福建省厦门市思明区2023-2024学年八上期末数学试题（解析版）

～2024学年第一学期思明区八年级适应性练习数学本试卷共6页．满分150分．一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．1.下列各届亚运会会徽图片为轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键．【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．2.计算，正确结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】原式=，故选A3.“中国天眼”是世界上最大的单口径球面射电望远镜，它发现的一个脉冲星是至今世界上发现的射电流量最弱的高能亳秒脉冲星．其自转周期为0.00519秒．将0.00519用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．【详解】解：．故选：C．4.在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解此题的关键．【详解】解：点与点关于轴对称，点的坐标是，故选：B．5.安装空调一般会采用如图的方法固定，其依据的几何原理是（）A.三角形的稳定性 B.三角形两边之和大于第三边 C.垂线段最短 D.两点确定一条直线【答案】A【解析】【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性求解即可．【详解】解：安装空调一般会采用如图的方法固定，其依据的几何原理是三角形的稳定性，故选：A．6.要使得分式有意义，则x的取值应满足（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0求解即可．【详解】解：∵分式有意义，∴，则，故选：．7.如图，在中，边上的高是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角形的高，根据三角形的高的定义判断即可解答．【详解】∵过点C，且，∴边上的高是．故选：A8.将变形正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据进行变形即可．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行简便运算，掌握是解题的关键．9.如图，点F在正五边形的边上运动，，则x的值不可能为（）A.72 B.60 C.36 D.30【答案】D【解析】【分析】本题考查正五边形的性质、等腰三角形的性质，连接、，先根据正五边形的性质和等腰三角形的性质求得，进而得到x的取值范围，结合各选项中的数据即可得到答案．【详解】解：连接、，∵五边形是正五边形，∴，，，∴，∴，∵点F在正五边形的边上运动，，∴，故选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意，故选：D．10.在平面直角坐标系中，点O为原点，，（），点在线段上．将沿着直线折叠，点A的对称点是点C．若，下列说法错误的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查轴对称性质、一次函数的图象与性质、坐标与图形、两点坐标距离公式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键．根据轴对称性质，判断出点C在y轴上，再根据坐标与图形，结合勾股定理列关于m、n、t的方程，再利用待定系数法求得直线的解析式，从而得到t与m、n的关系，然后逐项代值求解即可．【详解】解：∵点在直线上，∴，∵沿着直线折叠，点的对称点是点C，∴点C在y轴上，且，故选项A正确，不符合题意；设直线的表达式为，将、代入，得，则，∴直线的表达式为，∵点在线段上，∴，则，∵，∴②，由①②解得，∴，故选项B正确，不符合题意；∵，，，所以正确，故选项C正确，符合题意；∵，，∴，故选项D不正确，符合题意，故选：D二、填空题：本题共6小题，其中11题每空2分，其余每小题4分，共26分．11.分解因式：（1）______；（2）______；（3）______．【答案】①.②.③.【解析】【分析】本题考查因式分解，熟记平方差公式和完全平方公式是解答的关键．（1）利用平方差公式分解因式即可；（2）提公因式a即可求解；（3）利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：（1）；（2）；（3）．故答案为：；；．12.计算：（1）______；（2）______．【答案】①.1②.【解析】【分析】本题考查零指数幂，负整数幂，根据及计算即可．【详解】解：（1）；故答案为：1；（2），故答案为：．13.如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是_________________．【答案】∠B=∠E（答案不唯一）【解析】【分析】∠B=∠E，根据SAS推出两三角形全等即可，答案不唯一，是一道开放型的题目．【详解】解：∠B=∠E，故答案为∠B=∠E.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．14.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=8，则PQ的最小值为_____．【答案】8【解析】【分析】根据角平分线的性质及直线外一点到直线的距离最短即可得解．【详解】解：过P作PE⊥OM于E，当Q和E重合时，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=8，∴PE=PA=8，即PQ的最小值是8.故答案为8．【点睛】本题考查角平分线的性质及直线外一点到直线的距离最短，理解角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．15.如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个圆，则剩下的钢板的面积为_____．【答案】【解析】【分析】剩下钢板的面积等于大圆的面积减去两个小圆的面积，利用圆的面积公式列出关系式，化简即可．【详解】解：，答：剩下的钢板的面积是．故答案为：．【点睛】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：圆的面积公式，完全平方公式，去括号、合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．16.如图，已知等边中，点在边上，连接，点在线段上，以为边向下作等边，连接．下列说法正确的是______．(只需填写序号)①；②当点为中点时，存在点，使得；③当点为中点时，存在点，使得；④对于任意点，都存在点，使得．【答案】①③【解析】【分析】本题考考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，证明，得出，即可判断①；当点为中点时，，根据三角形边角关系即可判断②；假设结论成立，用反证法即可判断③；当点在的中点的右边时，分当点D是在线段的端点时和当点D是不在线段的端点时两种情况讨论，即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：①和都是等边三角形，，，，，即，在和中，，，，故①正确，符合题意；②如图，当点为中点时，，由垂线段最短可知，，故②错误，不符合题意；③如图，作于，点为中点时，为等边三角形，，，，由①可得：，，，令，则，，，假设成立，则，，，，，，，故假设成立，故③正确，符合题意；④当点在的中点的右边时，作于点G，则，由①可得：，，当点D是在线段的端点时，和不是直角，即不成立，当点D是不在线段的端点时，，，即不成立，综上所述，当点在的中点的右边时，不存在点E使得垂直，故④错误，不符合题意；综上所述，正确的有①③；故答案为：①③．三、解答题：本题共9小题，共84分．17.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查单项式乘单项式、单项式除以单项式、多项式乘多项式，掌握相关运算法则是解答的关键．（1）根据单项式乘单项式、单项式除以单项式的运算法则求解即可；（2）根据多项式乘多项式的运算法则求解即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．18.已知：如图，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD，然后即可根据ASA证明△ACB≌△ACD，再根据全等三角形的性质即得结论．【详解】解：∵，，，∴，∵，∴△ACB≌△ACD，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ACB≌△ACD是解本题的关键．19.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简分式，再代值求解即可．【详解】解：，当时，原式．20.如图，已知，和是对应边，．（1）求证：垂直平分；（2）过点B作交延长线于点E，①请依题意补全图形；②若，求证：是等边三角形．【答案】（1）证明见解析（2）①见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）先根据两个三角形全等，找到对应边和对应角，再根据该对应边以及对应角加上一条公共边，可得到另外一组三角形全等，即可得到对应角相等，并且为直角，故可得到结果；（2）①按照题意画图即可；②根据角度之间的关系以及三角形外角的性质可得，根据两直线平行，内错角相等，得到，再根据角度和为，根据两个三角形全等，对应角相等，将两角和转化，得到一个等式，再根据两角和为可解得两个角度，再根据等边对等角，可得到三角形三个角的角度，即可得到结果．【小问1详解】证明：设交于一点F，如图所示：，∵，∴，在中，，∴（SAS），∴，∵，∴，∴垂直平分；【小问2详解】解：①过点B作交延长线于点E，如图所示：；②∵，且，∴，即，∵，∴，∵，∴，即，∵（两个三角形全等，则对应角相等），∴，由（1）可得，，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∵（两个三角形全等，对应边相等），∴，即，∴是等边三角形．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质、两直线平行，内错角相等、等边对等角，准确找到角度之间的关系是解题的关键．21.小思家在装修一个长方形阳台，采用规格为的长方形地砖铺设地面．为预留排水口，在墙角有部分区域需另外铺设．需进一步铺设的区域如图所示，图中所有角度均为，且，．（1）师傅说：“切割一块地砖，就够了”，请通过计算，说明师傅的判断是正确的；（2）为方便排水，区域的地砖铺设应为轴对称图形，且切割次数尽可能少．请在图1所示的地砖上画出切割线，标出数据，并在图2中画出铺好后的效果图．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）分别求出铺设的区域的面积和一块瓷砖的面积，再进行比较即可；（2）根据轴对称图形的性质，结合，，瓷砖规格为，进行计算即可．【小问1详解】解：由题意可得：铺设的区域的面积，一块瓷砖的面积，，师傅的判断是正确的；【小问2详解】解：地砖上画出切割线如图所示：铺好后的效果图如图所示：22.国庆期间，小明和小李两家打算自驾去某地游玩．制定行走路线时，发现有两种方案供选择，详见下表．日常情况方案一：走国道方案二：走高速公路路程全程63千米全程108千米优缺点分析距离短，路上货车较多，影响速度，比方案二晚到10分钟距离长，速度快，平均速度是方案一平均速度的2倍．（1）求日常情况下方案一需要的时间；（2）国庆期间规定货车白天不能走国道，小明家预判没有货车的影响走国道会更快，于是决定走国道；小李家仍选择走高速．同时出发20分钟后，他们发现小李家比小明家多走了14千米，小明家在不违章的情况下，平均车速达到每小时60千米以上，请问以此速度，在不考虑其他因素影响的情况下，哪家能先到达目的地？请说明理由．【答案】（1）方案一需要的时间为70分钟（2）当小明家的平均速度达到每小时90千米时，两家同时到达；当小明家的平均速度小于每小时90千米时，小李家先到达，当小明家的平均速度大于每小时90千米时，小明家先到达【解析】【分析】本题主要考查了分式方程应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．（1）设方案一需要x分钟，则方案二需要分钟．根据“方案二的平均速度是方案一平均速度的2倍”列出方程并解答；（2）由（1）先计算出小李家到达目的地的时间，设小明家的平均速度为千米/分钟，利用两家同时达到建立分式方程，求出小明家到达目的地的平均速度，再根据平均速度比较即可得出结果．【小问1详解】解：设方案一需要x分钟，则方案二需要分钟，由题意得：，解得：，答：方案一需要的时间为70分钟；【小问2详解】解：由（1）知，小李家达到目的地所用的时间：（分钟），小明家一开始的平均速度为：（千米/分钟），20分钟后，小明家的平均速度达到每小时60千米以上，即每分钟1千米以上，设小明家的平均速度为千米/分钟，由题意得小明家到目的地所用的时间：，则，解得：，（千米/小时），答：当小明家的平均速度达到每小时90千米时，两家同时到达；当小明家的平均速度小于每小时90千米时，小李家先到达，当小明家的平均速度大于每小时90千米时，小明家先到达．23.观察以下各等式，并完成问题．；①；；②；；……（1）请根据观察结果，写出空格中相应的式子：①______，②______；（2）小明发现当时，形如，，二次多项式的值都为0，他把这样的式子叫作“二次原点式”，并记为．（其中m为常数，且）请写出“二次原点式”的一个性质：；（3）在（2）的条件下，小明还发现当与时，的值相等，其他二次原点式也有类似结论．他把能使二次原点式的值相等的两个数a与b（）叫作该二次原点式的一组“和谐数对”．如1与是的一组“和谐数对”．请探究a，b与m的关系，并证明你的结论．【答案】（1），（2）最小值为（3），理由见解析【解析】【分析】本题以新定义题型为背景，考查了完全平方公式以及因式分解的相关知识点，掌握公式的形式以及因式分解的各种方法是解题关键．（1）将各式配凑成完全平方即可求解；（2）结合（1）可得，即可得出答案；（3）根据二次原点式“和谐数对”的定义可知，移项进行因式分解即可求解．【小问1详解】解：，，故答案为：，；小问2详解】解：有（1）可得：，∴“二次原点式”有最小值，故答案为：最小值为；【小问3详解】解：，理由如下：∵a与b是二次原点式的一组“和谐数对”，∴，即：，∵，∴，即：．24.如图1，平面直角坐标系中，，，．（1）求的长；（2）点C是x轴正半轴上一动点，连接，点D在第四象限，且，，求的长．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）根据坐标两点的距离公式求解即可；（2）分两种情况讨论：①当点在上时，过点作轴于点，过点作于点；②当点在延长线上时，过点作轴于点，利用等腰三角形和直角三角形的特征分别求解即可．【小问1详解】解：，；【小问2详解】解：，，轴，，，，①如图，当点在上时，过点作轴于点，过点作于点，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，在中，，，；②如图，当点在延长线上时，过点作轴于点，，，，，，，，，，，，，在中，，，；综上可知，的长为或．【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标两点距离公式，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，勾股定理，分母有理化等知识，利用分类讨论的思想，找出角度和线段之间的数量关系是解题关键．25.用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．（1）如图1是铺在某知名大学数学系大楼入口的彭罗斯地砖，它由如图2和如图3所示的两种不同菱形镶嵌而成．请观察图形，并填空：______°，______°；（2）如图4所示的拼合图案是使用全等的正三