高考二轮考点专题突破检测：集合简易逻辑函数与导数不等式专题 解题方法技巧专题 解析几何专题(含详细答案)

专题达标检测

一、选择题

1.已知集合4={Hiva}，8=31Wxv2"且4U（：/）=R,则实数。的取值范围是（）

A.B.a<\C.心2D.a>2

解析：[依=（-8,i）“2,+oo）,又人口（腹8）=艮数轴上画图可得。22,故选

答案：C

2.已知命题p：9人/命题/x+长[一右一21则下冽说法正确的是（）

A.〃是g的充要条件

B.〃是g的充分不必要条件

C.p是q的必要不充分条件

D.〃是q的既不充分也不必要条件

解析：（W2*WT=-2WXS-1,即[—2,-1]

»则2,—z].

1

又[-2,—1]—2,—2.

•'•p是q的充分不必要条件.

答案：B

3.（2010•湖南）金小•等于（）

A.-21n2B.21n2£.-In2D.In2

解析：VJM^//r=ln娟=ln4—In2=1n22—In2=21n2—In2=ln2.

答案：D

4.（2010•课标全国）设偶函数危）满足外）=/一8（x20）,则以心一2）>0}=（）

A.{x\x<—2或x>4]B.{x|x<0或x>4}

C.{小<0或x>6}D.{x|x<—2或x>2}

解析：•••凡丫）=/一8。20）且於）是偶函数；

8,GO,

[—8,x<0,

x—220,

*4（X-2）3-8>0,

x—2<0,fQ2,fx<2

或3={或{t

—(x—2)3—8>0,[x>4,lx<0.

解得x>4或x<0,故选B

答案：B

5.(201。浙江)设函数儿1)=45血(2»+1)一心则在下列区间中函数及x)不存在零点的是

()

A.1-4,-2]B.[-2,0]

C.[0,2].D.[2,4]

解析：・・•4))=4sinIX),

K2)=4sin5-2v0,

:,函数人外在[0,2]上存在零点；

V/(-2)=-4sin1+1<0B.

・•・函数4》)在[—2,0]上存在零点；.

又会寻一；<4,

借-5=4—管一加)，

而加2)<0,・•・函数人幻在⑵4]上存在零点.故选A.

答案：A

6.已知函数H%)=0?+/+山+]的图象如右图所示，且|即|<|对，则有)

A.a>0,b>0,<?<0,d>0

B.a<0,b>0,c<0,d>0

C.£?<0,b>0fc>0td>0

D.a>0,b<0,c>0,d<0

解析：因，(x)=3ox2+2bx+c,由题意可知导函数/(x)的图象如右图所示，所以

a<0,c>0,一袭0，则伏0,由原函数图象可知办0.

答案：C

二、填空题

7.已知函数凡r)=o?+Aosx—x,且人-3)=7,则/3)的值为

解析：设g(x)=av+反os4，则g(x)=g(—X).由人-3)=g(—3)+3,得g(—3)=逐一

3)—3=4,所以g(3)=g(—3)=4,所以13)=以3)—3=4—3=1.

答案：1

8.已知函数«¥)=鼠1+3(£—1)/一炉+I(QO)的单调减区间是(0,4),则k的值是

解析：f(1)=34+6(&-l)x

•二函数的单调.减区间是(0,4),・\f(4)=0,

答案：|

9.(2010・烟台模拟)已知函数例)的值域为[0,4]。包-2,2]),函数ga)=or-l,

[-2,2],任意即£[—2,2],总存在即£[—2,2],使得g(w)=#q)成立，则实数。的

值范围是.

解析：由题意知[0,4]是g(Q值域的子集.

而g(x)的值域为[―2同一l,2|a|-1].

显然一2⑷一1<0,故只需2间一124,即同斗

55

--

22

55

答

或

案2-V-

a2a、-2

10.(2010・潍坊模拟)给出定义：若，〃一拉。+氐其中小为整数)，则小叫做离实数x

最近的整数，记作{x}=m在此基础上给出下列关于函数凡¥)=仅一{处|的四个命题:

①函数y=/U)的定义域为K，值域为|_0，5」；

②函数)，=段)的图象关7直线x=却任Z)对称；

③函数y=ya)是周期函数，最小正周期为I；

④函数y=y(x)在[一；，m上是增函数.

其中正确的命题的序号是.

解析：①由定义知：一/<¥—{%}《；

.,・.OW|x-{x}|W^

■r

.\Ax)的值域为0,2，

，①对，②对，③对，④错.

答案：®®®

三、解答题

11.设集合A为函数y=ln(—f-2x+8)的定义域，集合8为函数〉=1+工、的值域，

人I1

集合。为不等式(or—》a+4)W0的解集.

⑴求AC8；

(2)若CGCRA,求。的取值范围.

解：(1)由一d—2x+8>0,解得4=(—4,2),

又y=x+47=(x+1)+47-1，

J1X十1

所以8=(—8,-3]U[1,+8).

所以AC8=(-4,-3]U[1,2).„

(2)因为因A=(-8,-4]U[2,+8).

由(ar-!)a+4)W0,知q#0.

①当a>0时，由(x—Ja+4)W0,得。=[一4,曰不满足C*A；

②当a〈0时，由[一十)(1+4)20,得。=(一8,-4)u[《，+8),欲使CG]小,

则]很2,

解得一孚Wa<0或OQW内.

又〃<0,所以一坐Wa<0.

综上所述，所求。的取值范围是一坐，0)

12.(2010・湖南)已知函数凡r)=f+Zu+c(b,cWR),对任意的x^R,恒有

f。)小心).

(1)证明：当x20时，Ax)W(x+c9；

(2)若对满足题设条件的任意b,c,不等式7(c)-"b)WM(c2一从)恒成立，求M的

小值.

(1)证明：易知/a)=2x+b.由题设，对任意的xGRZt+bWf+bx+c,即f+

(力-2)x+c—b20恒成立，所以(b—2)2—4(c—b)WO,从而c21+1.于是c2l,

且c2〜彳Xl=|b|,因此2c—8=c+(c—b)>0.

故当x^O时，有(1十。2-/(幻=(2。一。)4+《。一1)1。.

即当x20时，fix)^(x+c)2

(2)解：由⑴知，问外当时，有M岑李二仁厂二篝

hc+2/?11

号则一1U<1,77『7=2-j7j7；.而函数g(r)=2—的值域是

CU-1C1II1II

(-8,,).因此，当C>|〃时，W的取值集合为|,+8).

当c=|臼时，由(1)知，b=±2,c=2.此时1。一/(6)=—8或0,。2—y=0,从而贝c)

一加)盘武一户)恒成立.

3

综上所述，M的最小值混.

13.(2009.湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距机米.余下工程只需

两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x

米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+也)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥

墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为)，万元.

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)用机=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

解：(1)设需新建〃个桥墩，则(〃+1沈=机，即〃=；—1,所以y=y(x)=256〃+(〃

1)(2-\-\[x)x=25«；—1)+/(2+S)X=25：1+nrjx-^-2m—256.

3

(2)由(1)如，/'(x)=-^^+加一3=景工2-512).

3

令/(力=0,得彳2=512,所以x=64.

(XVV64时，/(x)<0,共工)在区间(0,64)内为减函数：

当64<x<640时，f(x)X),人外在区间(64,640)内为增函数.所以於)在％=64处取

最小值.此时〃=；—1=鬻-1=9.

故需新建9个桥墩才能使)，最小

专题达标检测

一、选择题

1.设㊉是R上的一个运算，A是R的非空子集.若对任意a、有。㊉则

称4对运算㊉封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算

封闭的是（）

A.自然数集B.整数集

C.有理数集D.无理数集

解析：A：自然数集对减法，除法运算不封闭，如1—2=-14N,1：2=*N.

B：整数集对除法运算不封闭，如1：2=*Z.

C：有埋数集对四则运算是封闭的.

D：无理数集对加法、减法、乘法、除法运算都不封闭.

如（g+1）+（1-啦）=2,

巾一巾二0,啦X啦=2,

由他=1,其运算结果都不属于无理数集.

答案：C

2.（2010・武汉质检）若x,y£R,则“x>l或y>2”是“x+y>3”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：本题考查充分必要条件的判断.

据已知若x>l或y>2=/x+y>3,反之研究当x+）>3时是否推出x>l或y>2,

由于命题：xWl且yW2=x+yW3为真，其逆否命题即为x+y>3=x>l或y>2,由

题的等价性可知命题为真，因此或y>2是x+y>3成立的一个必要但不充分条件.

答案：B

3.（2010・济南模拟）为了得到函数产sin（2L§的图象，可以将函数尸cos2x的图象「

（）

A.向右平移专个单位长度

B.向右平移W个单位长度

C.『向左平移/个单位长度

D.向左平移9个单位长度

解析：本题考查函数图象的平移变换.

n(j-2^=>y=siii^7t—(j-2^J=>y=sin^2x+^=>y=sin2^r-4-^,

由y=cos2x=y=si:

=sinQ-^ny=sin2(L&,

又y

可见由y=sin2（x+£）的图象向右移动升金=笔3三个单位，得到产sin2G—专）

的图象.

答案：B

4.已知抛物线*=-20。＞0）的焦点F的任一直线与抛物线交于M、N两点，则苏+

/j为定值（）

1234

A「B~C.-D.~

PPPP

解析：取通径MN,则|EV1=FM=P，

1,12

\FM\+\FN\=p'

答案：B

5.（2009•江西）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场匕赛各队取胜的概率相

等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相

的概率为（）

A6B4C.JD，2

i2

解析：甲、乙两队分到同组概率为P|=1,不同组概率为尸2=东又：各队取胜概率

均为去

工甲、乙两队相遇概率为尸=1+,温温=；.

答案：D

（2。。9・陕西淀义在R上的偶函数加,对任意和应可。，+8）3"力有号三詈

6.

<0则

)

A.人3）4—2）勺。）

B.川）勺（一2）勺（3）,

C./（-2）＜7（1）＜/（3）

D.犬3）41）勺（一2）

解析：对任意内，必£[0，+8）（k#应），有二誓＜0,则也一由与儿。）一人为）

必一X|

异

号，因此函数兀0在[0,+8）上是减函数.又在R上是偶函数，故人-2）=人2）,

由于3＞2＞1,故有｛3）勺（一2）勺（1）.

答案：A

二、填空题

7.（2009・广东理）若平面向量a,b满足|。+目=1,a+b平行于x轴，。=（2,—1）,则〃

解析：•.•|a+b|=l,a+b平行于x轴，故a+b=（l,0）或（一1,0）,Aa=（l,0）-（2,

-1）=（一1/）或。=（一1,0）—（2,—1）=（一3,1）.

答案：（一1,1）或（一3,1）

8.已知兀丫）是定义在（一8,0）U（0,+8）上的奇函数，且当x£（0,+8）时，单调

递增，又„=0,设A是三角形的一内角，满足人cosA）＜0,则A的取值范围是

解析：

作出满足题意的特殊函数图象，如图所示，由图知，0＜83人＜!或一1«0$人＜一3.

答案:你却侍兀）

9.若存在[1,3],使得不等式4+（。-2）4—2＞0成立，则实数x的取值范围是

解析：考虑命题：“存在a£[l,3],使得不等式a?+（a-2）x-2＞0成立”的否定为

“任取。£［1,3］,使得不等式以2+g—2)x—2W0恒成立”.变换主元得到y(a)=a(f

+x)—2x—2W0,对任意的。£［1,3］恒成立，则只要满足/U)WO且13)W0即可，所

22

以一1WxWg,故x的取值范围是x<-1或x>y

、2

答案：x<—1或

10.若二次函数_/^)=4/一2(»—2次一2。2—〃+1在区间［-1,1］内至少有一个值°,使

fic)>0,则实数〃的取值范围为.

解析：此题从反面分析，采取补集法则比较简单.如果在［-1,1］内没有点满足

4。)>0,

则/(T)W0,

则

川)W0.”-3如四

=pW-3或

取补集为卜1一3<渴｝,即为满足条件的p的取值范围.

3

答案：一3<p%

三、解答题

11.设函数兀0=cos(2x+§+si1n

(1)求函数«r)的最大值和最小正周期：

(2)设A,B,C为△48C的三个内角，若cos3=/

焉)=一；，且。为锐角，求sinA.

…兀71,1—cos2x

解：(1)/(%)=cos2xcosj—sin2xsing+--------=

1c近.,11c

geos2x—^sin2x十/一/cos2x

_1

=2-2s,n2M.

所以当2x=-］+2E,即％=一：+桁(左£2)时，人工)取得最大值，以切电大值=出乎,

於)的最小正周期T=专=兀，

故函数共制的最大值为巨沪，最小正周期为兀

1

由-

2)X94

解得sinC=2-

又C为锐角，所以C=号由1cos求得sinB=4左

因此sinA=sin[7t—(B+C)]=sin(B4-C)

=sinBcosC+cosBsinC

=2^2X1,lx^32书+小

2X2+326

12.（2009•全国I理）在数列｛斯｝中，67,=1,。〃+|=。+3斯+空■.

⑴设小=半，求数列"的通项公式；

（2）求数列｛斯｝的前〃项和£.

解：（1）由己知得仇=q=1,且弟

n~r1n

即几+1=瓦+干，从而用=/+亍

岳=勿+3，

儿=仇-[+尸(〃22).

于是儿=6+:+3~|---1-£-[=2—£T(〃22).

又加=1,

故所求的通项公式仇=2一册.

(2)由(1)知%=2〃一新T，故

S”=(2+4+…+2〃)一(1----

设北=1+*+/---b/T，①

①一②得,

1----Fy7-r-^

1

2n

2〃=2-

1

〃+2

♦.4—2〃T

〃I2

:.Sn=/?(«+1)+5T-4r

13.如图所示，椭圆C：夕+$=13>b>0)的一个焦点为尸(1,0),且过点(2,0).

(1)求椭圆。的方程：

(2)若A8为垂直于x轴的动弦，直线/：x=4与x轴交于点N,直线4尸与8N交于

点M,

(i)求证：点M恒在椭圆。上；

(ii)^AAMN面积的最大值.

方法一：(1)解：由题设。=2,c=l,从而b2=J—c2=3,

22

所以椭圆。的方程防■+苧=1.

(2)⑴证明：由题意得尸(1,0)、N(4,0).

22

设A(加，〃)，则8(〃?，一〃)(〃W0),^~4-y=1.®

A尸与8N的方程分别为：〃(x—1)一(〃?-l)y=。，

n(x—4)+(m—4)y=0.

n(x—l)—(m—l)y=O②

设刈)，则有0of

”(沏一4)+。〃­4加=0,③

由②③得的=IS3〃

yQ=2m-5'

,(54-8尸3J(5/_8)2+l?〃2

出土彳+3=4(2w-5)2-h(2/n-5)2=4(2w~5)2

(5/n-8)2+36-9An2

=4(2m-5)2=L

所以点例恒在椭圆。上.

22

(ii)解：设AM的方程为x=)+l,代入，+3=1,

得⑶2+4)y2+6(y-9=0.

设4项，》)、“。2，”)，则有乃+竺=3/；；

J,-V2=3r+4,

r~~；--y——4小々3『+3

lyi—%1—v(为十”)-4y,2—3,+4•

令3』+4=犯24),则

4小7入一1

6一竺1=；

=4小、-G)叼

=4小、一(；一分+；.

因为424”0<1号所以当作=小

即2=4"=0时,加一”1有最大值3,此时AM过点F4AMN的面积50明产如日•明

9

一力1有最大值,

方法二：(1)同方法一.

(2)(i)证明：由题意得人(1,0)、N(4,0)，

22

设4(/篦，n),则8(M，一〃)(〃W0),詈+,=1.①

4尸与BN的方程分别为〃。-1)一(加一1»=0,②

心一4)+(〃?-4))，=0.③

由②③得；当x#电寸，/一£._；，n~2x~5'®

22

把④代入①，得了+全=1。¥0).

「3

呼一(卅一l)y=0,

当时，由②③得<

—|n+(7n+4)y=0,

〃=0,

解得八与〃W0矛盾.

b=o，

22

所以点M的轨迹方程为：+、=1()$0),

即点M恒在椭圆。上.

（ii）同方法一

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一、选择题

1.（2010•山东潍坊）直线xcosa+小y+2=0的倾斜角的范围是)

A（6-2）U（rflB[0,，愕，"）

c[。,?]D.[*y]

解析：由直线xcosa+3y+2=0,所以直线的斜岸为人=一守

设直线的倾斜角为£,贝|]tan£=一二后-.

又因为一坐里即一坐Wtan0W坐，所以££[（），黎]口愕，兀）

答案：B

2.若圆f+J—4x—4y—10=0上至少有三个不同的点到直线/：欠+力=0的距离为

2啦，

则直线/的倾斜角的取值范围是（）

B话,n\

D.[0,外

解析：由题意知，圆心到直线的距离d应满足UWdW巾,号gw&n〉+

b2

+4。庆0.

显然方W0,两边同除以/A得02+4C）+I（O.

解得—2-3W宗2+小.

攵=一*2£［2—小，2+小］,。0［金，招］故选B.

答案：B

3.（2010.陕西）已知抛物线）?=2pMp>0）的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切，则p的值

（）

A.1B.1C.2D.4

解析：圆9+）,2一6%—7=0的圆心坐标为（3,0）,半径为4.

y2=2px（p>0）的准线方程为％=一多

.•.3+§=4,，p=2.故选C.

答案：C

4.（2010•广东中山）设F^F2为椭圆宁+/=］的左、右焦

点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边

形PRQFz面积最大时，包•包的值等于（）

A.0B.2C.4D.-2

解析：易知当P、。分别在椭圆短轴端点时，四边形PKQF2面积最大.

此时，尸|（一小，0）,尸2（、氏0）,P（0,l）,

PFi=（—^3,—1）,尸产2=（3—沏，一%），

:.际1•丽=-2.

答案：D

x22

5.已知为、尸2是双曲线孑一方v=13>0,加>0）的两焦点，以线段"2为边作正三角形

Mg,若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（r）

A.4+2小B.小一1

cW；।D邛+］

解析：设正三角形的边的中点为4则”（0,小c）,尸i（一c,0）.

所以《一2c）»〃点在双曲线上,

化简/一8，+4=0,

解得/=4+2#,所以6=巾+1.

答案：D

6.（2010•全国I）已知网（）的半径为1,PA、PB为该国的两

条切线，A、B为两切点,那么育­了市的最小值为（）

A.一4+历B.-3+也

C・—4+2也D.—3+2历

解析：设NAPB=20,|茴|=乃则祢•施=|育|・|储I

cos20=|PA|2COS20=（|PO|2-1）・（1-2sin20）=（x2-1）

*（1一亳）=£-2—1+誉＞-3+2也，当且仅当』=亳，

即1=沥时取等号，故选D.

答案：D

二、填空题

7.（2010.辽宁沈阳）若直线/经过点3—2,—1）和（一。一2,1）且与经过点（一2,1）,斜率为

一匏勺直线垂直，则实数a的值为.

解析：由于直线/与经过点（一2,1）且斜率为一1的直线垂直，可知。一2#一。一2.

答案：音2

8.若双曲线《一呼=1的左焦点在抛物线J=2px的准线上，则p的值为_______

JP

解析：由题意可列式、^+金兰，解得p=4.

答案：4

9.（2010•上海）圆C：»+/一力:一为+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=

解析：V?+/-2x-4y+4=0,A（x-l）2+（y-2）2=I.

圆心g）到3收，+4=。的距离为人氏群辿=3.

答案：3

10.(2009・湖南)过双曲线C：力一比＞0)的一个焦点作圆f+y2=〃2的两条切

线，切点分别为A、氏若/405=120。(0是坐标原点)，则双曲线C的离心率为

解析:

如图，由题知OA_L4尸，OB_LB产且NAO8=120。,

「・N40尸=60°,

又OA=atOF=c,

**c=OF=cos60°=2,

W=Z

答案：2

三、解答题

11.(2010•宁夏银川)设直线/的方程为(〃+l)x+y+2—a=0(a£R).

(1)若/在两坐标轴上截距相等，求/的方程；

(2)若/不经过第二象限，求实数。的取值范围.「

解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，・・・a=2,方程即为

3x+y=0.

・・•当直线不经过原点时，由截距存在且均不为0,

a-2

:.—7T=«—2,即。+1=1,

。十1

.*.«=0,方程即为x+y+2=0.

(2)解法一：将/的方程化为y=—(a+l)x+。-2,

.•・]阈/,"W—1.

[a-2^0[a-2^0,

综上可知a的取值范围是aW—1

解法二：将/的方程化为(x+y+2)+a(x—1)=0(。£R).

它表示过A：x+y+2=0与方工一1=0的交点(L-3)的直线系(不包括x=l).由

图象可知/的斜率为-3+1)20,即当aW-l时，直线/不经过第二象限.

12.P为椭圆春味=1上任意一点，R、尸2为左、右焦点，如图所示.

(1)若PFi的中点为M,求证:

|M0|=5一江|；

(2)若/尸/尸2=60°,求出QIIPF,之值:

(3)椭圆上是否存在点P,使苏।•丽=0,若存在，求出P点的坐标，若不存在,

试说明理由

(1)证明：在△QPF2中，M。为中位线,

一|

：\PFA2aPQ|

,\MO\=22

IP川＜l

=«-2^=5-2|1FDF,r1l-

⑵解:・・•|产品|+|明|=10,

22

・•・|P尸11+|PF2|=100—2|P尸#|PF2|,

在△PFi尸2中，cos60—2IPF1IIPF2I，

.,.|PFII|PF2|=100-21PMi•\PF2\~36,

・・・|PBHP尸2尸竽

(3)解：设点PQ),加，则叫+瑟=1.①

易知尸I(-3,0),尸2(3,0),故夕丹=(一3一即，一%),

尸产2=(一3一沏，一兆)，

•・•尸尸i♦9尸2=0,，/一9+^=0,②

由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点。不存在.

13.(2010•浙江金华)已知抛物线¥=4)，的焦点为F,A、B是

抛物线上的两动点，且肃=/而(入＞0).过A、B两点分别

作抛物线的切线，设其交点为M.

(1)证明：同•苏为定值；

(2)设AAMB的面积为S,写出S=/“)的表达式，并求S的最小值.

⑴证明：由已知条件，得尸(0,1),力＞0.

设4(%1，乃)，BQ》J2)-

由A尸=刀有，即得（一M.1—%）=，%2，52-1），

-.V|=lv,①

*2

1—乃=丸。2—1），②

将①式两边平方并把yi=1x?,力=定代入得M=下九.③

解②、③式得乃=九力=:，

且有X]X2=—Axl=-4Ay2=~4,

抛物线方程为），=（/,求导得）/=5.

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y=&G-x|）+M，y=1t2（x—>2）+y2,

即y=^x\x—^x\f

11,

解出两条切线的交点M的坐标为隹虫，-1）

所以一2）.（彳2—xi，"一月）=

址一片一=0,

所以前•后为定值，其值为0.

（2）解：由（1）知在aABM中，FMVAB,

因而S=^\AB\\FM\.r

「因为|4月、IRQ分别等于A、B到抛物线准线5=-1的距离，所以|4回=|4月+|8月

=乃+)'2+2

=2+a2=("+排.

于是S=*4和襁1=氐"+力）3,

由知S>4,且当2=1时，S取得最小值4

专题达标检测

一、选择题

1.若。、匕表示互不重合的直线，表示不重合的平面，则。〃a的一个充分条件是

）

A.a//a//pB.a】B，a_L0

C.a//b,b//aD.aC\p=b,Ha,a//b

解析：A,B,C选项中，直线。都有可能在平面。内，不能满足充分性，故选D.

答案：D

2.（2010・全国I）正方体ABCZ）-486功中与平面ACG所成角的余弦值为（）

A坐B.坐C.|D坐

解析：・・・88|〃Z）Oi，・・・。坊与平面4cs所成的角即为8丛与平面ACQ所成的角，

设其大小为伍设正方体的棱长为1,则点。到面ACQ的距离为坐，所以sinJ=9，

得cos6=坐，故选D.

答案：D

3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中/ACB=90。，M为4B的中点，PM垂直于

△A8C所在平面，那么)

A.PA=PB>PC

B.PA=PB<PC

C.PA=PB=PC

D.PA^PB^PC

解析：:M是RtZ\A8C斜边A8的中点，・・・MA=M8=MC.又平面A8C,，M4、

MB、MC分别是附、PB、PC在平面ABC上的射影，=PB=PC.应选C.

答案：C

b

4.如图，啤酒瓶的高为/?,瓶内酒面高度为〃，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为/

+力=/0,则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为()

卜

A.1+*且。+人＞力

B.1+,且a+b<h

Cr.1+£且a-\-b>h

D.1+楙且。+〃＜力

解析：设啤酒瓶的底面积为S,啤酒瓶的容积为V%

瓶内酒的体积为V3,

则V«-V«=SP,

即得V亚=丫酒+Sb=S(a+力,

,%S(a+〃)b

•京=Sa=1十7

X***Sa'>Sa,即o'>at

*.h=a'+b>a+b,

y«h

2一且a+b<h.

.*.TVTa=1+a

答案：B

5.在正三棱锥S-ABC中，历、N分别是棱SC、8c的中点，且MALL4M,若侧棱SA

=2小，则正棱锥S—ABC外接球的表面积是（）

A.12JIB.32冗

C.36兀D.48兀

解析：由于MALLAM,MN//BS,则BS_LAM,

又根据正三棱锥的性质知8S_L4C,则BSJ_平面SAC,于是有N4SB=NBSC=NCSA

=90°,SA、SB、SC为三棱锥S—ABC外接球的内接正方体的三条棱，设球半径为

则4尸=35川=36,球表面积为4冗川=36兀

答案：C

6.（2010.北京）如图，正方体ABCD-A向GP的楂长为2,动点E,6在棱A向上,

点P,。分别在棱AO,CD上，若EF=1,AtE=x,DQ=y,DP=z（x,yfz大于零）,

则四面体尸£尸。的体积（=）

A.与x,y,z都有关

B.与％有关，与y,z无关

C.与y有关，与x,z无关

D.与z有关，与x,y无关

EF=1,是定值.

_1_面AODA且PNU面AODA,

，PN_L面力|81CD.

"：PD=z,/AiQA=45°,

・••PN丹z,：•VPEFQ=^EFQPN与居y无关，与z有关，故选D.

答案：D

二、填空题

7.（2010・湖南，13）下图中的三个直角三角形是一个体积为20加3的几何体的三视图,

贝ijh=cm.

正视图侧视图

解析：直观图如图，则三棱锥中AO_LA&AD1AC,ABA.AC,

••・体积V=1x^A5AC/i=20,

：.h=4.

答案：4

8.如图所示，在正方体，A8CD-A冏G5中，M、N分别为先_____C,

A1B1，CG的中点，P为4）上一动点，记a为异面直线PM/：；；、/

与AN所成的角，则a的取值集合为_______./

答案:局M二P

9.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1,其平面展开图如图所示，则该凸

多

面体的体积V-.

解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积

是

1,正四棱锥的体积是坐，故该凸多面体的体积为1+*.

答案：1+十

10.（2010•四川）如图，二面角。一/一6的大小是60。，线段月BUa,e~~-一j

B0,48与/所成的角为30。，则A8与平面尸所成的角的

正弦值是.B/

解析：过4作AC_L平面尸于C,C为垂足，连结CB,过C作。。_12于。“连结

4D,则4O_L/,

JNAOC为二面角1一/一4的平面角，即NAOC=60。.

••・AC",・・・NABC为直线AB与平面”所成角.设八2一1,则人。一*人（7一9坐

=亚

一4，

亚「

••sinNA8c一一［一4•

答案:小

三、解答题

11.（2010•江苏无锡）如图,在三棱柱A8C—4181G中，ABLBC,

BC1BC）,AB=BCVE、F、G分别为线段AG、AG、BB\

的中点，求证：

⑴平面ABCL平面4BC,；

（2）E尸〃平面BCGB）；

（3）G-L平面A8£.

证明：(1)：8C_LAB,BC工BG，ABCBG=B,，上C_L平面ABG.

•••8CU平面ABC,J平面4BC_L平面ABG.

(2Y：AE=EC},AiF=FCP：.EF//AA].

•・・E阿平面BCGBi，•••防〃平面BCGBi.

(3)连结EB,则四边形"GB为平行四边形.

VEBXACp：.FG±AC\.

•・・BC_L面ABC”

・・・Bi”BE,；・FGtBiCi.

•・・5Gn4G=G，・・・GF_L平面ABC.

12.已知侧棱垂直于底面的囚楂柱48CO—A归IG5的底面是菱形，

且ND4B=60。，AD=AA[f/为棱BB|的中点，点M为线段AG

的中点.

(1)求证：直线〃平面A3C£＞；

(2)求证：平面AFGJ^BfACGAi；

(3)求平面AFCy与平面ABC。所成的锐二面角的大小.

(1)证明：延长G尸交C6的延长线于点N,连结4V.因为“是的中点，所以“

为GN的中点，5为CN的中点.又M是线段AG的中点，故MF//AN.

又MH平面ABCD,ANU平面ABCD,

・•・“/〃平面A8CD.

⑵证明：(如上图)连结瓦)，由直四棱柱A8CO—4181Go可知：A|A_L平面ABC。,

又「BOU平面ABC。，

・・・AiA_L8D.

•・•四边形48CO为菱形，，4C_LBD.

又•・・ACC4iA=A,AC.&AU平面ACG4,

・・・8。_1平面4。。|4.

在四边形O4NB中，DA#BNADA=BN,

所以四边形DANB为平行四边形.

故NA//BD,，乂4_1平面4。64].

又「NAU平面A尸G

:.平面APG，平面4CGA1

(3)解：由(2)知BO_L平面ACGA，

又AGU平面ACCA，

/.BD±AC|,,:BD//NA,AAC1±AZA,

又因8OJ_4c可知NA.LAC.

:.NGAC就是平面AFCi与平面ABCD所成锐二面角的平面角.

CiC__L

在RtZXGAC中，tanNGAC=,故NGAC=30°.

CA小

・•・平面与平面ABCDu所成锐二面角的大小为30°.

13.(2010・湖北，18)如图，在四面体ABOC中，OC_LOA,OC1OB,一

NAO8=120°,且OA=OB=OC=1.

(1)设P为AC的中点.证明：在A8上存在一点Q,使尸。_L04,

AR

并计算器的值；

(2)求二面角O—AC-B的平面角的余弦值.

解:解法一：(1)在平面0A8内作OMLOA交48于M连结NC.

又OA_LOC,・・・OA_L平面ONC.

NCU平面ONC,：•OA±NC.

取。为AN的中点，则PQ〃NC,

・・・PQ_LOA.

在等腰AAOB中，N4OB=120。,

・・・N0AB=NO8A=3O。.

在RtZkAON中，NOAN=30。，

ON=^AN=AQ.

An

在△ONB中，ZNOB=I2O°-9O°=3O°=ZNBO,:・NB=ON=AQ,＜而=3.

(2)连结PMPO.

由OCJ_QA,OCA.OB知OC_1"平面OAB.

又ONU平面OAB,：.OC1ON.

又由ONLOA知0汽_1_平面AOC.

・•・OP是NP在平面AOC内的射影.

在等腰RtZXCQA中，尸为AC的中点,