人教版八年级数学上册轴对称《轴对称 章末复习》教学设计

《轴对称》章末复习教学目标教学目标1．认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用．2．掌握线段垂直平分线的概念、性质与判定方法．3．了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法．4．能根据所学知识解决最短路径问题，进一步感悟化归思想．教学重点教学重点通过典型例题构建本章知识体系．教学难点教学难点运用轴对称的相关知识解决问题．教学过程教学过程知识回顾请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！1．在现实世界中存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成轴对称的图形有什么特点？2．在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴与这个图形有怎样的位置关系？3．对于成轴对称的两个图形，对应点所连线段与对称轴有什么关系？如何作出一个图形的轴对称图形？4．在平面直角坐标系中，如果两个图形关于x轴或y轴对称，那么对称点的坐标有什么关系？请举例说明．5．利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生复习回顾已学知识点，通过学生回答，检查学生对知识的掌握情况，加深学生对知识的理解，提高学生灵活运用知识的能力．要点复习考点一轴对称图形的识别【例1】下列各图中，不是轴对称图形的是（）．A． B．C． D．【师生活动】教师提问，学生回答．【答案】A【归纳】判断一个图形是不是轴对称图形的方法：根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿这条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么就能确定这个图形是轴对称图形；否则，这个图形就不是轴对称图形．【设计意图】学生通过独立解决例1，进一步加深对轴对称图形概念的理解．考点二轴对称的性质【例2】如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，已知AB＝15，DE＝5，∠D＝70°．求∠B的度数及BC，AD的长度．【师生活动】学生独立解答，小组内部交流纠错．学生代表发言，教师板书．【答案】解：∵△ABC和△ADE关于直线l对称，∴AB＝AD，BC＝DE，∠B＝∠D．又∵AB＝15，DE＝5，∠D＝70°，∴∠B＝70°，BC＝5，AD＝15．【归纳】成轴对称的两个图形是全等图形，它们的对应边相等，对应角相等．【跟踪训练1】如图，在△ABC中，点D在BC上，将点D分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF．根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（）．A．113° B．124° C．129° D．134°【答案】D【解析】连接AD，如图．∵点D分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD．∵∠B＝62°，∠C＝51°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝180°－62°－51°＝67°．∴∠EAF＝2∠BAC＝134°．【设计意图】通过例2及跟踪训练1的讲解与练习，加深学生对轴对称的性质的理解，提高学生对知识的应用能力．考点三线段的垂直平分线的性质与判定【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．求证：BE垂直平分CD．【师生活动】学生独立思考，小组内部交流．学生代表发言，教师板书．【答案】证明：∵BD＝BC，∴点B在线段CD的垂直平分线上．又∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°．在Rt△EBC与Rt△EBD中，∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL）．∴EC＝DE．∴点E在线段CD的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴BE垂直平分CD．【归纳】证明一条直线是某条线段的垂直平分线的条件：（1）存在两点：直线上有两个不同的点．（2）两对距离相等：两点到线段两个端点的距离分别相等．根据两点确定一条直线，推导出这两个点所在的直线就是这条线段的垂直平分线．【跟踪训练2】如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．（1）求∠DAF的度数；（2）若△DAF的周长为10，求BC的长．【答案】解：（1）∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－30°－50°＝100°．∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB．∴∠DAB＝∠ABC＝30°．∵FG是AC的垂直平分线，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠ACB＝50°．∴∠DAF＝∠BAC－(∠DAB＋∠FAC)＝20°．（2）∵△DAF的周长为10，∴AD＋DF＋FA＝10．∴BC＝BD＋DF＋FA＝AD＋DF＋FC＝10．【设计意图】通过例3及跟踪训练2的讲解与练习，带领学生复习回顾线段垂直平分线的性质及判定的综合应用题目．考点四轴对称的相关作图【例4】如图，作已知图形关于直线l对称的图形． 【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并完成作图．【答案】作法：（1）如图，取点A，B，C，D，O，分别作出点A，B，C，D关于直线l的对称点A′，B′，C′，D′；（2）顺次连接OA′，A′B′，B′O，OD′，OC′，C′D′，即可得原图形关于直线l对称的图形．作法：（1）如图，取点A，B，C，分别作出点A，B，C关于直线l的对称点A′，B′，C′；（2）连接A′B′，B′C′，C′A′，△A′B′C′即为所求．【归纳】画轴对称图形，对称轴位置很关键同一个图形，因对称轴不同会得到不同的对称图形，所以画图时要先确定对称轴，再根据对称轴画出对称图形．【设计意图】通过例4，引导学生复习回顾作已知图形关于直线对称的图形的方法．考点五关于坐标轴对称的点的坐标特征【例5】已知点A（a＋2，b－1）与B（b＋3，a－2）关于x轴对称，求点P（a，b）的坐标．【师生活动】教师提出问题，学生独立完成．【答案】解：∵点A（a＋2，b－1）与B（b＋3，a－2）关于x轴对称，∴a＋2＝b＋3，b－1＝－(a－2)．解得a＝2，b＝1．∴点P的坐标为（2，1）.【归纳】关于坐标轴对称的点的坐标特征：（1）关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相同．【设计意图】通过例5，检测学生对关于坐标轴对称的点的坐标特征的理解及应用．考点六等腰三角形【例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，DE∥AB，交AC于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC于点F．求证：点F为线段CD的中点．【师生活动】教师提出问题，小组交流，学生代表发言，教师板书．【答案】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角）．∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B．∴∠EDC＝∠C．∴ED＝EC（等角对等边）．∵EF⊥BC，∴点F为线段CD的中点（三线合一）．【归纳】等腰三角形性质的应用：性质1：等边对等角，它是证明两角相等的常用方法．性质2：三线合一，它可以证明两条线段相等，两个角相等，还可以证明两条线段之间的垂直关系．【跟踪训练3】如图，已知等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：点M是BE的中点．【答案】证明：如图，连接BD．∵在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°．∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E．∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°．∴∠DBC＝∠E＝30°．∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形．又∵DM⊥BC，∴点M是BE的中点．【设计意图】通过例6及跟踪训练3的讲解与证明，引导学生进行概括、归纳等腰三角形性质的应用，加深学生对知识的理解及应用．考点七最短路径问题【例7】如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，AD＝5，点F是AD边上的动点，则BF＋EF的最小值为__________．【师生活动】教师提示：结合学过的解决最短路径问题的知识，本题可以怎样转化？学生思考并回答，可以转化为两点在直线同侧的最短路径问题（如图）．教师追问：利用学过的“两点在直线同侧的最短路径问题”，小组交流解答本题．学生分组交流，派代表回答问题．【答案】5【解析】∵点B和点C关于直线AD对称，∴BF＝CF．若BF＋EF最小，只需CF＋EF最小．由两点之间，线段最短可知：线段CE的长即为BF＋EF的最小值．∵点D，E是等边△ABC中BC，AB的中点，∴△ADB≌△CEA．∴CE＝AD＝5．即BF＋EF的最小值为5．【归纳】“一线＋两点”型最短距离求解方法：（1）如果两点在直线的异侧，那么直接连接两点交直线于一点，该点就是要求的点；（2）如果两点在直线的同侧，那么先作一点关于直线的对称点，再连接对称点和另一点交直线于一点，该点就是要求的点．【例8】如图，点A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并完成作图，学生代表回答作图过程，教师及时反馈学生存在的问题．【答案】作法：（1）分别作点A关于角两边的对称点A′，A″；（2）连接A′A″与角的两边分别交于点B，点C，连接AB，AC得到的△ABC周长最小．【归纳】求“两线＋一点”型最短距离中的点：（1）分别作这点关于两线的对称点；（2）连接两对称点交两线于两点，交点即为所求．【设计意图】通过例7、例8的讲解练习，让学生体会化归思想的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力．课堂小结板书设计一、轴对称图形的识别二、轴对称的性质三、线段的垂直平分线的性质与判定四、轴对称的相关作图五、关于坐标轴对称的点的坐标特征六、等腰三角形七、最短路径问题课后任务课后任务完成教材第91页复习题13第1～7题．教学反思教学反思______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________