列四个结论：

①在［小句这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强;

②在殳时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在白时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在［0,对，质，句，历，目这三段时间中,在［0,%

的污水治理能力最强。

其中所有正确结论的序号是O

解析由题图可知甲企业的污水排放量在Z1时刻高于乙企

业，而在亥时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在句这

段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题

图知在亥时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业

的，故②正确；在打时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污

水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在［0,4］,山，句，

上2,旬这三段时间中，在［0,对的污水治理能力明显低于也，目

时的，故④错误。

答案①②③

小题增分专顼2基本初等函数、函数与方程

命I题I分I析

星全国卷3年高考

年份全国I卷全国||卷全国III卷

指数与对数的实际

指数、对数的运指数函数单调

2020应用工

算F性应用・T]2

对数比较大小•七()

指数、对数比较大

小不

2019未考查函数的零点・T5

函数的实际应

用工

由对数值求参数对数函数图象对称

2018未考查

问题・》3问题・17

母命题规律

从近3年高考情况来看，本部分内容一直是高考的热点，尤

其是对函数的零点、方程的根的个数的判断及利用零点存在性定

理判断零点是否存在和零点存在区间的考查较为频繁。一般会将

本部分内容的知识与函数的图象和性质结合起来考查，综合性较

强，常以选择题、填空题形式出现。解题时要充分利用函数与方

程、数形结合等思想。

明•考点考点整合•________________________..要点

1.指数式与对数式的七个运算公式

(l)am-an=am+n；

(2)(am)n=amn；

注：Q>0,m,〃£Q。

(3)log«(MA0=log“M+1。速可

M

(4)log，w=logdM—logJV；

(5)IogaM〃=〃log〃M(〃£R)；

(6)引。g，=N；

TogbN

(7)log〃N=

log/以

注：a,b>0且a,b八M>0,N>0。

2.指数函数与对数函数的图象和性质

指数函数y="（a>0,aWl）与对数函数y=log«x（tz>0,。工1）

的图象和性质，分0<a<l,。>1两种情况，当。>1时，两函数在

定义域内都为增函数，当0<。<1时，两函数在定义域内都为减函

数。

3.函数的零点问题

（1）函数/a）=/a）—g。）的零点就是方程/a）=g。）的根，即

函数y=/（尤）的图象与函数y=g。）的图象交点的横坐标。

（2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点

存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解。

4.应用函数模型解决实际问题的一般程序

读题建模求解反馈

文字语言=数学语言=数学应用=检验作答。

精析精研重点攻关_________________________e考向探究e

考向一基本初等函数的图象与性质

【例1】（1）（2019.浙江高考）在同一直角坐标系中，函数y

=!，^=lognx+|j（6i>0,且aWl）的图象可能是（）

ABCD

解析解法一：若0<。<1,则函数)=±是增函数，y=

(n

log,卜+句是减函数且其困象过点5,0,结合选项可知，D可能

1(n

成立；若〃>1,则>=不是减函数，而y=loga[x+1|是增函数且其

图象过点后，oj,结合选项可知，没有符合的图象。故选D。

解法二：分另ij取〃=：和〃=2,在同一直角坐标系内画出相应

函数的图象(图略)，通过对比可知选D。

答案D

2

(2)(2020•全国III卷)设a=log32,/2=log53,c=y贝U()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

解析因为23<32,所以2<3错误!，所以Iog32<log33错误!=错误!，

所以。<金因为33>52,所以3>5错误!，所以Iog53>log55错误!，所

以b>c,所以a<c<bo故选Ao

答案A

法悟通

(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若

底数。的值不确定，要注意分。>1和0<a<\两种情况讨论:当。>1

时，两函数在定义域内都为增函数；当时，两函数在定义

域内都为减函数。

(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性

质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，

然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判

断。

【变式训练1]⑴已知log2^>log2^,则下列不等式一定成

立的是(）

11

（）

A.-a>TbB.ln6/­/?>0

1

C.2a~b<\D.

解析由log2〃>log2b可得a>b>0,故a—b>0,逐一考查所给

的选项。A中，焉;B中，a—b>0,ln(a—。)的符号不能确定；

fn

C中，2“r>l;D中，I"

答案D

(2)在同一直角坐标系中，函数/(x)=2—分和g(x)=log〃(x+

解析由题意知a>0,函数/(x)=2—ax为减函数，排除C;

▼2

若则函数/(工)=的零点检=一£(且函数

2—axCI2,+°°),

ga)=loga(x+2)在(-2,+8)上为减函数，排除B；若。>1,则

2

函数f(x)=2—ax的零点xo=~e(O,2),且函数gq)=log〃a+2)在

(—2,+8)上为增函数，排除D。

答案A

考向二函数的零点重点微专题

角度1确定零点的所在区间

［例2］函数/(X)=log*一］的一个零点所在的区间是

()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

解析因为f(2)=log82-1=|-1>0,

所以/(1)・"2)<0,又知函数/a)=logs%一2在(0,+8)上为单调

增函数，所以函数/(X)在(0,+8)上只有一个零点，且零点所在

的区间是(1,2)。故选B。

答案B

法悟通

判断函数在某个区间上是否存在零点的方法

(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断

方程是否有根落在给定区间上。

(2)利用零点存在性定理进行判断。

(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有

交点来判断。

【变式训练2】设/(x)=lnx+x—2,则函数/㈤的零点所

在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

解析解法一：因为/(l)=0+l—2=—lv0,772)=ln2+2

-2=ln2>0,所以函数/(x)的零点所在区间为(1,2)。故选B。

解法二：函数/(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)=\nx9

h(x)=—x+2图象交点的横坐标所在的取值范围，作出图象如图

所示。由图可知/⑴的零点所在的区间为(1,2)。故选B。

答案B

角度2求参数的取值范围

[例3]已知函数/。)=1。+2(第4))与g(x)=ln(x+a)+2的

图象上存在关于y轴对称的点，则实数”的取值范围是()

{1}、

A.-8,-B.(—8,e)

(1(n

一二，

C.IeeJD.\—e,c"j

解析由题意知，方程/(一工)一式元)=0在(0,+8)上有解，

即e—"+2—Inq+a)—2=0在(0,+8)上有解，即函数与

y=ln(x+〃)的图象在(0,+8)上有交点。函数y=ln(x+a)可以看

作由y=lnx左右平移得到，当。＜0时，向右平移，两函数图象总

有交点，当a=0时，两函数图象总有交点，当。＞0时，向左平

移，由图可知，将函数y=hrr的图象向左平移到过点(0,1)时，两

函数的图象在(0,+8)上不再有交点，把(01)代入y=ln(x+〃)，

得l=lna,即〃=e,所以0v〃ve。综上，a＜e。

答案B

法悟通

解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关

键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或

不等式求解。

【变式训练3】已知函数/(x)=]g(x)=/(x)

|lnx|,x>0<

+-若g(x)有且仅有一个零点，则实数。的取值范围是()

A.(—8,—1)B.[―1,+00)

C.(一8,0)D.[0,+8)

解析如图，g(x)有且仅有一个零点等价于方程/(x)+x=0

有且仅有一个实数根，结合的图象与y=-x的图象可知，

当e0+420,即—1时，y=/(x)的图象与y=-x的图象有唯

一交点。

答案B

重I点I加I强I练

1.若函数/(x)=|l0gM—3一”3>0,的两个零点是加，n,

则()

A.mn=1B.mn>\

C.0<mn<\D.无法判断

解析令/(x)=0,得|k)gM=*,则y=|log〃N与尸卷的图象

有两个交点，不妨设m<n9作出两函数的国象(如图)，所以

即一log。心log/,所以log”(加〃)<0,则0<nmvl。

答案c

r(x-2)X|2v-l|,x<2,

2.已知函数.f(x)=<3若函数g(x)=/

X.X—1

(x)—g+2m有三个不同的零点，则实数机的取值范围为()

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(-1,1)D.(1,3)

解析函数g(x)=/㈤一加x+2m的零点即方程/(x)=m(x—

「2」1|,x<2,

2)的根，所以加=但={3.根据题意可知直线y

I—X>2,

x<2,

=机与函数y=<3的图象有三个不同的交点。在同

7,x>2

、x—\

一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，如图，由图可知当

Ovmvl时，两个函数图象有三个不同的交点，即函数g(x)=f(x)

—nvc+2m有三个不同的零点、。故选B。

答案B

考向三函数的实际应用

[例4](2020・全国m卷)Logistic模型是常用数学模型之

一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布数据建立了某地区

新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天)的Logistic模型：/⑺

=l+eQ23「3)，其中K为最大确诊病例数。当伍*)=0.95K时，

标志着已初步遏制疫情，则/约为(lnl9-3)()

A.60B.63

C.66