湖北省市级示范高中智学联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题

湖北省市级示范高中智学联盟2024年秋季高二年级12月联考数学试题命题学校：大冶实验高中命题人：冯江华审题人：吴玲玲陈铭注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先要对所给的复数进行整理，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到复数虚部变为相反数，即可得到共轭复数.【详解】，共轭复数为：.故选：C2.已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据倾斜角与斜率关系，及两点求斜率确定倾斜角的大小.【详解】直线斜率，又因为直线倾斜角的范围是，所以直线倾斜角为.故选：D3.已知椭圆的两个焦点与椭圆的两个焦点构成正方形的四个顶点，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由焦点构成正方形可得椭圆的两个焦点在轴上，进而可得，求解即可.【详解】由椭圆，可得椭圆的焦点为，因为椭圆的两个焦点与椭圆的两个焦点构成正方形，所以椭圆的两个焦点在轴上，所以椭圆的焦点为，所以，解得.故选：B.4.“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据平行得到直线方程的系数关系，从而可求参数的值，故可得两者之间的条件关系.【详解】当时且，解得，当时，两条直线方程分别为：，，此时，故是的充要条件.故选：C5.如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】记的中点为，根据正四面体和正三角形性质可得，然后由空间向量的线性运算可得.【详解】记的中点为，由正四面体的性质可知，为正的重心，所以所以.故选：B6.已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出双曲线焦点到渐近线的距离，得出的表达式，再根据题中不等关系得到、的齐次式，转化为关于离心率的不等式，进而得到离心率的范围.【详解】焦点到渐近线即的距离，所以，因为，即，所以.解得，即，又因为双曲线中，所以.故选：C7.已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直线过定点，再根据点在圆内结合几何性质求出最短弦和最长弦即可得解.【详解】直线可化为，则直线过定点，点代入圆中：，所以点在圆内，当时，直线被圆截得的弦长最短，即，当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，即，所以.故选：A8.双曲线（，）的左、右焦点分别为，.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由所给条件可转化为中角的正弦值，利用正弦定理由正弦值之比得出边长之比，再由面积求出边长，利用双曲线定义求得解.【详解】如图：由题可知，点必落在第四象限，，设，，，由，求得，因，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，则由得，，由得，则，，，，由双曲线定义可得：，，，所以双曲线的方程为.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分.9.已知圆，圆，则下列结论正确的是（）A.若和外离，则或B若和外切，则C.当时，和内含D.当时，有且仅有一条直线与和均相切【答案】BD【解析】【分析】先根据圆的标准方程得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再由两圆的位置关系得到圆心距与半径的和、差的关系得到不等式(或方程)，即可判断.【详解】由题知，，，，.对于A，若和外离，则，解得或，故A错误；对于B，若和外切，则，解得，故B正确；对于C，当时，，则和相交，故C错误；对于D，当时，，则和内切，有且只有一条公切线，故D正确.故选：BD.10.已知曲线的方程为，则（）A.当时，曲线为圆B.当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为C.当时，曲线可能为焦点在轴上的椭圆D.当时，曲线为双曲线，其焦距为【答案】ABC【解析】【分析】根据圆、椭圆、双曲线的标准方程依次判断选项即可.【详解】对选项A，当时，曲线的方程为：，表示圆，故A正确.对选项B，当时，曲线的方程为：，表示双曲线，渐近线方程为：，故B正确，对选项C，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确.对选项D，当时，曲线的方程为：，表示椭圆，故D错误.故选：ABC11.已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点满足，其中，，，则（）A.当为底面的中心时，B.当时，长度的最小值为C.当时，长度的最大值为6D.当时，为定值【答案】ACD【解析】【分析】对于A：根据空间向量线性运算分析求解即可；对于BC：分析可知点在及内部，利用等体积法求最小值，取端点验证最大值；对于D：利用空间向量的数量积可得，进而可求.【详解】由题意可知：.对于A，当为底面的中心时，则，即，，，所以，故A正确；对于BC，当时，可知点在及内部，设，点到平面的距离为，由题意可知：为等边三角形，且，可得，，因为，即，解得，所以长度的最小值为，故B错误；若点分别与重合时，长度分别为6，6，3，所以长度的最大值为6，故C正确；对于D，若，则，又因为，则，所以为定值，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是_______.【答案】【解析】【分析】先设椭圆的标准方程，再根据点在椭圆上及焦点坐标列方程计算求解即可.【详解】设椭圆标准方程为：，由已知且，解得，，所以标准方程为：.故答案为：13.已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为____________.【答案】【解析】【分析】利用模的平方得到向量积，再由投影向量公式即可求解.【详解】由两边平方化简得：，①因为，所以，又，代入①得：，解得：，所以在上的投影向量坐标为.故答案为：.14.已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形面积的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，以中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设，利用建立关于的等量关系，从而点的轨迹方程为圆，从而可得，再代入三角形面积公式即可求解.【详解】解：中，，以中点为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系，设，则，即，整理得，，即有，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知顶点、、.（1）求边的垂直平分线的方程；（2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程；（2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距时进行求解.【小问1详解】由、.可知中点为，且，设边的垂直平分线的斜率为，所以其垂直平分线斜率满足，即，所以边的垂直平分线的方程为，即；【小问2详解】当直线过坐标原点时，其直线斜率，此时直线方程为，符合题意；当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，由过点，则，解得，所以直线方程为，综上所述，直线的方程为或.16.大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.设各局比赛相互之间没有影响且无平局.（1）求恰好比赛三局，比赛结束的概率；（2）求甲校以3:1获胜的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）就不同学校连胜3场分类讨论后可求比赛结束的概率；（2）就前两局甲校两胜、一胜一负分类讨论后可求甲校以3:1获胜的概率.【小问1详解】恰好比赛三局，比赛结束的情况如下：甲校连胜3局，概率为；乙校连胜3局，概率为.故恰好比赛三局，比赛结束的概率.【小问2详解】甲校以3:1获胜的情况如下：①前两局男生排球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜，概率为；②前两局男生羽毛球比赛中甲校1胜1负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜，概率为.故甲校以3:1获胜概率.17.在中，，，，，分别是，上的点，满足且点是边靠近点的三等分点，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示：（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据翻折可证平面，即可得，再结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】因为在中，，，且，所以，，则折叠后，，又，，平面，所以平面，平面，所以，又已知，，平面，所以平面.【小问2详解】由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.由几何关系可知，，，，故，，，，，，可得，，，设平面的法向量为，则，不妨令，则，，可得.设与平面所成角的大小为，则有，故，即与平面所成角的余弦值为.18.在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为.（1）求圆的标准方程；（2）设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率.（ⅰ）若，求面积的最大值；（ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）（ⅰ）1；（ⅱ）过定点.【解析】【分析】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可；（2）（i）由可得，且，根据三角形面积公式和基本不等式求最大值即可；（ⅱ）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入求出与的关系进而可得定点.【小问1详解】设圆的标准方程为，由已知可得：，解得：，，，所以圆的标准方程为.【小问2详解】（ⅰ）由（1）知，因为，所以，从而直线经过圆心，是直角三角形，且，设，，则，又，所以，当且仅当时取等号，所以.（ⅱ）由已知得：直线的斜率必存在，设直线的方程为，，，由，消去得：，当时，，，（※）又，即，代入（※）得：，即，解得：，或，当时，此时直线的方程为，过定点（舍去），当时，此时直线的方程为，过定点，故当，动弦过定点.19.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆过点，且短轴的一个端点与焦点的连线与轴所成角的正弦值等于.（1）求椭圆的蒙日圆的方程；（2）若斜率为2的直线与椭圆相切，且与椭圆的蒙日圆相交于，两点，求的面积（为坐标原点）；（3）设为椭圆蒙日圆上的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据椭圆过的点和几何关系列方程组求得，，从而利用蒙日圆的定义求解方程即可.（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用判别式法求得，然后根据几何法求得弦长，即可求解面积.（3）设，，，利用判别式法求得的方程和的方程，进一步求得的方程，让其与椭圆联立，韦达定理，利用弦长公式求出，再由点到直线的距离求出的高，得出面积表达式，换元后利用导数判断单调性，从而求解最值.【小问1详解】由已知可得，①，由椭圆过点，得②，由①②解得，，于是，所以椭圆的蒙日圆的方程为.【小问2详解】由（1）知，椭圆的方程为，设直线的