2024-2025学年上海市青浦贤区高三上册11月期中数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年上海市青浦贤区高三上学期11月期中数学检测试卷一、填空题：本大题共12题，1－6小题每题4分，7－12小题每题5分，共54分.1.已知，．若，则__________．2.已知复数满足（为虚数单位），则__________．3.已知等差数列满足，，则____________.4.设关于的不等式的解集为，则__________.5.函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．6.设x、y均为正实数，且，则的最小值为________.7.已知，，则向量在向量方向上投影向量为_________.8.幂函数在定义域上是非奇非偶函数，则实数a取值范围是________.9.不等式的解集为集合A，不等式的解集为集合B，则______.10.在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是___________.11.设且，满足，则的取值范围为________________．12.2020年12月17日，嫦娥五号返回器在内蒙古安全着陆，激动人心！“切线数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则数列为函数的“切线数列”.若函数的“切线数列”为，其中，数列满足，上，数列的前n项和为，则________.二、选择题：本大题共4题，13－14小题每题4分，15－16小题每题5分，共18分，在每个题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.13.已知实数x，y满足，则下列不等式中一定成立的是（）A B. C. D.14.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A. B. C. D.15.已知等比数列的前项和为，且，，则（）A.9 B.16 C.21 D.2516.符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的序号是（）①函数的定义域为，值域为；②方程，有无数解；③函数是周期函数；④函数是增函数；A.①② B.②③ C.③④ D.①④三、解答题：本大题共5题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.的内角所对的边分别为．（1）若a，b，c成等差数列，证明：；（2）若成等比数列，求的最小值．18.已知函数为奇函数，且，其中，．（1）求，的值；（2）若，，，求的值．19.上海地铁四通八达，给市民出行带来便利.已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，.经测算，地铁载客量与发车时间间隔t满足：，其中.（1）请你说明的实际意义；（2）若该线路每分钟净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益.20.已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）若关于x方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值；（3）设a>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求a的取值范围.21.设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“D函数”.（1）分别判断和是否为D函数，并说明理由；（2）若是D函数，求正数a的取值范围；（3）已知奇函数及其导函数定义域均为.证明：“在上严格减”不是“为D函数”的必要条件。2024-2025学年上海市青浦贤区高三上学期11月期中数学检测试卷一、填空题：本大题共12题，1－6小题每题4分，7－12小题每题5分，共54分.1.已知，．若，则__________．【正确答案】【分析】根据集合，则集合中的所以元素均相同，即可列方程求解的值.【详解】解：已知，．若，所以，解得，或，无解综上，.故答案为.2.已知复数满足（为虚数单位），则__________．【正确答案】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：由，得，∴.故答案为.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3.已知等差数列满足，，则____________.【正确答案】5【分析】由等差数列的性质可得.【详解】因为是等差数列，所以，则有，解得.故答案为.4.设关于的不等式的解集为，则__________.【正确答案】【分析】根据一元二次不等式与方程的关系求解.【详解】因为关于不等式的解集为，所以一元二次方程的两个根为，所以根据韦达定理可得，解得，所以，故答案为:.5.函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．【正确答案】.【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.【详解】函数,周期为本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.6.设x、y均为正实数，且，则的最小值为________.【正确答案】25【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性及基本不等式求出最小值.【详解】正数满足，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为25.故257.已知，，则向量在向量方向上的投影向量为_________.【正确答案】【分析】利用在方向上的投影向量公式即可得到答案.【详解】向量在向量方向上的投影，即.故答案为.8.幂函数在定义域上是非奇非偶函数，则实数a的取值范围是________.【正确答案】【分析】利用给定的幂函数性质，结合函数奇偶性定义求出的范围.【详解】当时，，则，且，函数是奇函数，不符合题意；当且时，关于数0不对称，此时幂函数是非奇非偶函数，所以实数a的取值范围是.故9.不等式的解集为集合A，不等式的解集为集合B，则______.【正确答案】【分析】解不等式求出集合，再利用交集的定义求出结果.【详解】不等式，解得或，即，不等式，解得，即，所以.故10.在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是___________.【正确答案】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即故11.设且，满足，则的取值范围为________________．【正确答案】【分析】判断出对应点的轨迹，从而求得的取值范围.【详解】设，，则，所以，，所以，即对应点在以为圆心，半径为的圆上.，对应点为，与关于对称，所以点在以为圆心，半径为的圆上，表示与两点间的距离，圆与圆相交，圆心距为，如图所示，所以的最小值为，最大值为，所以的取值范围为.故12.2020年12月17日，嫦娥五号返回器在内蒙古安全着陆，激动人心！“切线数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则数列为函数“切线数列”.若函数的“切线数列”为，其中，数列满足，上，数列的前n项和为，则________.【正确答案】【分析】求导化简得，从而得为等比数列，结合求和公式即可求解问题．【详解】由，求导得，依题意，，，所以，由，得，又，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.故二、选择题：本大题共4题，13－14小题每题4分，15－16小题每题5分，共18分，在每个题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.13.已知实数x，y满足，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】作差比较大小判断A；举例说明判断BCD.【详解】对于A，，而，则（当且仅当时）因此，A正确；对于B，取，满足，而，B错误；对于C，取，满足，而无意义，C错误；对于D，取，满足，不成立，D错误.故选：A14.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据给定条件，借助正余弦函数、对数函数性质，逐项判断即得.【详解】对于AB，余弦函数、正弦函数在上都不单调，AB不合题意；对于C，常数函数在上不单调，C不合题意；对于D，函数定义域为，，函数是偶函数，当时，在上单调递减，D符合题意.故选：D15.已知等比数列的前项和为，且，，则（）A.9 B.16 C.21 D.25【正确答案】C【分析】根据等比数列的性质求，即可求解.【详解】由等比数列的性质可知，，即，得，.故选：C16.符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的序号是（）①函数的定义域为，值域为；②方程，有无数解；③函数是周期函数；④函数是增函数；A.①② B.②③ C.③④ D.①④【正确答案】B【详解】①由于表示不超过的最大整数，则，∴函数的定义域为，值域为，故①错误；②若，则，，，，∴方程，有无数解，故②正确；③，所以函数是周期为的周期函数，故③正确；④函数在每一个单调区间上是增函数，但在整个定义域上不是增函数，故④错误．命题中正确的序号是②③．故选．三、解答题：本大题共5题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.的内角所对的边分别为．（1）若a，b，c成等差数列，证明：；（2）若成等比数列，求的最小值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）利用等差中项和正弦定理的性质即可证得；（2）先利用余弦定理求得的解析式，再利用均值定理即可求得的最小值．【小问1详解】成等差数列，，由正弦定理得，【小问2详解】成等比数列，由余弦定理得（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立），即，所以的最小值为18.已知函数为奇函数，且，其中，．（1）求，的值；（2）若，，，求的值．【正确答案】（1），；（2）.【分析】（1）把代入函数解析式可求得的值，进而根据函数为奇函数推断出，进而求得，则的值可得．（2）利用和函数的解析式可求得，进而求得，进而利用二倍角公式分别求得，，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．【详解】解：（1），．，，即为奇函数，，，．（2）由（1）知，，，，，，．19.上海地铁四通八达，给市民出行带来便利.已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，.经测算，地铁载客量与发车时间间隔t满足：，其中.（1）请你说明的实际意义；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益.【正确答案】（1）当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量；（2）发车时间间隔为6分钟，最大净收益为120元.【分析】（1）根据给定的函数，直接得答案.（2）分段计算净收益，并求最值，比较大小得解.【小问1详解】依题意，的实际意义是：当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量.【小问2详解】当时，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号，而，所以当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元.20.已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值；（3）设a>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求a的取值范围.【正确答案】（1）；（2）或；（3）.【分析】（1）把代入，解方程即得函数的零点.（2）将问题转化为当时，方程只有1个解，再结合一元二次型方程根的情况求解.（3）利用单调性求出在指定区间上的最值，建立不等式并分离参数，构造函数并借助对勾函数的单调性求出最值即可.【小问1详解】当时，函数，由，得，即，解得，所以函数的零点为.【小问2详解】方程，则，方程化为，因此方程的解集中恰好有一个元素，当且仅当时，方程只有1个解，当时，，符合题意，则；当时，若，则，此时，符合题意，于是，若，则，方程的二根为，，当时，由，得或，显然，，，即，此时方程有两个解，不符合题意；当时，由，得，，，即，此时方程有两个解，不符合题意，所以实数的值为或.【小问3详解】函数在上单调递增，而函数在上单调递减，则函数在上单调递减，，，由函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，得，而，则不等式，依题意，对任意的恒成立，当时，不等式成立，当时，令，，函数在上单调递减，当时，，因此当时，，则，所以的取值范围为.方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.21.设是定义在上奇函数.若是严格减函数，则称为“D函数”.（1）分别判断和是否为D函数，并说明理由；（2）若是D函数，求正数a的取值范围；（3）已知奇函数及其导函数定义域均为.证明：“在上严格减”不是“为D函数”的必要条件.【正确答案】（1）是函数,不是函数，理由见解析.（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）根据“函数”的定义结合函数的奇偶性以及单调性判断即可.（2）令，利用导数分类讨论其单调性即可求解.（3）令函数结合必要条件的定义，推理判断即得.【小问1详解】函数的定义域为，，则函数和均为定义在R上的奇函数，当时，函数严格减，因此函数函数；当和时，，即函数在上不单调，