电路原理习题答案第二章 电阻电路的等效变换练习

第二章电阻电路的等效变换

“等效变换”在电路理论中是很重要的概念，电路等效

变换的方法是电路问题分析中经常使用的方法。

所谓两个电路是互为等效的，是指（1）两个结构参数

不同的电路再端子上有相同的电压、电流关系，因而可以互

相代换；（2）代换的效果是不改变外电路（或电路中未被

代换的部分）中的电压、电流和功率。

由此得出电路等效变换的条件是相互代换的两部分电

路具有相同的伏安特性。等效的对象是外接电路（或电路未

变化部分）中的电压、电流和功率。等效变换的目的是简化

电路，方便地求出需要求的结果。

深刻地理解“等效变换”的思想，熟练掌握“等效变换”

的方法在电路分析中是重要的。

2-1电路如图所示，已知"=100KA=2&C,R=82。若：（1）

s12

R=8kQ；（2）R=8（&处开路）；（3）R=O（R处短路）。试求以

33333

8

解：（1）R和R为并联，其等效电阻R=W

23

u

.==100=50”，人

则总电流/^=274=-3

1

分流有i=i=\=^_=8.333mA

2326

u=Ri=8x型=66.667V

2226

(2)当R=00,有，=0

33

〃100

i=-B_>~=—=—―-=10mA

2A+/?2+8

12

u—Ri=8x10=80V

222

(3)R=09有i=Q,u=0

322

i=U=10°=50〃?A

3~R~~2~

2-2电路如图所示，其中电阻、电压源和电流源均为已知，

且为正值。求：（1）电压〃和电流，；（2）若电阻R增大,

221

对哪些元件的电压、电流有影响？影响如何？

题2-2图

解：（1）对于扭和R米说，其余部分的电路可以用电

23

流源，、等效代换，如题解图（a）所示。因此有

Ri

'=--------

2R+R

23

（2）由于「和电流源串接支路对其余电路来说可以等效

为一个电流源，如题解图（b）所示。因此当R增大，对R,R,R

1234

及〃的电流和端电压都没有影响。

S

但勺增大，C上的电压增大，将影响电流源两端的电压,

因为

u=Ri+u-u

•s1s2s

显然匕随农的增大而增大。

，s1

e

巴.

X

Q)

注：任意电路元件与理想电流源，串联，均可将其等效

*

为理想电压源i,如本题中题解图（a）和（b）。但应该注

$

意等效是对外部电路的等效。图（a）和图（b）中电流源两

端的电压就不等于原电路中电流源两端的电压〃。同时，任

意电路元件与理想电压源〃并联，均可将其等效为理想电压

源〃$，如本题中对而言，其余部分可以等效为〃S,如题图（C）

所示。但等效是对外部电路（如3）的等效，而图（C）中，，

上的电流则不等于原电路中，，中的电流。

$

uR

o>R1//R2(-PE幺)Dr

2-3电路如图所示。(1)求丁；(2)当,时，

uR

/可^^以为耳方此时引起的相对误差为

s12

〃R

亡£+3x100%

U

当R为(R〃R)的100倍、10倍时，分别计算此相对误差。

L12

RxRi=u=Ri=U.<R

解：⑴小r个oR+R

HRRR

所以7rL"RFTT"天耳7?FT

s1121£2L

r>A«〃

、K=Kk1K2c。

(2)设〃阡7q，带入上述可式子中，可得

RxK空2

u_2R+RKXR

fl不去)■十不欠一

i，sRR+(R+R)xKRR212

1212R+R

2

相对误差为

,UR\HnnKRR

IF-R+Rx%R+R~/?+??

n=------i_2------------=-----------4-3-^——4----2-X100g/

o2

丁1+KR+R

K12

1tK一11

=---------x100j/=——x1004

1+K

当K=100时n~1%

K=10时n=-10彳

2-4求图示电路的等效电阻R，其中

ab

R=R=1Q,7?=R=2Q,R=4Q,

12345

G=G=、S,R=2Q°

12

(a)⑹0

解：(a)图中j被短路，原电路等效为图(al)所示。应用电

阻的串并联，有

R-IR〃R〃R=21+4=4,4Q

ab1235

(b)图中G加G,所在支路的电阻

R=1+1=2Q

G~G~

12

所以R=片〃R=[2//2]+2=3Q

ab43

(c)图可以改画为图(cl)所示，这是一个电桥电路，由于

8=儿灯二月处于电桥平衡，故开关闭合与打开时的等效电阻

1234

相等。

R=(一+/)〃(&+/?)=(1+2)〃(1+2)=1.5。

ad1324

JZ_3

b(cl)

(d)图中节点1,1伺电位(电桥平衡)，所以I，间跨接电

阻7可以拿去(也可以用短路线替代)，故

R=(R+R)〃(丹+f?)//^?=(1+l)//(l+1)//1=0.5。

ab12121

(e)图是一个对称的电路。

解法一：由于结点1与「，2与2,等电位，结点333等电位,

可以分别把等电位点短接，电路如图(el)所示，则

R=2x(E+0)=g8=3Q

ab242

_R卜

-।—i~~

.蚊卜

解法二：将电路从中心点断开(因断开点间的连线没有电

流)如图(e2)所示。

_2R+(2R//2R)3R=3£l

Rp

ab

解法三：此题也可根据网络结构的特点，令各支路电流如图

S3)所示，则左上角的网孔回路方程为

2Ri=2Ri

故

由结点①的KCL方程

0.5/=/+/=2/=2/

1,

4

u=Rx0.5/+2Rx^_i+Rx0.5/=fRi

由此得端口电压ab42

所以R%=3R=3Q

abT2

(e3)

(f)图中(1Q,1Q,2Q)和(2Q,2Q,1Q)构成两个Y形连接，分别

将两个Y形转化成等值的△形连接，如图(fl)和(f2)所示。

等值△形的电阻分别为

R=(1+1+里)=2.5CR=(1+2+〃2)=5Q

1221

R=R=5CR'=2+2+2X2=8C

-

32II

R'=1+2+1X2=4。R=*=4C

2~232

并接两个八形，最后得图(f3)所示的等效电路，所以

R=12//(R〃*)+/?〃*]//(/?〃*)

ab221133

=[2//(5//4)+2.5//8J//(5//4)

_'2Q4Q1//2Qwe

.1921J9

R】穴;

(f3)

(g)图是一个对称电路。

解法一:由对称性可知,节点1,1〒等电位,节点22,2,等电

位，连接等电位点，得图(gl)所示电路。则

R=(£+£+5=3R=1.667C

"3636

R

-----1-1-

R-------------------R-------------------R

R1=1-R

—C---->—1---------R>1■—<=

&——刍一R

-t=J-1RL~=

"-----1----»-----

Ri3

R

⑹

解法二：根据电路的结构特点,得各支路电流的分布如图

(g2)所示。由此得端口电压

u=l/x/?+lzx/?+J/xR=5ixR

ab3636

所以R="疝=5R=I667C

ab16

注：本题入端电阻的计算过程说明，判别电路中电阻的

串并联关系是分析混联电路的关键。一般应掌握以下几点

(1)根据电压、电流关系判断。若流经两电阻的电流

是同一电流，则为串联；若两电阻上承受的是同一电压，就

是并联。注意不要被电路中的一些短接线所迷惑，对短接线

可以做压缩或伸长处理。

(2)根据电路的结构特点，如对称性、电桥平衡等，

找出等电位点，连接或断开等电位点之间的支路，把电路变

换成简单的并联形式。

(3)应用Y,△结构互换把电路转化成简单的串并联形

式，再加以计算分析。但要明确，Y,△形结构互换是多端子

结构等效，除正确使用变换公式计算各阻值之外，务必正确

连接各对应端子，更应注意不要把本是串并联的问题看做Y,

△结构进行变换等效，那样会使问题的计算更加复杂化。

(4)当电路结构比较复杂时，可以根据电路的结构特点,

设定电路中的支路电流，通过一些网孔回路方程和结点方程

确定支路电流分布系数，然后求出断口电压和电流的比值，

得出等效电阻。

2-5在图(a)电路中，〃=24=6V,R=12C,R=6C,R=20。

sis2123

图(b)为经电源变换后的等效电路。

（1）求等效电路的i和R；

$

（2）根据等效电路求R中电流和消耗功率；

3

（3）分别在图（a）,（b）中求出££及氏消耗的功率；

（4）试问〃,〃发出的功率是否等于，发出的功率？消耗

Ts2s12

的功率是否等于R消耗的功率？为什么？

解：（D利用电源的等效变换，图⑸中电阻与电压源

的串联可以用电阻与电流源的并联来等效。等效后的电路如

题解2-5图所示，其中

/=%=6=1A

s2灭一6

2

对题解2-5图电路进一步简化得图（b）所示电路，故

'+/=2+1=3/4

s1s2

Q

R=RHR=12x6=4

1212+6

（2）由图（b）可解得三条并联支路的端电压

u=(RHR)xZ=4X2X3=4V

3s4+2

所以R的电流和消耗的功率分别为

i=1='=24

3天-2

3

P=R12=2x22=8W

333

(3)根据KVL,图(a)电路中心R两端的电压分别为

12

u=u一〃=24—4=20V

1s1

u=u-w=6-4=2V

2s2

则消耗的功率分别为

R1,R2

〃2(20)2100

d=33.33VV

123-

1

7篝=警=安

2

尸

(b)图中消耗的功率=12=42=4W

RW

(4)(a)图中，，和〃发出的功率分别为

s1$2

P=WX♦=24X20=40W

$1112

u£=2w

P="x__2-6X

6

“2$2R2

(b)图中，发出功率P=uxi=4x3=12W

Sis

显然p丰p+P

[M，2

由(3)的解可知p丰P+P

12

以上结果表明，等效电源发出的功率一般并不等于原

电路中所有电源发出的功率之和；等效电阻消耗的功率一般

也并不等于原电路中所有电阻消耗的功率之和。这充分说

明，电路的“等效”概念仅仅指对外电路等效，对内部电路

(变换的电路)则不等效。

2-6对图示电桥电路，应用丫一△等效变换求:对角线

电压u;

解法一：把(10Q,10Q,5Q)构成的△形等效变换为『形,如题解图

(a)所示，其中各电阻值为：

R="030=4.

110+10+5

R=10x5=20

210+10+5

R=10x5=2Q

310+10+5

由于两条并接支路的电阻相等，因此得电流

1=1=5=2.5A

122

应用KVL得电压U=6x2.5-4x2.5=5V

又因入端电阻R.=(4+4)〃(6+2)+2+24二30。

所以U-5>.R-5x30-150V

abab

解法二：把(4C,10Q,10Q)构成的y形等效变换为△形，如题

解图(b)所示，其中各电阻值为

_4x10+10x10+4x10180

R二18。

131010

_4x10+10x10+4x10-180

R二18C

121010

R=180=45Q

234

把图⑹等效为图(c),应用电阻并联分流公式得电流

白

由此得图(b)中6Q电阻中的电流

18x10

〃=侬3=10=2.54

218+64

所以原图中4。电阻中的电流为5-2.5=2.5A,故电压

t/=6x2.5-4x2.5=5V

R=(18//9)+24=30Q

由图(C)得ab

U=5xR=5x30=150V

abab

注：本题也可把(4Q,10C,6Q)构成的A形变换为Y形，或

把(6Q,10Q,5Q)构成的Y形变换为△形。这说明一道题中y.△变

换方式可以有多种，但显然，变换方式选择得当，将使等效

电阻值和待求量的计算简便，如本题解法一显然比解法二简

便。

2-7图示为由桥/电路构成的衰减器。

题2・7目

(1)试证明当H=R=R时，R=R,且有〃/〃=0.5•

21L«bLo*in

R=2R出〃

(2)试证明当3R2-R2时,R=R，并求此时电压比h

2

ahin

解：(1)当A=R=R时电路为一平衡电桥，可等效为

21L

题解图⑥所示电路，所以

R=(R+R)〃(R+R)=R

ab122LL

U=

o2加

u

即「85

1加

(2)把由〜构成的y形电路等效变换为A形电路，原电路

等效为题解图(b)。其中

2RR2

,RR3一工16RR2

=2笊R'21c

R2=R2//R=2=9-2=2

__i—/-十3KiL

R=3R9因为1

11L

R'=RHR=3g

LL3R+R-

1L

R，+R，=64生3人七3g

2L9R2-R237?T7?3R-R

1L1L1L

所以

%x3R

RSJ〃R=湾需L=^^RL

1L+3R1

3R—R1

%xR.=〃加x3R6=〃3R1RL

R\+R；L3凡R,3凡+R,M3R#R,

3R—R

1L

〃_3R-R

力=3川+V

in1L

2-8在图(a)中，W=45V,w=20V,M=20V,M=50V；

$1s2s4$5

R=R=15。，R=20Q,R=50Q,^=8Q•在图(b)中，

u=20V,u=30V,z=8A,

$1s5s2

j=17A,R=5C,R=10C,R=10Q。利用电源的等效变换求图(a)

$4135

和图(b)中电压〃而。

Cb)

题2-8国

a

札i3

e0(k(kQ(ktk6

b

(al)

Cbl)题解2-8圉

解(a)：利用电源的等效变换，将(a)图等效为题解图

(al),(a2)o

其中

u45ll20

H=3A=--=1A

R石20

12

w20U50

,=5T0447H=6.25A

4丁r

把所有的电流源合并，得

i=i+i—i+i=3+1—0.4+6.25=9.85A

s$1v2$4$5

把所有电阻并联，有

R=RHRHR//RHR=15//20//15//50//8=^2£Q

12345197

uab=ixR=965=30V

所以s

解(b)：图(b)可以等效变换为题解图(bl),(b2)

其中

〃20〃30

i=«xL=——=4Ai=*-JTX-=3A

siRBv5A10

1

等效电流源为

i=i+i—i+i=4+8—17+3=—2A

$$1v2$4$5

等效电阻为

R=RHRHR=5//10//10=2.5Q

135

所以u=ixR=—2x2.5=—5V

abs

注：应用电源等效互换分析电路问题时要注意，等效变

换是将理想电压源与电阻的串联模型与理想电流源与电阻

的并联模型互换，其互换关系为：在量值上满足，”山或

SS

._U

「下，在方向上有)的参考方向由〃的负极指向正极。这种

等效是对模型输出端子上的电流和电压等效。需要明确理想

电压源与理想电流源之间不能互换。

2-9利用电源的等效变换，求图示电路的电流i。

解：利用电源的等效变换，原电路可以等效为题解图(a),

(b)和(c),所以电流

i=2.5=o25人

110

z=1i=0.125A

2i

(c)

2-10利用电源的等效变换，求图示电路中电压比彳。

已知R=R=2Q,R=R=1Qo

1234

解法一：利用电源的等效变换，原电路可以等效为题解图(a)

所示的单回路电路，对回路列写KVL方程，有

(R+R+R)i+2Ri《=lw

1234432

把〃带入上式，则

33

a%aw1

==i

R+R+R+2RR1+1+1+210

123443

Q

=Ri+2Ru=(R+2RR丫=。

所以输出电压44344310s

解法二：因为受控电流源的电流为2〃=2/x/?=2/x1,即受

3333

控电流源的控制量可以改为，。原电路可以等效为图⑹所示

3

的单结点电路，则

=Ri=R(i+2i)=3i

题解2T0图

注：本题说明，当受控电压源与电阻串联或受控电流源

与电阻并联时，均可仿效独立电源的等效方法进行电源互换等

效。需要注意的是，控制量所在的支路不要变掉发，若要变

掉的话，注意控制量的改变，不要丢失了控制量。

2~11图本电路中R=R=R,R=2R,ccvs的电压〃=4Ri,利

13421c11

用电源的等效变换求电压〃。

10

©

题2Tl图

解：原电路可等效变换为题解2-11图所示电路。图中

R=(R+R)//R=2RH2R=R

342111

对回路列KVL方程，有

(Ri+Ri+石)二〃

111R

2

4Ri

2Ri+、1xR=u

即

14R

i

UQ

=0.75〃

所以电压u—u—Ri=u0-4i

2-12试求图(a)和(b)的输入电阻勺。

解(a)：在(a)图的a,b端子间加电压源"，并设电流/如

题解2-12图(a)所示，显然有

u=Ri—iA"+Ri=Ri)+Ri=(R+R一喊"

211211121

故得a,b端的输入电阻

R=^