2025苏州中考数学二轮专题复习-圆的综合应用-专项训练【含答案】

2025苏州中考数学二轮专题复习-圆的综合应用-专项训练一．解答题（共10小题）1．如图，△ABC中，AB＝4，D为AB中点，∠BAC＝∠BCD，cos∠ADC＝，⊙O是△ACD的外接圆．（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．（1）求证：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的长．

3．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF＝4，BF＝2，求AG的长．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．

5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．6．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．（1）求证：CD＝CE；（2）若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．

7．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．（1）求证：△DOE∽△ABC；（2）求证：∠ODF＝∠BDE；（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若＝，求sinA的值．8．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E＝∠C；（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝，E是的中点，求EG•ED的值．

9．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．（1）求证：ED∥AC；（2）若BD＝2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且﹣16S2+4＝0，求△ABC的面积．10．如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，＝，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若⊙O的半径为3，∠DAB＝120°，求劣弧的长；（2）求证：BF＝BD；（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG＝PF？并说明PB与AE的位置关系．

参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B，∴△BAC∽△BCD，∴，∵，D为AB中点，∴，∴BC2＝16，∴BC＝4；（2）过点A作AE⊥CD于点E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，∵在Rt△AED中，，，∴DE＝1，∴，∵△BAC∽△BCD，∴，设CD＝x，则AC＝x，CE＝x﹣1，∵在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，∴，即x2+2x﹣8＝0，解得x＝2，x＝﹣4（舍去），∴CD＝2，AC＝，∵∠AFC与∠ADC都是所对的圆周角，∴∠AFC＝∠ADC，∵CF为⊙O的直径，∴∠CAF＝90°，∴，∴，即⊙O的半径为．2．【解答】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∵所对的圆周角为∠BDE和∠BAC，∴∠BDE＝∠BAC，∴△DBE∽△ABC；（2）解：如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G，∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，∴AB＝＝5，∵CG⊥AB，∴AG＝ACcosA＝×＝1，∵AF＝2，∴FG＝AG＝1，∴CG是AF的垂直平分线，∴AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，∵△DBE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴ED＝．3．【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∵∠OED＝∠FEC，∴∠OED＝∠FCE，∵AB是直径，D是的中点，∴∠DOE＝90°，∴∠OED+∠ODC＝90°，∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°，∵OC是半径，∴CF是⊙O的切线．（2）解：过点G作GH⊥AB于点H．设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，在Rt△COF中，42+r2＝（r+2）2，∴r＝3，∵GH⊥AB，∴∠GHB＝90°，∵∠DOE＝90°，∴∠GHB＝∠DOE，∴GH∥DO，∴＝，∵G为BD的中点，∴BG＝BD，∴BH＝BO＝，GH＝OD＝，∴AH＝AB﹣BH＝6﹣＝，∴AG＝＝＝．4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝∠DCE，∵∠1＝∠2，∴＝，∴AD＝DC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED；（2）解：过点D作DM⊥BE于M，∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，∴BE＝BC+EC＝10，∵BD＝ED，DM⊥BE，∴BM＝ME＝BE＝5，∴CM＝BC﹣BM＝1，∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，∴DM＝BM•tan∠2＝5×＝，∴tan∠DCB＝＝．5．【解答】解：（1）因为点D是弧BC的中点，所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，而∠BOD＝2∠BAD，所以∠CAB＝∠BOD，所以DO∥AC；（2）∵，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DAC，∴CD2＝DE•DA；（3）∵tan∠CAD＝，连接BD，则BD＝CD，∠DBC＝∠CAD，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝＝＝，设：DE＝a，则CD＝2a，而CD2＝DE•DA，则AD＝4a，∴AE＝3a，∴＝3，而△AEC∽△DEF，即△AEC和△DEF的相似比为3，设：EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD＝，∴AC＝6k，AB＝10k，∴sin∠CDA＝．6．【解答】证明：（1）连接AC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴∠DCO＝∠D＝90°，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO，∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，在△CDA和△CEA中，∵，∴△CDA≌△CEA（AAS），∴CD＝CE；（2）证法一：连接BC，∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA＝∠ECA，∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG，∴∠ECA＝∠ECG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG，∵∠D＝90°，∴∠DCF+∠F＝90°，∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°，∴∠AOC＝2∠F＝45°，∴△CEO是等腰直角三角形；证法二：设∠F＝x，则∠AOC＝2∠F＝2x，∵AD∥OC，∴∠OAF＝∠AOC＝2x，∴∠CGA＝∠OAF+∠F＝3x，∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG，∴∠EAC＝∠CGA，∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG，∴∠EAC＝∠CGA，∴∠DAC＝∠EAC＝∠CGA＝3x，∵∠DAC+∠EAC+∠OAF＝180°，∴3x+3x+2x＝180°，x＝22.5°，∴∠AOC＝2x＝45°，∴△CEO是等腰直角三角形．7．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠DEO＝90°，∴∠DEO＝∠ACB，∵OD∥BC，∴∠DOE＝∠ABC，∴△DOE∽△ABC；（2）证明：∵△DOE∽△ABC，∴∠ODE＝∠A，∵∠A和∠BDC是所对的圆周角，∴∠A＝∠BDC，∴∠ODE＝∠BDC，∴∠ODF＝∠BDE；（3）解：∵△DOE∽△ABC，∴，即S△ABC＝4S△DOE＝4S1，∵OA＝OB，∴，即S△BOC＝2S1，∵，∴，∴，即，∴sinA＝sin∠ODE＝＝．8．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°﹣∠E，又∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°，又∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD＝∠E＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4，在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，∴AB＝6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE＝90°，∵AO＝OE＝3，∴AE＝3，∵E是的中点，∴∠ADE＝∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴＝，即EG•ED＝AE2＝18．9．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠E＝∠BAD，∴∠E＝∠DAC，∵BE∥AD，∴∠E＝∠EDA，∴∠EDA＝∠DAC，∴ED∥AC；（2）解：∵BE∥AD，∴∠EBD＝∠ADC，∵∠E＝∠DAC，∴△EBD∽△ADC，且相似比k＝，∴＝k2＝4，即s1＝4s2，∵﹣16S2+4＝0，∴16﹣16S2+4＝0，即＝0，∴S2＝，∵＝＝＝＝3，∴S△ABC＝．10．【解答】（1）解：连接OB，OD，∵∠DAB＝120°，∴所对圆心角的度数为240°，∴∠BOD＝360°﹣240°＝120°，∵⊙O的半径为3，∴劣弧的长为：×π×3＝2π；（2）证明：连接AC，∵AB＝BE，∴点B为AE