高考数学（理）专题六 函数与导数

专题六函数与导数

小题增分专项1函数的图象与性质

命I题I分I析

卷全国卷3年高考

年份全国I卷全国II卷全国III卷

函数的奇偶性与单调性(9

2020未考查未考查

函数周期的新定义问题・22

函数的图象・T7

函数的图函数的图象与性质的应用・12

2019函数的奇偶性

象不函数的奇偶性、函数求值・14

及单调性.T“

函数图象的识辨(3函数图象的识

2018未考查

抽象函数的奇偶性及周期性・T“辨下

②命题规律

1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性

质及分段函数等方面，常以选择、填空题形式考查，难度一般。

主要考查函数的定义域、分段函数求值或分段函数中参数的求解

及函数图象的判断。

2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与

导数、不等式或创新性问题相结合命题，难度较大。

明确考点和准要点e考点整合•

1.函数定义的注意问题

(1)定义中最重要的是定义域和对应关系，值域是由两者确

定，在求式研功类型的函数值时，应按先内后外的原则计算。

(2)判断两个函数是否相同，应抓住两点：①定义域是否相同;

②对应关系是否相同，解析式是否可以化简。

2.函数的图象

(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两

种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平

移变换、伸缩变换和对称变换。

(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时;要注意结

合其图象研究。

(3)函数图象的对称性。

①若函数y=«r)满足|a+x)=/(a—x),即应¥)=/(2a—x),则

y=«x)的图象关于直线x=a对称；

②若函数y=%)满足&+x)=~j{a—x),即fix)=­fi2a-x),

则y=/U)的图象关于点3,0)对称。

3.函数的性质

(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质。证明函

数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结

论。复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则。

(2)奇偶性：①若兀X)是偶函数，则於)=#一的。

②若7U)是奇函数，。在其定义域内，则10)=0。

③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶

函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性。

(3)周期性：①若y=/(x)对xER,兀r+〃)=/a—〃)或«r+24)

=/(1)(〃>0)恒成立，则y=/(x)是周期为2a的周期函数。

②若>=/□)是偶函数，其图象又关于直线尤=。5/0)对称，

则火光)是周期为2⑷的周期函数。

③若y=«x)是奇函数，其图象又关于直线尢=。520)对称，

则7U)是周期为4⑷的周期函数。

④若J(x+a)=一/U)(或"+。)=/

(〃W0),则y=«x)是周

期为21al的周期函数。

易错提醒】

错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不

能用符号“U”连接，可用“和”或“，”连接。

精析精研重点攻关-----------------9考向探究e-----------

考向一函数的图象及应用重点微专题

角度1函数图象的识别

【例1】（2020.福建重点高中联考）函数段的大致

ee

图象为（

y

4

3

2

1

234工

-2

-3

解析易知函数1x）的定义域为（-8,0）U（0,+oo）,且八一

、（一疗X3

x）—e=--=Ax）,所以犬x）为偶函数，排除B,C;XI）

]31

-j—7<1,排除Ao故选Do

e—e1

答案D

法悟通

本题是一道非基本初等函数图象识别问题，求解这类问题常

用的方法是排除法，即先判断函数的奇偶性、单调性等，排除不

符合的选项，再观察图象上的特殊点，如本题通过观察点（1,犬1））

所在的位置，排除剩余选项，从而使问题得到解答。

【变式训练1]（2020.天津高考）函数的图象大致

为（）

解析解法一：令显然八一力=~/U）,为奇

函数，排除C,D;由直1）＞0,排除B,故选A。

4.r

解法二：令人幻=齐[由式1）＞0,式-1）＜0,故选A。

答案A

角度2函数图象的应用

[例2]（2020・东北三校联考）已知定义在R上的函数式尤）,

满足川+x）=用一元），且当x[1,+8）时，7U）=

1一优一2|,%£[1,3),

<(x-\},则函数«x)的图象与函数g(x)=

幻―^-，xe[3,+8),

Inx,1,

的图象在区间［—5,刀上所有交点的横坐标之和为

ln(2—x),x<l

()

A.5B.6

C.7D.9

解析函数/U)满足#l+x)=/(l—x),故其图象关于直线x

1—2|,xe[i,3),

=1对称,由於)=j4一1、

.软2g3,+8),

可得当3<欢7时，式幻=211—亍)且寅7)=纨3)=例1)

lax,x21,

=0o函数g(x)=L-、1满足g(x)=g(2—x),故其图象关

ln(2—x),x<\

于直线x=l对称，由于两个函数的图象都关于直线x=l对称，

且［-5,刀的中点值为I,因此只需研究时，两个函数图象的

交点情况。由于g(l)=O=/U),g(2)=ln2勺(2)=1,g(5)=ln5勺(5)

=2,函数7U)与g(x)在［1,刀上的图象的位置关系如图所示，因此

当14W7时有3个交点，且x=l时两函数的图象相交，因为两

个函数图象都关于直线尤=1对称，所以其交点也关于直线x=l

对称，且每对交点的横坐标之和为2,故在区间［-5,刀上所有7

个交点的横坐标之和为2义3+1=7。故选C。

答案c

法悟通

(1)分析得到函数/U),g(x)的图象都关于直线x=l对称，因

此所有交点也关于直线x=l对称。

(2)结合两个函数在口,刃上的图象，得到14W7时有3个交

点，且x=l时两函数图象相交。

(3)根据两个函数图象的对称性得交点关于直线x=\对称，

每对交点的横坐标之和为2。

IlnxLx>0,

【变式训练2】已知函数«r)=℃/八若存在实数

xOI2,x0，

X\,X2,X3，且为<X2<X3，使於1)=次尤2)=/(工3)，贝I由加2)的取值范

围是()

A.[—2,0]B.[-1,0]

-2八]「11

C.一亨0D.1290

|liu|,x>0,

解析作出函数兀x)=《—八的图象如图所示。由题

x+2,xWO

设大汨)=7('2)=«/(13)=〃2,由图易知加£(0,2],且汨£(—2,0],X2

2

£2，11,羽£(1,e]o则由式尤1)=机，得为+2=加，解得即=加

—2,所以阳/(冗2)=(〃2—2)机=("2—1)2—1,则当m=1时，X]J(X2)

取得最小值-1,当m=2时，工贸乃）取得最大值0,所以工贸应）的

取值范围是故选B。

答案B

重I点加I强I练

1.（2020.广州市调研测试）函数於）=ln|x|十|sinx|（一兀兀

且xWO）的图象大致是（）

解析由于五一x）=ln|x|+|siar|=y（x）,所以函数式1）为偶函

数,图象关于y轴对称，由此排除B;HX）=ln7r+simi=ln7t>0,

由此排除C;当兀时，J（x）=\nx+sinx,令且（%）=/（1）=1+

cosx,则g%x）=—R+sinx<0,故/。）在区间（0,兀］上单调递减，

W21

且75==>°，/（兀）==-1<°，所以“X）在区间（0,兀］上有唯一零

\乙，兀兀

点，火幻在区间（0,兀]上有唯一的极值点，由此排除A。故选D。

答案D

2.定义在R上的偶函数式x）满足>U+1）=-/U）,当x£[0,l]

时，«r）=-2x+l,设函数g（x）=（gL"（—1<X3）,则函数«x）与

g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（）

A.2B.4

C.6D.8

解析因为yu+i）=-/（x）,所以正工）的周期为2,又/U）为

偶函数，所以式幻的图象关于直线x=l对称。函数g（x）=5"F

\A/

的图象关于直线尤=1对称，作出兀r）及g（x）在（一1,3）上的图象，

可得四个交点的横坐标之和为2X2=4。

答案B

考向二函数的性质及应用重点微专题

角度1函数的单调性与最值

【例3】（1）（2020.北京市适应性测试）下列函数中，在区间

（0,+8）上为减函数的是（）

A.y=yjx+\B.y=x1~\

C.D.y=\og2x

解析函数y=也17在区间[—1,+8）上为增函数；函数y

crn

=f—1在区间(0,+8)上为增函数；函数在区间(0,+

8)上为减函数；函数y=log2X在区间(0,+8)上为增函数。综上

所述，故选C。

答案c

(2)(2020•全国II卷)设函数Xx)=ln|2x+l|-ln|2x-l|,则

心)()

A.是偶函数，且在g+8)单调递增

(1n

B.是奇函数，且在一看与单调递减

C.是偶函数,且在1—8一引单调递增

\

(n

D.是奇函数，且在一82J单调递减

2x+lW0,(

解析由]八得函数段)的定义域为-8,--(J

2x—1WO,I乙)

r1nn、

＜一》2)U\29+8),且关于原点对称。因为八-x)=ln|2(—x)+

11-ln|2(-x)-11=ln|2x-11-ln|2x+11=-fix),所以函数"x)为奇

函数，排除A,C;当了£(一3n

,5时，yu)=ln(2x+l)—ln(l—2x),

乙)

(n

易知函数於)单调递增，排除B;当—°°,—5■时，7(x)=ln(一

2\I][2'

2x—1)—ln(1—2x)=lno_t=ln1+9i,易知函数#x)单调递

减，故选D。

答案D

(3)如果对任意的实数达函数yu)都满足且当

x制时，Xx)=log2(3x-1),那么函数段面一2,0]上的最大值为

（）

A.1B.2

C.3D.4

解析由函数yu）对任意的实数了,都有式光）=逃1一幻，可得

段）的图象关于直线尤=［对称。当X*时，y（x）=log2（3x—1）,J（x）

为增函数，故当入4时，段）为减函数，故函数於）在［-2,0］上单

调递减，故«x）在［-2,0］上的最大值为4-2）=/（3）=log2（9—l）=

3。

答案C

法悟通

（1）利用函数的单调性可以比较大小，解不等式，求函数最值

等。

（2）求函数的最值可以用图象法、均值不等式法等，也要考虑

函数的单调性。

【变式训练3］⑴（2020.广州市阶段训练）已知函数段）满

2

足犬1—幻=犬1+%），当无21时，yu）=x—则{x［/u+2）>i}=

（）

A.{x\x<-3或x>0}B.{x|x<0或x>2}

C.{x\x<—2或x>0}D.［x\x<2或x>4}

解析由负1—x）=/U+x）知函数兀x）的图象关于直线x=l对

2

称。因为当X^i时，fix）=X-9易知函数«¥）在［1,+8）上单

调递增，且犬2）=1,所以式x）在（一8,1）上单调递减，<0）=1,

所以由y（x+2）>l得x+2>2或x+2<0,解得x>0或x<—2。故选

Co

答案c

(2)已知函数«x)满足Xx—1)=<5—x),且对任意的即,念£[2,

+8),X]W12,都/即)'©)<0成立，若P=y(log216)，4=/(log47),

X\一X2

q，机的大小关系为(

q<m<pp<m<q

q<p<mp<q<m

解析因为八%—1)=/(5—工)，所以函数«x)的图象关于直线x

=2对称。又对任意的闲，处仁[2,+oo),xi^x2,都有"汨)_"'2)

X|一X2

<0成立，所以兀X)在区间[2,+8)上单调递减，在(一8,2)上单

调递增。因为log216=4,所以Xlog216)=汽4)=/(0),又

3m

l<log47<log48=2,Ov同错误！<错误！°=1,所以Ov错误！错误!

<l<log47<2,所以p<m<q。故选B。

答案B

角度2函数的奇倡性、周期性、对称性

[例4](1)(2020•武汉市质量监测)已知函数/(x)=arsia¥+

光COSX(Q£R)为奇函数，则/[―]J=()

C.ID.坐

oo

解析解法一：因为大幻为奇函数，所以VXER,八一幻=一

fix),即a(—x)sin(-x)+(-x)cos(-x)=~(orsiiu+xcosx),整理

得2oxsinx=0,所以〃=0,y（x）=xcosx,—^兀cos|I

60故选A。

解法二：因为«x)为奇函数，y=xcosx为奇函数，所以y=/(x)

-xcosx=cixsinx为奇函数，所以4=0,J(x)=xcosxf

60故选人。

答案A

(2)(2020・四省八校联盟联考)已知危)是定义在R上的奇函

数,满足＜1—x)=/U+x),若＞1)=2,则«1)+次2)+穴3)+…+

450)=()

A.一50

D.50

解析由题意知，-X),犬幻=一内一x),所以於

+4)=/[l+(x+3)]=/Il-(x+3)]=A-2-^)=-A2+x),即/I(x

+2)+2]=-/2+x),所以大x+2)=-/U),所以/(x+4)=/a),

所以函数«r)的周期为4o而11)=2,/2)=/1+1)=/1-1)=/0)

=o,X3)=X-l)=-AD=-2,X4)=X0)=0,所以11)+12)+

X3)+A4)=0,所以Xl)+A2)+--+X49)+X50)=12[f(l)+A2)+

f(3)+f(4)]+/l)+A2)=2o

答案C

(1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其

图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化

到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论凡r)=/0r|)。

(2)周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,

把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解。

(3)对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象

对称中心的性质简化所求问题。

【变式训练4】(2020•福建省质量检测)已知«x)是定义在R

上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称。以下关于式、)的结论：

①/U)是周期函数；②/U)满足大幻=式4一处；③/U)在(0,2)上

单调递减；④/U)=cos号是满足条件的一个函数。

其中正确结论的个数是()

A.4B.3

C.2D.1

解析因为人幻为偶函数，所以五一x)=/a),又其图象关于

点(1,0)对称，所以八一幻=一/(2+工)，故/U+2)=-/U),故有人工

+4)=-/(x+2)=/a),即«x)是以4为周期的周期函数，故①正

确。|一x)=ya)=«x+4),把x替换成一不可得y(x)=y(4—%),故

jry

②正确。yu)=cos不是定义在R上的偶函数，且(1,0)是它的图象

的一个对称中心，可得④正确。不妨令«x)=—cos^,此时«r)

满足题意，但人幻在(0,2)上单调递增，故③错误。故正确结论的

个数是3。故选B。

答案B

重I点I加I强I练

2犬工＜0

1.已知函数於尸；＞o,则川)+©+©+.・・+

式2021)=()

A.2021B.1516

2021>3031

D.------

C.22

2"

解析因为函数yu)=1［八所以1i)+#2)+#3)

用一2),x>0,

4------\-fi2021)=1Olixy(—1)+1010Xy(0)=l011X2-1+l

010X2。=崎k

答案D

2.定义在R上的函数7U)满足兀。=/(2一工)及式次)=一4一工),

且在［0,1］上有段)=/,则/(201用=()

91

--

Ac.4B.4

9D.1

--

-44

解析函数«x)的定义域是R,40=一八一£),所以函数«x)

是奇函数，又兀r)=/(2—x),所以人一元)=/(2+x)=-/U),所以14

+x)=~A2+x)=/a),故函数是以4为周期的奇函数，所以/

2019+1]=/(2020-1|=/[-j]=-/因为在[0,1]上有危)

/zn1用1

-选

故

-2=故/eO-D

所以/历，4=-4

=x\k2J

答案D

3.(2020•西安五校联考)已知定义在R上的函数於)和g(x),

其中«x)的图象关于直线x=2对称，g(x)的图象关于点(2,-2)

中心对称，且兀。一gakB'+r+s,则14)=o

v3

解析根据题意，Xx)~<?(x)=3+x+3,令工=0得，10)一

g(0)=4①，令工=4得，#4)一趴4)=81+64+3=148②。由

/U)的图象关于直线x=2对称，得犬0)=犬4),由g(x)的图象关于

点(2,一2)中心对称,得g(0)+g(4)=-4,所以>0)—g(0)=/(4)

+g(4)+4=4,即式4)+双4)=0③。又由/(4)—g(4)=148,得14)

=74o

答案74

重点增分专练（十四）函数的图象与性质

A级基础达标

一、选择题

1.已知集合M是函数丁=/云的定义域，集合N是函数

丁=/-4的值域，则MAN=（）

A\1」1

A.x^2B.ix—4^X<2,

C.（x,且4D.0

（n

解析由题意得M=—°°,5,N=[—4,+°°）,所以MCN

\乙）

=-4,故选B。

答案B

2.下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=x错误！B.y=2~x

C.y=logixD.

2%

解析对于球函数y=？，当a>0时，y=K在（0,十8）上单

调递增，当a<0时，在（0,+8）上单调递减，所以A正确;

D中的函数y=-可转化为y=x「，所以函数y=，在（0,十8）上单

XX

调递减，故D不符合题意；对于指数函数丁="'（〃>0,且QWI）,

当0<〃<1时，丁="在（一8,+8）上单调递减，当a>[时，y=

优•在（-8,+8）上单调递增，而B中的函数y=2r可转化为y

因此函数y=2=在（0,+8）上单调递减，故B不符合题

意；对于对数函数y=logd(a>0,且。71),当Ov〃vl时，y=log“r

在(0,+8)上单调递减：当々>1时，y=log“x在(0,+8)上单调

递增，因此C中的函数y=log,x在(0,+8)上单调递减，故c

2

不符合题意。故选A。

答案A

3.已知函数7U)的定义域为R,当x<0时，/u)=2",当一

时，|一x)=-7U),当时，伞+：=.一斗，贝1J犬5)

=()

11

A-B-

2-2C.-2D.2

解析因为当时，所以yu+D=/a),

所以负5)=穴1)。因为当一IWXWI时，|-x)=-/U),所以负1)

=一八一1)。又当x<0时，段)=2］，所以式5)=/(1)=-/(—1)=一

2-1=-1o故选B。

答案B

4.(2020•江西省红色七校联考)函数於尸号三(其中e为自

CIC

然对数的底数)在［-6,6］的图象大致为()

-6

D

解析#—%)=-3_1_.i=-/(x),故#x)为奇函数，排除D;当

eIe

8

>

x>0时，危）>0,排除C;又12）=e2_|_e-2l°故选Ao

答案A

5.（2020•浙江高考）函数y=xcosx+sinx在区间[―TT,川上的

图象可能是（）

解析令fix）=xcosx+sinx,所以/（—%）=（-x）cos-（—x）+

sin（—x）=—xcosx—sirix=—/x）,所以«x）为奇函数，排除C,D;

又y（兀）=一兀V0，排除B。故选A。

答案A

6.（2020.开封市一模）已知定义在[m—5,1—2m]上的奇函数

心），满足x>0时，危）=2'—1,则#加）的值为（）

A.-15B.-7C.3D.15

解析由题意知，（加一5）+（1—2根）=0,解得〃2=—4。又当

第>0时,於）=2'—1,则人加）=八-4）=-/（4）=一（24—1）=一15。

故选A。

答案A

7.（2020•陕西省百校联盟模拟）函数#x）在[0,+8）上单调递

增，且7U+2）的图象关于直线工=-2对称，若式-2）=1,则满

足代x—2）W1的％的取值范围是（）

A.[-2Z2]B.（一8,-2]U[2,+8）

C.（—8,0]U[4,+oo）D.[0,4]

解析依题意得，函数式幻是偶函数，则式x—2)Wl,即4x

-2|)<X|-2|)o由函数式x)在［0,+8)上单调递增得仅一2忆2,即

—2wx—242,04X44。所以满足f(x-2)<l的x的取值范围是［0,4］。

故选D。

答案D

8.已知函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，且满足犬2+x)

十大%)=0,当x£［—2,0］时，yU)=_f_2x,则当问4,6］时,y

=/a)的最小值为()

A.-8B.-1C.0D.1

解析由/(2+x)+Ax)=0,得14+x)+/(2+x)=0,以上两

式相减，得式x)=A4+x),所以函数7U)是以4为周期的周期函数。

2

设［0z2］,则一［—2,0］,艮—x)=—(—x)—2(—x)=~l+Zx。

因为函数y=«x)是定义在R上的奇函数，所以«()=—/(一尢)=/

一21=。-1)2—1,当x=l时，式x)取得最小值一1。由周期函数

的性质知，当工£［4,6］时，y=/(x)的最小值也是一1。故选B。

答案B

.Lx2,

9.(2020•南充市适应性考试)函数y(x)=

卜|，|x|>b

若方程风x)=a有且只有一个实数根，则实数a满足()

A.a=1B.d>\C.OWavlD.a<Q

解析方程有且只有一个实数根，则直线y=a与人工)

的图象有且只有一个交点，作出函数y(x)的图象如图所示，当。

=1时，直线y=〃与函数«x)的图象有且只有一个交点。故选A。

答案A

10.已知定义域为R的函数兀灯满足八一%）一/（%）=0,且yu

-x）=Xl+x）,则下列结论一定正确的是（）

A.yu+2）=/u）

B.函数丁=段）的图象关于点（2,0）对称

C.函数y=/（x+l）是奇函数

D.X2-x）=y（x-l）

解析在小一幻=41+工）中，把x换成1+x,得11—（1+幻）

=/i+（i+x））,即yu+2）=y（-x）；把x换成1一羽得犬1一（1一

x））=yu+（i—1））,即yu）=#2—X）。知函数y=ya）的图象关于点

（2,0）对称。故选B。

答案B

二、填空题

3一%+]x<0,

11.已知於）=、[若胆—1））=14,则实数。

的值为。

解析由题知|-1）=4,则y（4）=16+loga4=14,解得。=；。

答案!

Inx,xNl,

12,设函数yu）=I,若次加）>1,则实数”的取值

1Xyx<1,

范围是o

解析解法一：若m>1,则由得能>e;若加vl,则

由1—">1,得〃i<0,故实数机的取值范围是（一8,0）U（e,+

°°）o

lirv,x^l,

解法二：如图所示，可得«x）=的图象与直线

1—X,x<\

y=l的交点分别为（0』），（e』），由图可知，若加九）>1,则实数相

xe'x2

13,（2020.南充市适应性考试）已知函数/U）=—

CI1

Sim,贝ljX-5)+X-4)+X-3)+X-2)+X-l)+y(0)+Xl)+X2)

+大3)+{4)+<5)的值是o

4xe"+x+2x(er+l)+22

斛析fix)=e.t+1+siax=--q-j—+sinx=^q-j-+x

22ex

+siiu,所以/一幻=B-；+1x+sin(—x)=%-sinx,所以

ex+l

2?ev

7U)+./(—X)=R+印=2,所以式0)+八0)=2=40)=1,所以

X-5)+A-4)+A-3)+X-2)+X-l)+A0)+Xl)+X2)+A3)+

A4)+A5)=5X2+1=11O

答案H

14.已知函数人x）是奇函数，当xvO时，y（x）=-f+x。右不

等式式¥）—xW2k）gd3>0且qWl）对0,乎］恒成立，则实数

〃的取值范围是o

解析由已知得当x>0时，故fW210gH〃>0且

aWl）对0,孝|恒成立，即当xG0,乎］时，函数）=炉的

图象不在y=21ogd图象的上方，由图（图略）知0<a<］且210g,青

11

>角W-

\-W

牙4

_

1

答

案

一

_中

B级素养落实

15.定义在R上的函数加0满足用+x）=/x-3）o当一2Wx〈0

2020

时，/(x)=cos7r-xy,当0W%v2时,/%)=2'-3,则％。=()

i=l

解析因为1l+x)=«r-3),所以./U)=«r+4),所以函数

jrr

«x)的周期为4。因为当一2Wx<0时，«¥)=以)5不，当0Wx<2时,

段)=2厂3,所以共1)=2-3=(,/(2)=/-2)=cos|-y]=cosy=

-yX3)=/(-l)=cos|^-1J=cos1=2,#4)=#0)=2。-3=0,所以

1111320203

41)+#2)+五3)+八4)=4一]+/+§=»所以X/lO=5O5Xg=

故选C。

答案C

16.（2020.北京高考）为满足人民对美好生活的向往，环保部

门要求相关企业加强污水处理，排放未达标的企业要限期整改。

设企业的污水排放量W与时间1的关系为W=fit）9用一彗三臀

的大小评价在［。，句这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知

给出下列四个结论：

①在陆，切这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强;

②在殳时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在73时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在［0,切，［，切，色，旬这三段时间中，在［0,fi］

的污水治理能力最强。

其中所有正确结论的序号是。

解析由题图可知甲企业的污水排放量在lx时刻高于乙企

业，而在亥时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在［h,5这

段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题

图知在右时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业

的，故②正确；在办时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污

水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在［0,fj,［ti,t2］,

［t2,旬这三段时间中，在［0,5的污水治理能力明显低于阴，切

时的，故④错误。

答案①②③

小题增分专项2基本初等函数、函数与方程

命I题I分I析

卷全国卷3年高考

年份全国I卷全国II卷全国III卷

指、对数函数

构造函数比较构造指数函数的实际应用(4

2020

大小・T12比较大小•「］对数大小的比

较112

指数、对数比

较大小指数函数、对

2019以数学文化为数函数的性未考查

背景的估算思质工

想工

分段函数的零对数式的比较

2018未考查

点问即・T9大小问题・T|2

修命题规律

从近3年高考情况来看，本部分内容一直是高考的热点，尤

其是对函数的零点、方程的根的个数的判断及利用零点存在性定

理判断零点是否存在和零点存在区间的考查较为频繁。一般会将

本部分内容的知识与函数的图象和性质结合起来考查，综合性较

强，常以选择题、填空题形式出现。解题时要充分利用函数与方

程、数形结合等思想。

明确考点扣准要点e考点整合e

1.指数式与对数式的七个运算公式

(1)。⑦〃=优?+〃；

(2)("〃=产;

注：a>0,m,九WQu

⑶log，MN)=logJW+logJV；

M

⑷10g，W=10g“M—logJV；

(5)log”AT=〃logaM(〃6R)；

lOgaN

(6)。°=N；

log/N

⑺〃

logN=logba

注：a,/?>0且a,bWl,M>0,N>0o

2.指数函数与对数函数的图象和性质

指数函数丁=优3>0,aWl）与对数函数y=logd（a>0,aWl）

的图象和性质，分Ovavl,两种情况，当。>1时，两函数在

定义域内都为增函数，当0<。<1时，两函数在定义域内都为减函

数。

3.函数的零点问题

（1）函数pa）=/a）—g。）的零点就是方程#x）=ga）的根，即函

数y=Kx）的图象与函数y=g（x）的图象交点的横坐标。

（2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点

存在性定埋；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解。

4.应用函数模型解决实际问题的一般程序

读题建模求解反馈

文字语言=数学语言=数学应用=检验作答。

精析精研重点攻关0考向探究

考向一基本初等函数的图象与性质

【例1】（1）（2019.浙江高考）在同一直角坐标系中，函数y

=5，y=logaQ+m（a>0,且aWl）的图象可能是（）

解析解法一：若0<6?<1,则函数y=*是增函数，y=

10gM+]J是减函数且其图象过点I，Ol,结合选项可知，D可能

1（n

成立；若々>1,则尸示是减函数，而y=log4x+5j是增函数且其

图象过点修，o],结合选项可知，没有符合的图象。故选D。

解法二：分别取0=5和4=2,在同一直角坐标系内画出相应

函数的图象（图略），通过对比可知选D。

答案D

5445

（2）（2020•全国III卷）三知5<8-13<8O设。=log53,Z?=log85,

c=logi38,则（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

4

解析因为5=log88错误!，Z?=logs5,（8错误!）5=84>5）所以

8错误!>5,所以错误！=log88错误!>log85=h,即bv错误!。因为错误!=

k）g]313错误!，c=logi38,（13错误!）5=13%85,所以13错误!<8,所以

4

§=logi313错误!<logi38=c,即c>错误!。又2187=3?V55=3125,

所以Ig37<lg55,所以71g3V51g5,所以1Q皆3可5,所以。=曲ls<3]5<亍4

57

而8<5,所以51g8V71g5,所以氤>],所以力=藏〉]，所以c>b>ao

答案A

(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若

底数a的值不确定，要注意分a>\和0<a<\两种情况讨论:当a>]

时，两函数在定义域内都为增函数；当0<。<1时，两函数在定义

域内都为减函数。

(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性

质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，

然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判

断。

【变式训练1]⑴已知log2a>log2&,则下列不等式一定成

立的是()

A.B.ln(a—Z?)>0

解析由log2〃>log必可得a>b>0,故a—b>09逐一考查所给

的选项。A中，:B中，〃一)>。，ln(〃一6)的符号不能确定；

CZ

答案D

(2)在同一直角坐标系中，函数7U)=2—QX和g(x)=loga(x+

2)3>o,且的大致图象可能为()

解析由题意知。＞0,函数式X)=2—ox为减函数，排除C;

2

若则函数#0=2—ox的零点的=一£(2,+°°),且函数

ga)=iog“a+2)在(-2,+8)上为减函数，排除B；若则

2

函数«x)=2—ox的零点xo=~^(O,2),且函数g3)=k)ga(x+2)在

(-2,+8)上为增函数，排除D。

答案A

考向二函数的零点重点微专题

角度1确定零点的所在区间

[例2]函数./U)=log8X-1的一个零点所在的区间是

()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D・(3,4)

解析因为川)=0—；=—；<o,#2)=log82一/=；—30,所

以次1次2)<0,又知函数/(x)=k)g8X-］在(0,+8)上为单调增函

数，所以函数兀¥)在(0,+8)上只有一个零点，且零点所在的区

间是(1,2)。故选B。

答案B

法悟通

判断函数在某个区间上是否存在零点的方法

(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断

方程是否有根落在给定区间上。

(2)利用零点存在性定理进行判断。

(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有

交点来判断。

【变式训练2】设«r)=lnx+x—2,则函数1好的零点所在

的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

解析解法一：因为41)=0+1—2=—1<0,人2)=1112+2—2

=ln2>0,所以函数«¥)的零点所在区间为(1,2)。故选B。

解法二：函数式x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)=lnx,

h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的取值范围，作出图象如图

所示。由图可知7U)的零点所在的区间为(1,2)。故选B。

答案B

角度2求参数的取值范围

[例3]已知函数«r)=8+2(x<0)与g(x)=ln(x+〃)+2的

图象上存在关于y轴对称的点，则实数。的取值范围是()

(1、)

A.-8,-B.(—8,e)

C.■(i0D.口(,Jn

解析由题意知，方程y(—x)—g(x)=o在(o,+8)上有解，

即e~A+2—ln(x+6z)—2=0在(0,+8)上有解，即函数>=©一”与

y=ln(x+a)的图象在(0,+8)上有交点。函数y=ln(x+a)可以看

作由y=lii¥左右平移得到，当avO时，向右平移，两函数图象总

有交点，当。=0时，两函数图象总有交点，当〃>0时，向左平

移，由图可知，将函数y=lnx的图象向左平移到过点(0,1)时，两

函数的图象在(0,+8)上不再有交点，把(0』)代入y=lnCx+a),

得l=ln«,即a=e,所以0<〃<e。综上，a<eo

答案B

・法悟通

解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关

键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或

不等式求解。

e'+m

g(x)=/a)

(|Mlnx|,x>n0,

+x,若g(x)有且仅有一个零点，则实数。的取值范围是()

A.(—8,—1)B.[―1,+°0)

C.(一8,0)D.[0,+8)

解析如图，g(x)有且仅有一个零点等价于方程式x