人教A版高中数学选择性必修第二册第四章4-4数学归纳法课件

4.4*数学归纳法第四章数列整体感知[学习目标]

1．借助教材实例了解数学归纳法的原理．(数学抽象)2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理)3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(数学运算、逻辑推理)(教师用书)中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏，如父亲姓王，其子女都姓王．假设我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我国过去的习俗，那么他的儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？……如果他有32代孙，你能确定他的32代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递推下去，也就是说要保证第n代孙姓王能推出第n＋1代孙也姓王，当然要求第1个人必须姓王了．思考：通过这个例子，你能得到什么启示呢？[讨论交流]问题1．数学归纳法的原理是什么？问题2．数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1数学归纳法的理解探究问题1如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？[提示]

不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确．探究问题2在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一位同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？[提示]

需要具备的条件：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题．[新知生成]1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当__________时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．n＝k＋12．数学归纳法的证明形式记P(n)是一个关于正整数n的命题，可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真．结论：P(n)为真．3．数学归纳法的框图表示【教用·微提醒】

初始值n0不一定是1，要结合具体的结论而定．

√②(1)D

(2)②

[(1)显然当n＝1时，21＞12，而当n＝2时，22＝22，A错误；当n＝3时，23＜32，B错误；当n＝4时，24＝42，C错误；当n＝5时，25＞52，符合要求，D正确．(2)本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．]探究2用数学归纳法证明等式

分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当n＝k时，①式成立”为条件，得出“当n＝k＋1时，①式也成立”的命题，证明时必须用上上述条件．

反思领悟

用数学归纳法证明恒等式时应关注的三点(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；(2)弄清从n＝k到n＝k＋1，等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．[学以致用]

2．用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＝2k(2k－3)＋3.则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k+1[2(k＋1)－3]＋3，即当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立．探究3用数学归纳法证明不等式【链接·教材例题】例4设x为实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的正整数，记数列x，x(1＋x)，x(1＋x)2，…，x(1＋x)n-1，…的前n项和为Sn，试比较Sn与nx的大小，并用数学归纳法证明你的结论．分析：该问题中涉及两个字母，x是大于－1且不等于零的实数，n是大于1的正整数．一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较Sn与nx的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出Sn，再通过n取特殊值比较Sn与nx的大小关系后作出猜想．两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想．解法1：由已知可得Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1.当n＝2时，S2＝x＋x(1＋x)＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得S2＞2x；当n＝3时，S3＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1且x≠0，知x2(x＋3)＞0，可得S3＞3x.由此，我们猜想，当x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1时，Sn＞nx.下面用数学归纳法证明这个猜想．

(1)当n＝2时，由上述过程知，猜想成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，不等式成立，即Sk＞kx，则Sk＋1＝Sk＋x(1＋x)k＞kx＋x(1＋x)k.①当x＞0时，因为k＞1，所以(1＋x)k＞1，所以x(1＋x)k＞x.②当－1＜x＜0时，0＜1＋x＜1，且x2＞0.又因为k＞1，所以(1＋x)k＜1＋x，可得x(1＋x)k＞x(1＋x)＝x＋x2＞x.综合①②可得，当x＞－1且x≠0时，Sk＋1＞kx＋x(1＋x)k＞kx＋x＝(k＋1)x，所以，当n＝k＋1时，猜想也成立．由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx对任何大于1的正整数n都成立．

(1)当n＝2时，由上述过程知，猜想成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，不等式Sk＞kx成立，即(1＋x)k－1＞kx，亦即(1＋x)k＞1＋kx.由x＞－1，得x＋1＞0.又因为k＞1，x≠0，所以kx2＞0.于是Sk＋1＝(1＋x)k+1－1＝(1＋x)k(1＋x)－1＞(1＋kx)(1＋x)－1＝kx2＋(k＋1)x＞(k＋1)x.所以，当n＝k＋1时，猜想也成立．由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx对任何大于1的正整数n都成立．

[思路引导]按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．

反思领悟

用数学归纳法证明不等式的关键点用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．

探究4归纳—猜想—证明【链接·教材例题】例3已知数列{an}满足a1＝0，2an＋1－anan＋1＝1(n∈N*)，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

[典例讲评]

3．数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn，Sn＋1，2S1成等差数列．(1)计算S1，S2，S3的值；(2)根据以上计算结果猜测Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

反思领悟

“归纳—猜想—证明”的一般步骤

【教用·备选题】

(源自北师大版教材)用数学归纳法证明：x2n－y2n能被x＋y整除(n∈N*)．[证明]

(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)．故x2－y2能被x＋y整除，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，x2k－y2k能被x＋y整除．那么，当n＝k＋1时，x2k+2－y2k+2＝x2x2k－y2y2k. *把x2k＝(xk＋yk)(xk－yk)＋y2k，代入*得x2k+2－y2k+2＝x2(xk＋yk)·(xk－yk)＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)，由假设知x2k－y2k能被x＋y整除，x2－y2能被x＋y整除，故x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．所以当n＝k＋1时，命题成立．综上，对于n∈N*，原命题成立．

243题号1应用迁移√

C

[当n＝1时，左边＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2.]23题号14

√23题号14C

[根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，①当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，②所以②－①得，等式左边应添加的式子是(k＋1)2＋k2.]23题号41√3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得(

)A．n＝6时该命题不成立

B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立

D．n＝4时该命题成立C

[假设n＝4时该命题成立，由题意可得n＝5时，该命题成立，而n