高中必修四知识点+试题

第一章三角函数

2、角。的顶点与原点重合，角的始边与久•轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，

则称。为第几象限角.

第一象限角的集合为{a360<a<h360+90,%wZ}

第二象限角的集合为{a360+90<h360+180/wZ}

第三象限角的集合为360+180<a<h360+270MEZ}

第四象限角的集合为{a360+270va<h360+360,ZeZ}

终边在x轴上的角的集合为{a|a=h180«wZ}

终边在.y轴上的角的集合为{a卜=h180+90,kEZ}

终边在坐标轴上的角的集合为{a卜=h90EZ}

3、与角a终边相同的角的集合为{夕忸=h36。+a/£Z}

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

5、半径为〃的圆的圆心角a所对弧的长为/，则角a的弧度数的绝对值是同=，.

r

6、弧度制与角度制的换算公式：2〃=360,1=三，l=f—1=57.3.

180\re)

7、若扇形的圆心角为。(a为弧度制)，半径为广，弧长为/，周长为。，面积为S,

则/="a|,C=2r+l,S=^lr=^\a\r2

8、设a是一个任意大小的角，。的终边上任意一点P的坐标是(x,y)，它与原

X

点的距离是「卜=J.+y2>o），则sina=?,cosa=—,tana二

9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正，第二象限正弦为正，

第三象限正切为正，第四象限余弦为正.

10、三角函数线：sina=MP,cosa=OM,tana=AT.

11、角三角函数的基本关系

(1)sin2a+cos2a-1(sin2a=\-cos2a,cos2a=\-sin2a);

小sina(.sina)“皿一天.

(2)------=tan«sincr=tanacosa,cosa=-------3)倒数关系：tanacota=l

cosa\tanaJ

12、函数的诱导公式：

(l)sin(2k乃+a)=sina,cos(2/:^-+a)=cosa,tan(2A/r+a)=tana(ZwZ).

(2)sin(7+a)=-sina,cos(%+a)=-cosa,tan(%+a)=tana.

(3)sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

(4)sin-a)=sina,cos(乃一a)=-cosa,tan(乃一a)=-tana.

口诀：函数名称不变，符号看象限.

⑸sin仁一a)=cosa,cos~~a=sina.(6)siny+a^=cosa,

(7V\

cos—+a=-sincr.

(2)

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限.

13、①的图象上所有点向左(右)平移机个单位长度，得到函数〉=3。(工+9)的

图象；再将函数>=3"工+。）的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵

坐标不变），得到函数y=sin®x+9）的图象；再将函数y=sin（函十°）的图象上所有点

的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y=Asin（5+°）的图象.

②数v=sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的,倍（纵坐标不变），

（0

得到函数

y=sincox的图象；再将函数y=sincox的图象上所有点向左（右）平移国个单位

co

长度，得到函数y=sin（5+0）的图象；再将函数y=$皿3¥+0的图象上所有点的纵

坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y=Asin（s+夕）的图象.

14、函数y=Asin（0x+°）（A>O,<y>O）的性质：

①振幅：A;②周期：T=—;③频率：/=不=——;④相位：cox+（p;⑤初相：

CDT2乃

（P•

函数），=Asin（妙+°）+B,当x=%时，取得最小值为以血；当x=超时，取得

1\T、

B=+=XXX<X

最大值为y1rax，则A=5（ymax-%in），（^maxJmin），^2~l\\2）•

.41r.7T._

定义x手k兀+一,kG2xx丰K7r+—,kG2

2K2

RR

域

值域[-U][-U]RR

当当x=2br(&wZ)时，

…乃

X=2KTT+—Xnax=1•当

2

x=2k冗+7T

(ZEZ)时，

(让Z)B寸，为m=T.既无最大值也无最小既无最大值也无最小

最值)'max=1；当

值值

〜冗

X=2k7r----

2

(ZeZ)时，

Xnin7•

2乃2万乃71

周期

性

奇偶奇函数偶函数奇函数奇函数

性

在

在

彳5

L22J

[22万-4、(A£Z)

单调

上是增函数；在1

性(AeZ)上是增函数；

3£Z)上是增函

[2%4,2依r+%]

在

出.

依Z)上是减函数.

_.7T~.3冗

2k7T+—,2k7TT-----

_22.

(ZwZ)上是减函数.

对称中心

对称中心对称中心对称中心

对称(依r,0)(2wZ)

1%乃+方0(&cZ)5,0)仕eZ)你

性对称轴

对?=k7r(keZ)无对称轴无对称轴

x=k7r+—{keZ)

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为0的向量.

单位向量：长度等于1个单位的向量.

平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.

相等向量：长度相等且方向相同的向

量.

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连.

⑵平行四边形法则的特点：共起点.

⑶三角形不等式：卜|一||«,+.工同+忖.

⑷运算性质：①交换律：a+b=h+a;

。一力=AC—AB=BC

②结合律：(a+b)+d=々+仅+8);(3)t/+d=b+a=a.

⑸坐标运算：设"=(%/),8=(心％)，则〃+。=(芭+w，y+必).

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.

⑵坐标运算：设。=(5,y)»=(工2，%)，则@一〃=(%-%,乂一%)•

设A、B两点的坐标分别为(x，yj,(w，%)，则AB=G-w，X—%).

19、向量数乘运算：

⑴实数2与向量。的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作4a.

①|羽=风向;

②当4>0时，义。的方向与。的方向相同；当4<0时，的方向与。的方向相反；

当4=0时，Aa=0.

⑵运算律：①丸(44)=(即”;+=+;③2(％+/?)=+2/7.

⑶坐中秋算：设a=(x,y),贝11而=/1(%,y)=(/1乂又)).

20、向量共线定理:向量与〃共线，当且仅当有唯——个实数义使〃=痴.

设。=(药,yj,匕=(%2，/)，其中6工0,则当且仅当工1%一工2凹=0时，向量。、

力仅工0)共线.

21、平面向量基本定理：如果弓、弓是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一

平面内的任意向量。，有且只有一对实数4、4，使4=44+4..(不共线的向量“、

g作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点P是线段PF?上的一点，P2的坐标分别是（和yj,

（程弘），当Pp=/lPP；时，点P的坐标是代+学—+学].（当

丸=1时，就为中点公式。：

23、平面向量的数量积：

⑴aW=|《Wcos夕（awO力00,0<6><180）.零向量与任一向量的数量积为0.

⑵性质：设。和6都是非零向量，则①々_L〃ab=0.②当a与1）同向时，

ab=|^||/?|；当Q与b反向时，ab=-|a||/?|;a,d=a2=，或同=③

卜年邮|.

⑶运算律：①ah=bd;②（4可用=/1伍3）=2•（肪）；③

（o+b）c=ac+b-c.

⑷坐标运算：设两个非零向量4=（X[,yJ,b=（x2,y2）,则夕山二玉9+乂％.

22b

若a=（x,y）,则同*=x+y,或同=Jf+,2设a=（%,y）,=（^2,y2）,

则a_LZ?0%毛+y、2=0•

设〃、b都是非零向量，a=（%,yj,〃=（々，必），。是a与b的夹角,则

知识链接：空间向量

空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证

明，求值的应用进行总结归纳.

1、1线的方向向吊和平面的法向印

⑴.直线的方向向量：

若A、B是直线/上的任意两点，则4B为直线/的一个方向向量；与平行的任意非

零向量也是直线/的方向向量.

⑵.平面的法向量：若向量〃所在直线垂直于平面。,则称这个向量垂直于平面a,记作

nla,如果nla,则向量〃叫做平面a的法向量.

⑶.平面的法向量的求法(待定系数法):

①建立适当的坐标系.

②设平面a的法向量为〃=(x,y,z).

③求出平面内两个不共线向量的坐标。=(q,%,%)，5=3也也).

■—一

④根据法向量定义建立方程组〃寓二°.

nb=O

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面a的法向量.

J平行关系

设直线44的方向向量分别是a、〃，则要证明4I"2,只需证明。,即

a=kb(kGR).

即：两直线平行或重合二两直线的方向向量共线。⑵线画平行

①（法一）设直线/的方向向量是。，平面a的法向量是〃，贝度证明/Ila，只需证

明a_L〃，即a•〃=0.

即：直线与平面平行二直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外

②（法二）要证明一条直缆口一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线

的方向向量是共线向量即可.

⑶面面平行

若平面a的法向量为〃，平面夕的法向量为I；,要证a\\p,只需证〃Ilv,即证

w=A.V.

即：两平面平行或重合两平面的法向量魁。3、用向量方法判定空间的垂直

关多⑴线线垂百

设直线44的方向向量分别是，则要证明4，只需证明，即。为=0.

即：两直线垂直=两直线的方向向量垂直。

⑵线面垂直

①（法一）设直线/的方向向量是。，平面a的法向量是〃，贝J要证明/J-a,只需

证明。IIu,即。=Xu.

②（法二）设直线/的方向向量是。，平面a内的两个相交向量分别为〃?、〃，若

•-

am=O,

，，则n

a-n=0

即:直线与平面垂直=直线的方向向量与平面的法向量共线二直线的方向向量与平

面内两条不共线直线的方向向量都垂直。

（3）面面垂直

若平面a的法向量为〃，平面夕的法向量为u,要证a_LQ,只需证〃,即证

w-v=0.

即：两平面垂直二两平面的法向量垂直。4、।对求空间角

⑴求异面直线所成的角

已知。改为两异面直线，A（与B,D分别是H匕上的任意两点，。为所成的角为0.

ACBD

贝!Icos”——7~：■.

AC^TlBD

⑵，直线和平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所

成的角.

②求法：设直线I的方向向量为。，平面a的法向量为直线与平面所成的角为6,

。与〃的夹角为G,则。为8的余角或°的补角

的余角.即有：

⑶求二面角

。定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每TB分叫做半平面；从一

条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面

叫做二面角的面

N面角的乎面角是指在二面角a-/-4的棱上任取一点0,分别在两个半平面内作

射线人qfAg&O,，则NA08为二面角a-/-尸的平面角.

②求法：设二面角a-1-fi的两个半平面的法向量分别为机、〃，再设m、n的夹角

为（P,二面角。一/一月的平面角为。,则二面角夕为机、〃的夹角8或其补角万一0

根据具体图形确定。是锐角或是蝇二

♦如果。是锐角,则COS9=|COS0|二

即。=arccos

♦如果。是钝角,则cosO=Tcos同=一

即。=arccos-

5、

（1点Q到直线,距离

若Q为直线/外的一点,P在直线/上，〃为直线/的方向向量,b=PQ.则点Q

到直线/距离为

（2）点A到平面2的距离

若点?为平面a外一点，点〃为平面a内彳壬一点,

平面a的法向量为〃，则P到平面a的距离就等于“尸在法向量〃方向上的投影的

绝对值

即d=|阿卜os（i,M户）

⑶直线"与平面&之间的距离

当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线

到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。

\n-MP\

1，?1

⑷两平行平面a,P之间的距离

利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。

即1=

⑸异面直线间的距离

设向量〃与两异面直线。力都垂直，M£外尸€4则两异面直线a力间的距离d就

是MP在向量〃方向上投影的绝对值。

\n-MP\

即d'L"pq」，

HI

6、三垂线定理及其逆定理

⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，则

它也和这条斜线垂直.

POla.Oea

推理模式：PA^a=A}n。J.PA

〃ua,。_LOA

概括为：垂直于射影就垂直于斜线.

⑶三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，则

它也和这条斜线的射影垂直.

POLa,0ea

推理模式：PAf}a=AnaJ.40

aua,a_LAP

概括为：垂直于斜线就垂直于射影.

7、三余弦定理

设AC是平面。内的任一条直线，AD是。的一条斜线AB在。内的射影，且BD±

AD,垂足为D.设AB与a（AD）所成的角为4，AD与AC所成的角为。？，AB与AC所

成的角为0.贝Ucos0=cosqcos02.

8、面积射影定理

已知平面夕内一个多边形的面积为S（S原）,它在平面。内的射影图形的面积为

S'（S射），平面。与平面夕所成的二面角的大小为锐二面角。，则

9、一个结论

长度为/的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为4、J夹角分别为

a、%、a，则有

I2=/；+/；+/；ocos2q+cos24+cos2冬=1osii?a+sin2ft4-sin2^=2.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

第三章三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

(1)cos(a-/7)=cosacos+sinasin;(2)cos(a+/7)=cosacos/?-sin(7sinp;

⑶sin(a-/)=sinacos/一cosasin夕;(4)sin(a+/?)=sinacos/3+cosasin/7;

tan")。

⑸J

1+tanatanfi

(tana-tan夕=tan(a-,)(l+tanatan/?));

tan(a+#=

（6）=

1-tancrtanP

(tana+tan=tan(a+/?)(1-tancrtan/?)).

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

⑴

sin2a=2sinacosa.=>1±sinla=sin2a+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa)

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

n升嘉公式1+cosa=2cos2—,1-cos6z=2sin2—

22

八t2cos2a+1.21-cos2a

=>降帚公式cos~a=------------,sina--------------

22

夜能公式：

aa

2tan—1-tan9-

.22

sina=2ian，「；cosa

tanla=,....a9a

iLiaN/2-1+tan-

2

2伊角公式：

cos

=>

tan

28、合一变形=把两个三角函数的和或差化为"一个三角函数，一个角，一次方"

的y=Asin(a+e)+8形式。Asina+Bcosa=>/A2+B2sin(a4-^?),其中

B

tan(p=-^.

29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设

条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下：

(1)角的变换:在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可

根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的

差异，使问题获解，对角的变形妇：

①2a是a的二倍；4a是力的二倍；a是多的二倍；多是？的二倍；

30〃7T7T

②15"=45"—30"=60"—45";问：sin—=;cos—=;

21212

③a=(a+〃)—〃；④:十0二式一(二一。)；

424

TT7T

⑤2a=(a+6)+(a-6)=(7+。)一(7一a);会

44

(2)函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数

中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。

(3)常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数

值，例如常数T的代换变形有：

(4)幕的变换:降幕是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用

降幕处理的方法。常用降导公式有：、降幕并非绝对，有时需要升鬲，如对无理式Jl+cosa

常用升幕化为有理式，常用升幕公式有：；；

(5)公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形

应用。

.I+tana1-tana

如：--------=；;-------=；

1-tana1+tana

tana+tan/?=;1-tanatanp=;

tana-tan;1+tanatanp-;

2tana=;1-tan2a=;

tan20"4-tan400+V3tan20"tan^^=;

sina+cosa==;

asinc+bcosa==;(其中tanQ=;)

1+cosa=;l-cosa=;

(6)三角函数式的化简运算通常从："角、名、形、幕"四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理

化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：sin5(T(l+gtanl(T)=;

tana-cota=。

1.(文)(2011•广州检测)若sina<0且tana>0,则〃是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［答案］C

［解析］,・飞加〃<0,・・・a为第三、四象限角或终边落在y轴负半轴

上，

Vtan(z>0,.二〃为第一、三象限角，

・・・a为第三象限角.

(理)(2011•绵阳二诊)已知角A同时满足sinA>0且tanA<0,则角

A的终边一定落在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

［答案］B

［解析］由sinA>0且tanAvO可知，cosA<0,所以角A的终边一定

落在第二象限.选B.

2.(2010,安徽省168中学联考)已知集合A={(x,j)lv=siiix},

集合5={(x,y)\y=tanx}9则APIJB=()

A.{(0,0))

B.{(n,0),(0,0)}

C.{(x9y)\x=kn,y=0,A£Z}

D.0

［答案］C

［解析］函数y=sinx与y=tanx图象的交点坐标为(A九，0),k^Z.

3.设a=sii击6=CDST，C=?,d=tan^,则下列各式正确的是

o4J4

（）

A.a>b>d>cB.b>a>c>d

C.c>b>d>aD.c>d>b>a

［答案］D

［解析］因为a=5，2»C=§>1,d=l,所以avbvdvc.

4.（文）（2010•河南新乡市模拟）已知角a终边上一点P（一

4G,3a）3V0）,贝（Isina的值为（）

［答案］B

［解析］:,.二r=^（—4a）2+（3a）2=—5。，

・二sina=^=~T,故选B.

（理）（2010•河北正定中学模拟）已知角a终边上一点

T^siny,cosy^,则角a的最小正值为（）

［答案］B

.生_・元小

［解析］由条件知,

1

sina=cos

29

，角。为第四象限角，・・-2兀->岩故选B.

6sina+cosa

5.已知点P(l,2)在角〃的终边上，则的值为(

3sina_2cosa)

13

A.3BT

17

C.4D.~4

［答案］B

［解析］由条件知tana=2,

.6sina+cosa6tana+l13

3sina-2cosa3tana-24

6.(2010•广东佛山顺德区质检)函数f(x)=sinx在区间［a,切上是

增函数，且八〃)=—1,月5)=1,则cos""=()

A.0B.申

C.-1D.1

［答案］D

a।b

［解析］由条件知，a=—伏BZ),b=g+2A7r,/.cos

=cos2比元=1・

7.(2011•北京东城区质检)若点P(x,y)是300。角终边上异于原点

的一点，贝吐的值为.

［答案］一由

［解析J依题意，知:=tan3000=-tan6()o=-qi

8.(2011•太原调研)已知角”的顶点在原点，始边与x轴正半轴

重合，点P(—4机,3机)(m>0)是角a终边上一点，则2sina+cosa=

［答案R

22

［解析］由条件知x=—4m9y=3m9r=yjx+y=5\m\=5m9Asina

v3x4

=r=5,cosa=-=-g,

A2sina+cosa=1.

1.（文）（2011•深圳一调、山东济宁一模）已知点P（sin竽，cos亨）落

在角，的终边上，且夕£［0,2力，则夕的值为（）

A垢细

A-4BT

「5九八In

Cj—4D•—4

［答案］D

［解析］由sin停＞0,cosmVO知角0是第四象限的角，•.•taiiO=

37r

COST

77r

—^-=-1,［0,2元)，：.0=

4,

sin彳

（理）（2011•新课标全国理，5）已知角0的顶点与原点重合，始边

与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，贝！Ico§20=（）

A.一:B.Y

9^0

［答案］B

［解析］依题意：tan0=±2,/.cos0=±^,

75

24co*，—sin%

:.cos20=2COS20—I=£-1=­£或cos2〃=—..=

55cosz20/)+sin20

1—tan2^1—434、儿

l+tan^=I+4="5,故选B・

2.（2010•青岛市质检）已知｛斯｝为等差数列，若山+恁+。9=元,

则COS（a2+〃8）的值为（）

A.一..一平

C.品乎

［答案］A

［解析］由条件知，加=。1+。5+。9=3。5,・・・。5=去

27rn1

()

COS«2+«8=COS2fl5=COST=-COS2=-j故选A.

3.(2011•绵阳二诊)记a=sin(cos2010°),*=sin(sin2010°),c=

cos(sin2010°),d=cos(cos2010°),则a、b、c、d中最大的是()

A.〃B.b

［答案］C

［解析］注意到2010°=360°X5+180°+30°,因此sin2010°=-

sin30°=—cos2010°=­cos30°=—一江一—2<—2

1d57tl小小

<0,0<T<^-<T,COST>COS^->0,a=sin(-^-)=-sin^-<0,6=sin(—

।।i113J3

］)=—sin^vO,c=cos(-=cos2>®»d=cos(-^-)=cos^->0,Ac>d,

因此选C.

［点评］本题“麻雀虽小，五脏俱全”考查了终边相同的角、诱

导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识

要求掌握熟练的小综合训练.

4.（文）（2010•北京西城区抽检）设0<|。/，则下列不等式中一定

成立的是（）

A.sin2a>sinaB.cos2(z<cosa

C.tan2a>tanaD.cot2a<cota

［答案］B

TT7T

［解析］当一时，A、C、。不成立.如〃=一不贝!|2G=一

元・■也.1也1-G

，〈一*

sin2a=­2sina=­5,—2tan2a=—\3,tana=-3，

cot2a=-4,cot“=—而一小v—q,此时，cot2a>cota.

JJ

（理）如图所示的程序框图，运行后输出结果为（）

A.1B.2680

C.2010D.1340

［答案］C

［解析］•.•大〃）=2§1《号+舒+1=20）§譬+1.由S=S+/（〃）及n=n

+1知此程序框图是计算数列为=2cos罟+1的前2010项的和.

(n.lit..2010^.n

=2lcos^+cosry+c•・・+cos-~~\+2010=2X335Xcos§

.In,37rl47rl5n.67rl八.八.八

+COS7+cos§十cosr^~+cos-^~+cosr^~+2010=2010.

5.（文）（2010•南京调研）已知角a的终边经过点P（x,-6）,且tana

=一］3，则x的值为.

［答案］10

—63

［解析］根据题意知tanauq-=—g,所以x=10.

（理）已知△ABC是锐角三角形，则点P（cosB-sinA,tanB-cotC）,

在第象限.

［答案］二

JT

［解析］:△ABC为锐角三角形，・・・0<4<不

0<B<?,0<C<?,且A+8>m，B+O5,

B>0,OO,

•.•y=sinx与y=tanx在（0,号上都是增函数，

伉、伉、

/•sinA>sin^2—BJ,tanJ?>tan^j-CJ,

:.sinA>cosB,tanB>cotC,，P在第二象限.

6.在（0,2元）内使sinx>cosx成立的x的取值范围是.

【答案谓,争

［解析］由三角函数定义结合三角函数线知，在（0,2元）内，使

sinx>cosx成立的x的取值范围为百学）.

［点评］要熟知单位圆中的三角函数线在三角函数值的大小中

的应用.

7.（文）（2010•上海嘉定区模拟）如图所示,角«的终边与单位圆（圆

心在原点，半径为1的圆）交于第二象限的点A'OS以，则cosa—

sina=.

［答案

J

3

［解析I由条件知，sincc=w，

7

-

:.cosa=—z,:.cosa—sina=5

（理）直线y=2x+l和圆好+产=1交于A,B两点，以工轴的正

方向为始边，04为终边（O是坐标原点）的角为a,05为终边的角为

/?,求sin®+0的值.

［答案

［解析］将y=2x+l代入必+）2=1中得，・・.x=0或

.3

j,AA(O,1),故sina=l,cos(z=0,sinfl=­7，cos/?

4

5，

4

:.sin(a+fl)=sinacos)?+cosasin/?=­g・

［点评］也可以由4（0,1）知«=?,

:.sin(a+6)=sin^+/?j=cosp=

8.（文）已知角a终边经过点P（x9—，i）（xH0）,且cosa=x.

求sina+;-----的值.

tana

［解析］・・・P（x,一也）（x¥0）,

点尸到原点的距离r=y］x2+2.

又cosa=^x,x/

・.侬"="吃=6"・

Vx^O,:・r=2小.

当工=亚时，P点坐标为（师，一也），

由三角函数的定义，有simz=一坐，油^=一、6，

・人加”+熹=-乎-尺-6乖+#

~~6~

当x=—"V诃时，同理可求得sin”+油^=6下6"

（理）已知sin。、cos。是方程x2—1口+机=0的两根.

⑴求雁的值;

sin。cos。

⑵求的值.

1—cot。+1—tan。

［解析］(1)由韦达定理可得

sinO+cosO=由一1①

sinO,cos〃=，〃②

由①得l+2sin9-cose=4-2」i

将②代入得帆=孑一下，满足A=(小一1)2—4机20,

故所求m的值为。一小.

sin〃cosOsin。]cos0

⑵先化简:"I1

1—cot。1—tan。cos0sin。

sin。cos，

sil12〃cos?”cos2。一§加2夕

=cos0+sin0

sin，一cos。cos。一sin。cos。-sin。

=V3—1.

1.已知关于x的方程2必一(小+l)x+/n=0的两根为sin。和

cos〃，且。£(0,2九)，

sin，cos。

⑴求的值;

1—cot。1—tan。

(2)求m的值；

⑶求方程的两根及此时0的值.

［解析］(1)由韦达定理可知

小+]

sin，+cos，=,①

sin0・cosO=—②

而sin夕cos夕siMlcob，

1—cot〃1—tan〃sin〃一cos。cos。一sin。

=sin，+cos0=-2-；

(2)由①两边平方得l+2sin，cosO=^^,

将②代入得力=与；

⑶当机=乎时，原方程变为

2——(1+小口+孚=0,解得xi=坐，X2=y

sinO=乎fsin0=1

］或'2^3

{cos0=2Icos0=2

jrTT

又0W(0,2n),:.或Q.

UJ

2.周长为20cm的扇形面积最大时，用该扇形卷成圆锥的侧面,

求此圆锥的体积.

［解析］设扇形半径为，，弧长为1,贝h+2r=20,

AZ=20-2r,

S=；〃=；(20—2r)・r=(10—r)・r,

・•・当r=5时，S取最大值.

此时Z=10,设卷成圆锥的底半径为A,则27TK=10,

-R=n9

・••圆锥的高h=、l5」鼾=鼠果

(51.5击2-1」25击2-1

V=^nR2h=^X

Wn~3n2

1.（文）（2010•四川文）将函数j=sinx的图象上所有的点向右平行

移动已个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐

标不变），所得图象的函数解析式是（）

A.y—sinl2x-IB.j=sinl2x—5

［答案］C

［解析1・・,向右平移/个单位，，用工一已代替产sinx中的x；

・・,各点横坐标伸长到原来的2倍，J用上代替尸sing一堀中的”,

••得J=sin^2-r一

（理）（2011•大纲全国卷理，5）设函数A%）=cos①x（M>0）,将y=f（x）

的图象向右平移三个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则口的

最小值等于（）

A.1B.3

C.6D.9

［答案］C

［解析］由题意知，卜务A（FZ）,

；.co=6k,令4=1,=6.

2.（文）函数/（x）=sin2x的最小正周期和最小值分别为（）

A.2元，~1B.2九，0

C.n90D.n91

［答案］C

■1-cos2x27r

［解析IV/（x）=siii2x=2，，周期丁=5=心

又一工）=§加2%20,・••最小值为0,故选C.

（理）（2011♦济南模拟）函数A*）=2cos2x—y§sin2x（x£R）的最小正

周期和最大值分别为（）

A.2元，3B,2元，1

C.元,3D.n,1

［答案］C

［解析I由题可知，J（x）=2cos2x—q§sin2x=cos2x—，5sin2x+1

jr

=2sin（^—2x）+1,所以函数小:）的最小正周期为了=