2024-2025学年上海市普陀区高三上册11月期中数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年上海市普陀区高三上学期11月期中数学检测试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合，则_________.【正确答案】【分析】解对数不等式得出集合，然后再根据交集的定义即可得出答案.【详解】，所以.故2.已知全集，集合，．若，则实数的取值范围是______．【正确答案】【详解】试题分析：由题意，，，由，得，即．考点：集合运算．3.已知幂函数的图像过点，则的定义域为________【正确答案】(0,+∞)【分析】依题意可求得，从而可求f（x）的定义域．【详解】依题意，得：，所以，，所以，定义域为：，故答案为本题考查幂函数的性质，求得α是关键，属于基础题．4.若函数为偶函数，则_____．【正确答案】1【详解】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．5.已知，则的最小值为__________．【正确答案】-1【分析】变形为，利用基本不等式求解.【详解】解：∵，又∵，∴，当且仅当，即时取等号，∴最小值为故6.已知函数，则不等式的解集为_________.【正确答案】【分析】利用函数解析式可判断该函数为偶函数，且在上单调递增，不等式等价为，可得结果.【详解】根据可知定义域为，且该函数为偶函数，在上单调递增，因此即为；即可得，解得且，因此不等式的解集为.故7.设都是正实数，则是的_________条件.【正确答案】充分不必要【分析】充分性用基本不等式证明，必要性用特殊值排除.【详解】由基本不等式可知：，三式相加得：，即，又因为，所以，取等条件为，所以是充分条件；取，可知不等式成立，此时，所以必要性不成立.故充分不必要8.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______．【正确答案】【分析】根据复合函数的单调性，结合二次不等式恒成立问题，列不等式组求解即可.【详解】由复合而成.而单调递增，只需要单调递减.且在上恒成立.则即可，解得.故实数a的取值范围是.故答案为.9.已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________.【正确答案】【分析】设，即当时，，则满足解不等式组可得x的取值范围．【详解】，不等式恒成立即，不等式恒成立设，即当时，所以，即，解得或故10.已知函数，当时，，若在区间内，有两个不同的零点，则实数t的取值范围是______．【正确答案】【分析】由得，分别求出函数的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【详解】当时，，当，可得，可知函数在上的解析式为，由得，可将函数f（x）在上的大致图象呈现如图：根据的几何意义，x轴位置和图中直线位置为表示直线的临界位置，当直线经过点，可得，因此直线的斜率t的取值范围是故答案为本题考查函数方程的转化思想，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．11.设、均为实数，若函数在区间上有零点，则的取值范围是___________．【正确答案】．【分析】根据零点的定义，转化为方程在区间上有实数根，然后根据一元二次方程的实数根的分布的性质，结合重要不等式进行求解即可.【详解】因为函数在区间上有零点，所以方程在区间上有实数解，即在区间上有实数解，设，要想在区间上有实数解，当在区间上有唯一实数解时，只需，而，当在区间上有二个不相等实数根时，设为，则有，由，而，所以不等式显然成立，因此有，综上所述：，故方法点睛：解决函数零点问题往往转化为方程的根的问题，通过方程实数根的分布进行求解.12.设，记，则它的最大值和最小值的差为_______.【正确答案】【分析】由得到S的最大值，再令，利用导数法求得其最大值，从而得到S的最小值即可.【详解】解：，因为，所以，所以，当或时等号成立，所以的最大值为1.令，则，令，则，令，得或（舍去），，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，从而，当，及时等号成立，所以的最小值为.所以S的最大值和最小值的差为，故关键点点睛：本题关键是利用基本不等式变形，，再令转化为函数，利用导数法而得解.二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题4分，第15-16题5分）13.若,则下列不等式恒成立的是A. B. C. D.【正确答案】D【详解】∵∴设代入可知均不正确对于，根据幂函数的性质即可判断正确故选D14.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.15.设，若、是方程的两相异实根，则有（）A.， B.，C. D.【正确答案】D【分析】利用特殊值法可判断AB选项；利用可得出，利用韦达定理可判断CD选项.【详解】若取，则方程为，解得，，AB都错；由题意可知，，则，由韦达定理可得，，所以，与的大小关系不确定，C错；，所以，，D对.故选：D.16.已知定义在上函数的导数满足，给出两个命题：①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.则下列判断正确的是（）A.①②都是假命题 B.①②都是真命题C.①假命题，②是真命题 D.①是真命题，②是假命题【正确答案】B【分析】对于①，根据不等式，构造函数，然后利用函数的单调性证明即可；对于②，根据函数的值域和单调性，结合不等式求解即可.【详解】，故在上递增，对于①，设，，设，，，单调递减，单调递增，，即，，即，故，故①是真命题.对于②，由①知，，即，，故.且在上递增，故，，故的值域为所以，即，故，②是真命题.故选：B关键点点睛：本题①判断的关键是首先根据导数和函数单调性的关系得到在上递增，再构造函数，利用导数得到其单调性，最后得到，则可判断①.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.已知三个集合：，，.（1）求；（2）已知，求实数的取值范围.【正确答案】（1）.（2）.【分析】（1）解方程求出集合、，计算；

（2）根据，求出集合的元素特征，根据元素特征，求出实数的取值范围．【小问1详解】,,【小问2详解】,设，则即解得所以实数的取值范围是18.记函数的定义域为的定义域为.（1）求集合；（2）若，求的取值范围.【正确答案】（1）（2），【分析】(1)利用根号内大于等于0解不等式即可.(2)根据(1)中的可分当与两种情况进行分析.【小问1详解】由题意.即，解得：或.所以【小问2详解】因为,则根据子集与推出关系,即当时,可以使得恒成立,可知当时，恒成立，所以必有恒成立，即恒成立，所以；当时,恒成立，所以必有ax+1<0⇒a>−1x综上：，19.某个体户计划经销、两种商品，据调查统计，当投资额为（）万元时，在经销、商品中所获得的收益分别为万元与万元、其中（）；，（）已知投资额为零时，收益为零.（1）试求出，的值；（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入最大值.（精确到0.1，参考数据：）.【正确答案】（1）；（2）个体户可对商品投入3万元，对商品投入2万元，这样可以获得12.6万元的最大收益.【分析】(1)由关系投资额为零时收益为零，列方程求，的值；(2)设投入商品的资金为万元，求总收益的函数解析式，再利用导数求其最值.【详解】(1)根据问题的实际意义，可知，即：，(2)由(1)的结果可得：，依题意，可设投入商品的资金为万元（），则投入商品的资金为万元，若所获得的收入为万元，则有（）∴，令，得当时，；当时，；∴是在区间上的唯一极大值点，此时取得最大值：（万元），（万元）答：该个体户可对商品投入3万元，对商品投入2万元，这样可以获得12.6万元的最大收益.20.已知，（1）若，求的最大值；（2）若，求关于的不等式的解集；（3），对于给定实数，均有满足，求的取值范围．【正确答案】（1）（2）若，解集为；若，解集为且；若，解集为.（3）当或时，；当或时，；当时，.【分析】（1）换元令，可得，结合二次函数分析求解；（2）换元令，可得，分类讨论的符号，结合分式不等式求解；（3）令,，按照、、分类讨论，表示出，即可求解.【小问1详解】因为，可知的定义域为，此时，若，则，可得，令，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.【小问2详解】若，则，对于，即，令，则，若，则，可得，解得，可得；若，则，可得，解得，可得且；若，则，可得，解得或，可得或；综上所述：若，解集为；若，解集为且；若，解集为.【小问3详解】令,则,①当时,,当时,即或时,；当时,即或时,,所以;当时,.②当时，,,当时,,所以;当时,,所以;当时,.③当时,成立.综上所述,当或时，；当或时，；当时，.关键点点睛：第三问关键点令,，通过分类讨论表示出，再按照的范围分类求解.21.若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”．（1）试问函数是否为函数的“导控函数”？（2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”；（3）若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”．【正确答案】（1）是（2）（3）证明见解析【分析】（1）根据“导控函数”得定义求解即可；（2）由题意可得，再根据“导控点”的定义可得，求出，进而可求出，进而可得出答案；（3）根据“导控函数”的定义结合充分条件和必要条件的定义求证即可.【小问1详解】由，得，由，得，因为，所以函数是函数的“导控函数”；【小问2详解】由，得，由，得，由，得，由题意可得恒成立，令，解得，故，从而有，所