第6讲高二数学学科素养能力竞赛专题训练-等差数列

第6讲高二数学学科素养能力竞赛专题训练—等差数列

【题型目录】

模块一：易错试题精选

模块二：培优试题精选

模块三：名校竞赛试题精选

【典型例题】

模块一：易错试题精选

1.在等差数列｛%｝中，％=-11,见=一3记7；=6%..4(〃=1,2...),则数列｛7；｝()

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】C

【分析】根据题意求出根据等差数列｛4｝的各项符号得到数列｛Z｝的单调性.由此可求得结果.

【详解】解：依题意可得公差1=牛二3==〃=2,q=4+(〃—l)d=—11+2〃—2=2〃—13,

5-14

所以当〃工6时，an<0,当〃27时，%>0,

因为彳=一11<0,7；=-llx(-9)=99>0,7；=-llx(-9)x(-7)=-693<0,

7；=-llx(-9)x(-7)x(-5)=3465>0,4=3465x(-3)=-10395<0,

7；,=-10395x(-1)=10395>0,

2

又当“N6时，Tn=a.a2a3a4a5a6q>0,且多-空」包=—=2〃-11N1,即7；,所以当〃之6时，

数列｛1｝单调递增，

所以数列｛1｝无最大项，数列｛1｝有最小项Z=T0395.

故选：C

2.数列｛《｝满足，”=，,“+2(weN\〃22),%=1,其前〃项和为S“，若2022Vs”<2035,则〃=()

A.47B.46C.45D.44

【答案】C

【分析】由题意可知数列｛4｝是首项为1，公差为2的等差数列，进而可得S“=/,从而有2022<2035，

求解困可

【详解】数列｛““｝满足凡=勺_1+2（〃£、"，n>2）,即可-《1=2,%=1,

所以数列｛4｝是首项为1，公差为2的等差数列，

所以S”=〃6+「d=n2,

又2022Vs“<2035,则2022</<2035，

因为“=]936<2022<452=2025<2035<2116=462>

又且2（）22v/v2035，

所以〃=45,

故选：C

3.1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”如下图，则其第10行

第11列的数为（）

47101316…

712172227…

1017243138…

1322314049…

1627384960…

A.220B.241C.262D.264

【答案】B

【分析】观察可得第一列成等差数列，然后再观察每一行的特点，即可得到第10行第11列的数.

【详解】第一列的数字为的7,10,13,16,K可得为等差数列,公差d=3,

贝ijan+（w——4+3（n—1）—3w+l

则第10行的第一个数字为%=3x10+1=31

然后第一行的数字是加3递增，第二行的数字是加5递增，第三行的数字是加7递增，…

则第"行的是加3+2（N-l）递增，

则第K）行是力口3+2（10-1）=21递增

所以第10行第11列的数为31+21（11-1）=241

故选:B

4.已知等差数列｛6,｝（公差不为零）和等差数列｛%｝的前〃项和分别为％如果关于x的实系数方程

2023/-5皿/+石。23=0有实数解，那么以下2023个方程V—=0（i=l,2,3,…,2023）中，有实数解的

方程至少有（）个

A.1009B.1010C.1011D.1012

【答案】D

【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到。温-4九I?N。，要想无实根,要满足d-M<0,

结合根的判别式与基本不等式得到4<。和A^v。至多--个成立，同理可证：&<0和A2m<0至多•个

成立，……，劣0”<0和A@3<0至多一个成立，且金）”0,从而得到结论.

【详解】由题意得：5^-4x2023^>0,

其中SQ=2023（。；+八）=2023.2，小,=2023（*+*）=2023%?，

代入上式得：a[i2-4432-0，

要想犬-4/+〃=0（，=1,2,3,,2023）方程无实数解，则。”他乃，

显然第1012个方程有解，

设方程/4=0与方程一一生⑼=0的判另IJ式分别为4和△血3，

则+△2023=（〃；-44）+（d023-%侬）24；+砥23-4伯+%23）

之^1^£_4佃+如3）=^^-%2=2（*2-44。步0，

等号成立的条件是％=限.

所以4Vo和至多一个成立，同理可证：△2Vo和AMZ〈。至多一个成立，

....<0和「⑼3Vo至多一个成立，且AQO,

综上，在所给的2023个方程中，无实数根的方程最多1011个，有实数根的方程至少1012个.

故选：D.

5.已知两个等差数列2,6,10,...»198及2,8,14,…，200,将这两个等差数列的公共项按从小到大

的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（）

A.1460B.1472

C.1666D.1678

【答案】C

【分析】根据题意求出两个数列，相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可.

【详解】有两个等差数列2,6,10，…,198及2,8,14.........200,

由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2,14,26,38,50,…，182,194是两个

数列的相同项.

共有1峰94上-2+1=17个，也是等差数列，

2+194

它们的和为:一xl7=1666,

2

这个新数列的各项之和为1666.

故选：C.

〃

6.已知分别是等差数列㈤｝与低｝的前〃项和，且S宁二2比+1三（〃=12）,则有广韦二（）

HR414323

A・诟B-780.瓦0.瓦

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质可得：b3m将所求的式子化简，再利用等差数列前〃项和即可求

解.

【详解】因为数列｛么｝是等差数列，所以％+%=/+九，

又因为S.Z分别是等差数列｛%｝与出｝的前〃项和，且宁=/二工（〃=1,2,）,

yj%+/=4o+4=4+/=&=2x20+1=4[

T4+九力6+九4+%4+%T第4x20-278,

故选：B.

7.（多选题）己知数列｛4｝的前〃项和为J，则下列说法正确的是（）

A.若S“=2〃2-3,则｛可｝是等差数列

B.若｛勺｝是等差数列，且6=5,%+4。=2,则数列｛凡｝的前〃项和S。有最大值

C.若等差数列｛4｝的前10项和为170,前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8,则公差为2

D.若｛4｝是等差数列，则三点（10,强）、（20,穿）、卜0,祟）共线

【答案】BCD

【分析】根据等差数列及等差数列前〃项和S”的性质，逐项分析判断.

【详解】A项，〃=1时，4=1=-1,

〃之2时，a“=S"-Si=4〃-2

〃=1时，4=2工-1,所以，｛叫不是等差数列；

B项，由已知可得，4=1，又%=5

423

所以，d=——<0,q=3~>0.所以，S”有最大值；

C项，由已知可得，偶数项和为90,奇数项和为80,两者作差为5d=10,所以d=2；

D项，设三点分别为4,B,C,—=^H■——»则需"=4+31,=«)+—</,—=«1+—d.

UlMIUUUuiMlUU1

则AB=(10,54),5C=(10,5d),4B=BC，所以三点共线.

故选：BCD.

8.(多选题)S。为等差数列｛q｝的前〃项和，公差d>0,若。3%%T05,且」一+」一+」一二；,则()

aaaa

41a55i37'

A.6=5

B.Sg=90

C.对于任意的正整数〃，总存在正整数用，使得勺=S”

D.一定存在三个正整数加，〃，k,当加〈女时，廿，2%,2%三个数依次成等差数列

【答案】AC

【分析】对等式一匚+一匚+」一二;左边同分，结合％%%=105即可求出的,从而判断A选项；再结合公

差d>0即可求出生和的,从而求出4％、Sn,从而对B和C进行判断；对于选项D,根据等差中项的

性质表示出m、〃、欠二者的关系，根据方程成立的条件即可判断.

1111+a.+a,3as1

【详解】由---+----+----=亍得----------="5=5,故A正确；

c

a3a5a5a7a3h'1057

S9=―———=96=9x5=45,故B错误；

aia^a-j=105,a3aj=21,结合％+%=26=10及d>0可得：=3,%=7,

故=an=a5+(n-5)d=n,Sn=—->则4=S”即为"=〃(”+。,

7—322

•・•〃是正整数，，当W也是正整数，故对于任意的正整数〃，总存在正整数机，使得勺=，，故C正确;

2%,24,2,成等差数歹U。2•2"=2"'+2«o2n+,-m=1+2k~m

•・・21a,2""m均为偶数，，等式左边为偶数，右边为奇数，左右不可能相等，故D错误；

故选：AC.

9.（多选题）设数列｛为｝是公差为d等差数列，S.为其前〃项和，4<（）,且％2。=5如3,贝IJ（）

A.d>0B.。2022=。C.S5Vs6D.5202l>$2022为S”的最小值

【答案】ABD

【分析】根据题干条件找出％和d的等量关系，分析出4和d的符号后逐一判断即可.

【详解】根据$2020=$2023可知,々2021+“2022+“2023=°,由等差中项可得，。2021+“2021+“2023=°=3a2022,即0022=。»

故B正确；

%<0,=0=4+20214,故d=一蠢>0,故A正确；

«,<0,d>0可知,等差数列单调递增.01-2=0.说明4（14〃42021,〃WZ）都是负数.故S2⑷最小,又

。2022=。，于是§2021MS.,它们均是最小值，故D正确；

据刚才分析，，<0,而S6-S5=《<0,故C错误.

故选：ABD

10.（多选题）公差为d的等差数列｛/｝前〃项和为S”，若S10<S8<S9,则下列选项，正确的有（）

A.d>0B.q>0时，〃的最大值为9

C.S,,有最小值D.S”>0时，〃的最大值为17

【答案】BD

【分析】根据等差数列的单调性以及前〃项和的函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：由SioVavR可得%+4«<。，%>。，4o〈O，=al0-a9<0,A错误；

对B：由A得，数列为单调减数列，一且6>0,4。<0,故。“>0时，〃的最大值为9,B正确；

对C：由A得，d<0,故S.=3〃2+（可一：）〃是关于/1的开口向下的二次函数，其有最大值没有最小值，C

错误；

对D：因为数列｛〃.｝的前9项均为正数，且S1?=17%>。，&=9（6+48）=9（q+%）<0，

故S”>0时，〃的最大值为17,D正确；

故选：BD.

11.（多选题）等差数列｛q｝的各项4>0,设其前〃项和为（〃wN*）且工=，2,则以下命题正确的是

)

A.S0的值不可能为0：

B.当S.cO时，〃的最小值为18

C.等式4+%++。”=。|+。2++%7_”恒成立(〃<17)

D.当S.值最大时，〃的值为9

【答案】BC

【分析】由条件S§=几结合等差数列的前〃项和公式确定数列｛勺｝的首项q和公差d的关系，再结合通项

公式和前凡项和公式依次判断各选项即可.

【详解】设等差数列｛q｝的公差为d，因为$5=几，所以5卬+等4=124+竺/"，所以％+84=0,

即6=0,所以S7=17《+巴普d=17(4-8d)=0.A错误：因为S“=，町+一『口"二|「一/d’令S“<0.

所以(与又《>0，4+81=0,所以d<0,所以〃—17>0,又/teN",所以当S“<0时，〃的

最小值为18,B正确，因为S”=〃q+当5d=('d<0,所以当〃=8和〃=9时，S”值最大,

D错误，因为S”=(q)〃d,所以当〃<17时，=即

4+%++《=4+/++47-“，C正确;

故选：BC.

12.已知数列｛%｝中，6=1,2q+/4,=(〃+1)4-〃/+1,则通项公式％=.

【答案】

【分析】对已知条件变形，可得工为等差数列.

4

【详解】由已知为小。=但+^^一:町山显然。#。，

两端同时除以^---=2,又，=1

4+1ana\

所以，数列是以1为首项，2为公差的等差数列.

所以，—=l+2(w-l)=2w-l.

所以,

2n-\

n

故答案为:

2n-\

:，且2=-!-+-!-(〃61<,〃之2),则4023=

13.若各项均不为零的数列血｝满足4=1，/

aa

2nn-\."♦]

]

【答案】

2023

2112),可知，，，为等差数列，从而可以求出,’的通项公式，进而可

【分析】由一=—+—neN：〃之

勺%%lan

求出。2023的值.

【详解】由2=」—+」—(〃€N=〃N2),得」-----=-----—(/：€N\n>2|,

可%%.」%勺4%

，,,为等差数列.

乂4=1,4=3，

,11.

所以d=------=1,

54

1

・•・一=〃，

凡

1

1

・•a

202a-2023

故答案为:

2023

14.已知数列应｝满足a。q=2-24,〃为正整数，则可=.

__〃十I

【答案】芯

\-aI11

【分析】根据递推关系可得知=1■一〜进而变形得1——1——=1，可知;一为等差数列，进而可求.

1-4.11-q*-an\U-anJ

2

【详解】当〃=1时，4=2-24?4

当〃N2时，由的2q=2-2可得4，%=2-2%，

两式相除得：^n>2,故.二7」—，

I—-1-%1-4，

进而得丁^—丁匚:1，«>2,因此［J-］为等差数列，且公差为1,首项为3,

1-4.1一凡“|1-«J

故土=3+（入I）?4=翟

故答案为：型=

n+2

15.设等差数列｛4｝的前"项和为S"，若S”=〃2+2%-6,则〃“=.

【答案】2〃+3

【分析】由勺与S”的关系消去Sf，得到aj勺递推公式，再由等差数列的性质求得公差d,即可求得其通项.

【详解】当〃=1时，q=l+2.1-6,则6=5；

当〃22时，5小=5—1)2+〃_/6,

两式相减,整理得%=方”_「2〃+1,

设公差为d,则4一勺一]=d=q-]-2〃+1,即5+(〃-2)d=2〃+d-l.

所以d=2,

所以q,=2〃+3.

故答案为：2〃+3.

16.已知等差数列｛q｝的前〃项和为,，若旦=］则得■=.

【答案】214

45

s7：（《+%）

【分析】根据等差数列前〃项和公式，得・..U=~^--------，再根据等差中项得到4+%=24,4+%=2%,

九?％+%）

整体代入即可得到答案.

2

【详解】等差数列｛4｝的前月项和为S”一=4,

“8J

S-5(4+%)714

一X­=

5,5y(«!+«i5)15仆15345

故答案为：弓14.

45

17.我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七

数之剩二，问物儿何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列｛q｝,

所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列低｝,把数列乩｝与也｝的公共项按从小到大的

顺序排列组成数列｛q｝，则数列｛[｝的第10项是数列｛2｝的第项.

【答案】28

【分析】根据给定的条件，求出数列｛%｝,也”｝的通项公式，再推导出数列｛%｝的通项即可计算作答.

【详解】依题意，数列｛%｝,也｝的通项公式分别为q=3〃-1也=5〃-3,令4二%/〃ebP,

即有弘一1=56一3,则3=2=2小—”；2,因此/n+2=3p,p£N*,即m=3p-2,pwN*,有Cp=b3P々，

于是得数列｛cn｝的通项为c“=&_2=5(3〃-2)-3=15〃-13,c10=137,由5〃-3=137得：〃=28,

所以数列匕｝的第10项是数列｛〃｝的第28项.

故答案为：28

18.已知数列｛4｝的各项都不相同,口4=1949,4=2021.4一即€｛4,-3｝(2«i«kiw不•则正整数。

的最大值和最小值之和为.

【答案】164

【分析】由2021=1949+72,分析可知当《一«”=4时，女取最小值；当a,-qT=4和4-a“=-3交替出现

时，A2的最大值和最小值，相加可得结果.

【详解】因为4=1949,4=2021,力-1w｛T3｝(24i-),

则4=2021—1949=72,且72=4x18,

则当4一。1=4时，女取最小值，

此时，数列｛4｝是等差数列，且其公差为4,则融=q+4仕-1)=1949+4(2-1)=2021,

解得A=19,所以，k的最小值为19；

当4-《7=4和=-3交替出现时，女取最大值，

因为1949+72(4-3)=2021,所以，2的最大值为2x72+1=145.

因此，正整数％的最大值和最小值之和为145+19=164.

故答案为：164.

19.设等差数列｛q｝的前〃项之和S”满足枭-55=20,那么％=.

【答案】4

【分析】由已知，将几-55=20变为％+%+%+q+4。=2(),然后借助等差中项的知识转化为54=20,

即可完成求解.

【详解】由已知，差数列｛%｝的前〃项之和兀满足九-55-20,

即％+%+6+49+%）=20,由等差中项的知识可知2%=%+%=%+4,

所以M=20=/=4.

故答案为：4.

20.记S”为数列｛叫的前〃项和，”为数列⑸｝的前〃项积，已知2szi+仇=2,则4=.

【答案】专

【分析】由题意可得丁2二2厂+1,从而得到｛丁2｝是等差数列，进一步得〃=三，，再求出I=土1=,利用

"岫bnn+2n+2

%=S/S.\求得知=（〃+］；〃+2）即可求出答案.

【详解】解：因为么=£・邑・，・§.，

所以自=5=4,bn_1=ScS2-Sn.,（n>2）,所以S“=3（〃之2）,

Dn-\

22

又因为2S.+b“=2,当〃=1时，得q=大，所以〃=g=q=Q,

b22

当时，2x广+"=2,即丁=*+1,

如“%

所以值］是等差数列，首项为（=3,公差d=l,

也Ja

2

所以（=3+（〃-1）x1=〃+2,

22

所以a=T，满足4=3，

n+23

即£=一^，

n+2

2

所以，$•耳产/万（心2）,

两式相除得斗二"兰，当〃=1时也成立，

n+2

所以5~=羔（〃之2）,

所以4=S”-S”_|一-77=\9,

n+2n+\（〃+1）（〃+2）

所以4=---=—.

逸9x1090

故答案为：表.

21.已知数列｛贲｝("WN)是首项为1,公差为1的等差数列.

⑴求％:

2〃=1,

⑵若J=•m2〃之2.求数列在”｝的前“项和S”.

【答案】⑴仆=〃2

⑵2+2hw

【分析】⑴由于数列是首项为1,公差为1,则可求得争即得勺；

(2)按照裂项求和求S0即可.

【详解】(1)解：•••｛2｝是首项为1,公差为1的等差数列，

则?=1+〃,

可得。“=/.

(2)解：・・・q=2,

〃22时，cn=In-^-=21n=2[inw-In(«-1)],

：•S”"1+C2+…+c”

=2+2[ln2-lnl+ln3-ln2++ln«-ln(n-l)J=2+21nw.

22.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S”，S4=4S2?2“=24+L(〃eN.).

(1)求｛为｝的通项公式；

⑵设数列也｝满足4+勖3+Q用-泗*),记数列卜1)"例❷邯前〃项和为心求

I/+1.

【答案】(1)6=2〃-1：

—心一,n=2k,Z:GN+

2〃+l

(2)1=，

生匚,〃=2"l/eN

2〃+l

【分析】（1）根据等差数列及其前〃项和的基本量，求得首项和公差，即可求得结果；

（2）利用下标的缩减，求得“，再讨论〃的奇偶性，用裂项求和法求，即可.

【详解】（1）设等差数列｛q｝的公差为d,由S」=4S2,可得总+64=4（24+4）,即24=d：

又因为出〃=2q+l,取〃=1,所以勺=2%+1,即q+l=d：

故可得q=W=2.故应｝的通项公式为a“=2〃-l.

（2）由4+34++（2n-\）bn=n,

当7122时，b[+3Z?2++（2n—3）Z?n_|=/2—1,

上述两式作差可得我=丁二（〃22）,又4=1满足上式，

2〃—1

综上”『击（〃eN）

所以（-D-乎=（-Dn=<-,）n<rLT+TT7）.

4+]（2〃-1）（2〃+1）2n-\2n+\

当〃为偶数时7；=-（1+<）+（；+3-（!+3+--（不二+八）+（；7二+37）.

335572〃-32H-12n-l2〃+1

.丁1,12〃

..H-----=------.

”2〃+12〃+1

当〃为奇数时，4=一。+3+4+3-（!+；）+一（八十丁二）

335572M-1+1

.T[12〃+2

〃2〃+12/?+1

——,n=2kkeN*

IfT2〃+1y

故n=\2n+2,,..,

---------,n=2K-1,A:eN

2〃+l

23.设｛《,｝是集合｛2'+210«s<r且s"eZ｝中所有的数从小到大排列成的数列，即

q=30=5必=6M4=9,%=1。4=12「.将数列｛q｝各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三

角形数表:

3

56

91012

⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

（2）求“loo•

【答案】（1）第四行的数依次为17、18、2。、24,第五行的数依次为33、34、36、40、48,

（2）16640

【分析】（1）4=3,%=5,4=6,4=9,4=10,4=12,,结合集合的属性列举求解；

（2）由⑴三角形数的规律为第〃行：2"+2°,2"+21."2"+2i,此数列有1+2+3+...+〃=智工项求解.

【详解】（1）解：第一行：2'+2%

第二行：22+2°,22+2,,

第三行：23+2°,23+2,,23+22,

第四行：24+20,24+2l24+22,2、23,

第五行：25+2°,25+2,,25+2\25+23,25+24,

故第四行的数依次为17、18、20、24,

第五行的数依次为33、34、36、40、48,

（2）由（1）三角形数的规律为第〃行：2"+2°,2"+2；..,2"+2f

止匕数列有1+2+3+...+〃=^^项，

设4oo在第i行，

则比史4

22

解得i=14,

所以4oo在第14行中的第9个数，

则40G=2"+28=16640.

c17

24.已知数列血｝的前〃项和为5„,且/

Woo

⑴求应｝的通项公式;

⑵设"=[叫求数列也｝的前100项和，其中团表示不小于x的最小整数，ftn[0.15]=l,[-2.4]=-2.

【答案】⑴4=-；〃+1，〃cN；

4

⑵T125.

【分析】（1）利用S”与%的关系即可求的｛q｝的通项公式；

（2）求出｛2｝的前几项,找到也｝的规律，从而可求其前100项和.

c17I7

【详解】（1）—=w+—»•-S=~—^2

n88n88

173

，4=Sc,F—=一；

11884

oooo4

〃=1时，q=-;〃+1也成立，

：.an=-^-/l+L72GN*.

/c、311cl1

⑵4=屋6=5，%*%=。，%=一屋％=-/，

3.”

%=一屋«8=-l»，4OO=-24,

.,.⑷=&]=⑷=1,同=⑷=[&]=⑷=。，…,

[^]=[^7]=[^8]=[^9]=-23»[^oo]=~24-

•・•数列｛4｝的前100项和7；00=1x3+但E|"*X4—24=—1125.

25.设等差数列｛叫满足q=l,4>0（〃tN*）,其前〃项和为S。，若数列｛后｝也为等差数列，则凡=；

s

T的最大值是.

an

【答案】2/1-1121

【分析】设等差数列｛《J的公差为d，则2展■=可得2反2=1+国茄，解得d，再利用等差

数列的通项公式、求和公式可得为，S;进而得出.

【详解】设等差数列的公差为d，则2底=6+后，

2j2+d=l+j3+3d，解得d=2,

an-2n-\

・5.+2=(〃+10)x1+3+1?5+9)」2=(〃+IO)?,u>(2n-l)2.

I-八21

二.基=(〃+」=J旦y，

a：(2〃-I)?(2n-l)42M-1

令，=g>0,则》=；(l+，)2,在f>0时单调递增，，=碧单调递减,

2〃一1%42〃一1

S

所以，当〃=1时该式最大，此时黄•的为121.

故答案为：2n-l；121.

26.已知数歹U｛q｝满足q=La向记"二%”，则4=；"=

【答窠】23〃-1##一1+3〃

【分析】根据题设中的递推文系可得=4+3,进而根据等差数列通项公式求解即可.

【详解】解：由题设可得4=%=4+1=2也=%=/+1=生+2+1=5,

又%U2=°2上+1+1，4*.1=。2氏+2，(A:eN),

所以，。2"2=。2*+3,(AwN*)

所以，4+1=4+3,即以］一d=3,

所以包｝为等差数列，公差为3,首项为2

所以，bn=2+(n-l)x3=3n-l.

故答案为：2：3w-l

27.数列｛4｝与也｝均为等差数列，其前〃项和分别为S”与7；,若率=铝，则岂詈=，

使得/为整数的〃值个数.

【答窠】|2

【分析】利用等差数列的基本性质可得出岂鲁二祟，即可得出然组的值；计算得出*=3—-；,

伪+九2弓4+%bn〃+1

可知4能被刀+1整除,求出」的可能取值,可得出结轮.

a2+aio_4+。21_21(%+41)_2s2]_3x21+18

【详解】由等差数列的性质可得~4+为-26+.J―可-21+3

3

殳=也=4+%=伽-1)(4+*)=2s2n7=3(2〃-1)+1=6〃-2

么一叱一4十%_1一(2〃一1)(4+%_J_2&_1_2〃+2-2〃+2

3〃-13(«+1)-44

=----=----------=3-----,

〃+1M+lfl+\

若为为整数，且〃+1N2,故4能被〃+1整除，故〃+1=2或4,解得〃=1或3,

所以，使得去为整数的〃值个数为2.

n

故答案为：g;2.

模块二：培优试题精选

1.己知数列1,1,2,I,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16...,设N为项数，求满足条件“N>100且该

数列前N项和为2的整数帚”的最小整数N的值为()

A.110B.220C.330D.440

【答案】D

【分析】通过分析数列性质可列出不等式即可求得最小整数N的值.

【详解】观察可知：该数列可看成：第一行是2°，第二行是2°,21

第三行是2°,2N，以此类推,项数分别为1,2,3…,

前2行数和为1+2+3++&="»,

则5(笑J2)=1+(1+2)++(1+2++2*-')=2"|-2-2,

要使气辿>100,则A214,

要使前N项和为2的整数冢，

所以：Z+2是之后的等比数列1,2,425部分的和，

即：A+2=l+2++2i=2'—1,

所以&=2,一3214,

则£25,此时左=2$-3=29,

对应满足的最小条件7=笠99x上30+5=440.

故选：D

2.数列｛可｝满足。n=(2疝£-1,+明〃eN',则数列应｝的前80项和为()

A.1640B.1680C.2100D.2120

【答案】A

【分析】利用周期性以及等差数列进行求解.

2-

【详解】设/5)=2sin-—l,因为sin?的周期为T=

222

所以/(〃)=2sin£-1的周期为T=2.

又/(1)=1,〃2)=-1,所以当〃为奇数时，/(«)=1,

所以当〃为偶数时，/(〃)=T.

又%+i=/(〃)见+〃，所以。2=4+1，％=—％+2=—。]+1,

，=%+3=-4+4,于是得到q+/+%+《=6,同理可求出

%I%I%I%=14,agI«10I«(1Ia12=22...»

设2=*+*+*+*则数列出｝是以6为首项，8为

公差的等差数列，所以数列｛4｝的前80项和为数歹式d｝的前20项和

20x6+”也竺=1640.故B,C,D错误.

2

故选：A.

3.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S”，且满足2sin(%+2)—应—5=0,2^(^+2)-^-7=0,则

下列结论正确的是()

A.5*22=2022,且“5>“2018B.^2022="2022,且4<°2018

C.^=-4()44,且%>。刈8D.5.2=4044，且%V。刈8

【答案】C

【分析】根据题意构造函数F(x)=2sinx-3x,确定函数的奇偶性及单调性，进而根据/(6+2),/(4刘8+2)

的关系即可确定答案.

【详解】设函数/a)=2sinx-3x,则八幻为奇函数，且r(x)=2cosx-3<0,所以f(x)在&上递减，由己

知可得24"为+2)—3(/+2)=—1,2sin(02018+2)—3(/18+2)=1,有/(火+2)=—1,/(%)18+2)=1,所

以+2)〈/(4愎+2),且/(4+2)=-/(4[8+2),所以见+2>“2QI8+2=6>“2018,且

%+2=一（4.8+2），所以6+々刈8=-4，$2022==1011（%+々刈8）=-4044.

故选：C.

4,设等差数列｛勺｝的前〃项和为S”，首项q〉0,公差d<0,若对任意的〃cN',总存在使

S2k_i=（2k-\）Sn,贝必—9〃的最小值为（）

A.-74B.-64C.-53D.-43

【答案】C

【分析】首先根据等差数列的前〃项和公式得到4=1,令〃=2,化简得到k-2=多，又因为％wN"所

a

1「，21V1425

以A=l,得△=-%,再利用等差数列前"项和公式得到=],利用二次函数的性质

即可得到答案.

【详解】由题意得QD（厂味）=（2J电

则得24=（2心1电,即％=S〃，

令〃=2得4=§2，即4+（Z—l）d=2q+d①，即得氏-2=3.

a

因为首项4>0,公差d<0,则得左一2=々<0,即Av2.

a

又因为左cN1所以2=1,代入①得1=-4.

当d=-q时，由4=S，得4一（Bq=叫一

/"52""

Bflk=（n~1）（n~2）+l,所以攵-9〃=,〃2一名〃+2

222

因此当〃=10或II时，4-9〃的最小值为-53.

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题主要考查等差数列前〃项和公式，根据题意化简得到1=-4,从而得到

k=（〃­）；〃-2）+1为解决本题的关键,属于中档题.

5.已知函数/'（X）是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列｛4｝是等差数列，若前2022项和小于零,

则/X2+f32）+L+/（。2022）的值（）

A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负

【答案】B

t分析】由题意可得/(0)=0,且当|x>0,/*)>0；当xv0,f(x)<0.设等差数列前〃项和为S”，则S2022<0,

aaa

则q+W022<。，则n+2O23-n<。(13区2011,〃£N)，由f(n)</(一生023~”)=~f^2023-n)即可判断

/(«1)+/(«2)+L+/(，022)值的正负.

【详解】，函数f(x)是R上的奇函数且是增函数，

/(0)=0,且当x>0,/(x)>0：当x<0,/U)<0.

设等差数列前〃项和为S。，由题可知s耽2<0,

则(4+〃22)x2022<0,即％+a2022V0,则a“+/023-”<°(19?011,«eN*).

2

所以4<~a2O23-n'

结合函数/(X)在R上的单调增和奇函数性质，可得/K)<八-。­)=-八/23.“)，

所以/3”)+/(/但”)<0

+

：.fW+f(a2)+L+/(。2022)=[/(4)+/(«2O22)]+"a)+f(«2O2l)]+L+I)/(«1012)]<0：

综上，/(4)+〃。2)+匕+f(/o22)的值恒为负数.

故选：B.

6.已知数列;，I，|,1,p《〃项记为勺，则满足q=5且〃A20的〃的最小值为

()

A.47B.48C.57D.58

【答案】C

【分析】将数列的项分组，设满足〃N20的。”=5首次出现在第加组的笫x个数的位置上，由此列式

---+——^20,求得m27,结合一；-----=5,x=——,x,7«GN,即口J求得答案.

261+x-l6

【详解】将数列分组为(；)，(p^),(p|,1),(p5)，…，

设满足〃220的q=5首次出现在第6组的第x个数的位置上，

...m+1-x_m+1XT

贝IJ------=5,x=----,x,mGN,

x6

此时数歹ij共有项数为I+2+3++(〃?_l)+x=(\[D'〃+x之20,

即得叫加+笑L20,解得加之