专题三角形全等之辅助线讲义2024－2025学年人教版数学八年级上册

专题：三角形全等之辅助线【课前快练】1.如图，，，，，则等于（）A．B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：①△≌△；②△∽△；③；④其中正确的是（）A．②④；B．①④；C．②③；D．①③．3．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．4．如图，点在的平分线上，若使，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添加辅助线）：ＣＥＤＣＥＤＦＨＡ图1图2图1图2DCEA第6题图（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：．7.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE第7题图第7题图8.如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF＝DC．【回顾旧知】知识点1、全等三角形的定义和表示方法（1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（2）全等三角形的形状和大小完全相同，只是位置不同，其中一个经过平移、旋转、翻折等变换后必定与另一个重合。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角（3）“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。（4）寻找对应元素的方法：①根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。②根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；③通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。平移如图（1），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。旋转如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；翻折如图（3），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；图1图2图3知识点2、全等三角形的性质（1）性质：全等三角形中，对应边相等，对应角相等。（对边、对角的区别）（2）全等三角形的对应线段（对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线）相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。知识点3、全等三角形的判定（1）“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。（2）“边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（3）“角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（4）“角角边”（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（5）“斜边，直角边”（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是:①三个角对应相等，即AAA；②有两边和其中一角对应相等，即SSA。知识点4、全等三角形的证明思路知识点5、全等三角形的综合应用利用全等三角形可以测出不能（或不易）直接测量长度的线段长，例如，河宽，或利用全等测量小口瓶的内径等。知识点6、证明方法（1）综合法（执因索果）、分析法（执果索因）（2）证面积关系：将面积表示出来（3）证线段相等、角相等常通过证三角形全等（其余有关线段和角相等的定理）（4）证线段倍分关系：加倍法、折半法（5）证线段和差关系：截长法、补短法知识点7、角平分线的作法、性质和判定（1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。（2）角平分线的判定：到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。知识点8、常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．（2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（4）遇到垂直平分线，可作线段两端的连线，利用垂直平分线的性质解题。（5）三角形中两中点，连接则成中位线，利用中位线的性质解题。（6）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”（7）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．（8）特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．三角形辅助线做法图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。【重、难、考点】重、难点：全等三角形角与边的查找；考点一：角平分线轴对称【典型例题】1、已知在ΔABC中，E为BC的中点，AD平分，于D．AB＝9，AC＝13．求DE的长．2、已知在ΔABC中，，AB＝AC，BD平分．求证：BC＝BD＋AD．【变式训练】1、已知在ΔABC中，，，AF平分，过F作FD∥BC，交AB于D．求证：AC＝AD．2、如图，在ΔABC中，，ADD平分．求证：AC＝AB＋BD．3、如图，ΔABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，交的平分线AD于D，过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．求证：BM＝CN．考点二：平移【典型例题】1、如图，在梯形ABCD中，BD⊥AC，AC＝８，BD＝15．求梯形ABCD的中位线长．2、已知在ΔABC中，AB＝AC，D为AB上一点，E为AC延长线一点，且BD＝CE．求证：DM＝EM．考点三：旋转1、如图，已知在正方形ABCD中，E在BC上，F在DC上，BE＋DF＝EF．求证：．2、如图，在ΔABC中，∠ABC=900，AB＝BC，D为AC中点．AB的延长线上任意一点E．FD⊥ED交BC延长线于F．求证：DE＝DF．【变式训练】1、如图，点E为正方形ABCD的边CD上一点，点F为CB的延长线上的一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．2、已知：等腰△ABC,AB=AC，∠ADB=∠ADC，求证：∠DBC=∠DCB考点四：中点的联想【典型例题】(一)倍长中线法1、已知，AD为ΔABC的中线．求证：AB＋AC>2AD．2、如图，AD为ΔABC的角平分线且BD＝CD．求证：AB＝AC．(二)中位线1、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E和F分别为BD与AC的中点．求证：(三)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半1、在ΔABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G．求证：(1)CG＝EG．(2)．2、已知：在等腰梯形A