人教A版高中数学选择性必修第二册第四章4-2-2第1课时等差数列的前n项和公式课件

第1课时等差数列的前n项和公式第四章数列4.2等差数列4.2.2等差数列的前n项和公式整体感知[学习目标]

1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．(数学运算)2．掌握等差数列的前n项和公式．(数学运算)3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个量求另外两个．(数学运算)4．构建等差数列求和模型，解决实际问题．(数学建模、数学运算)(教师用书)为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的，如图所示．如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，且中区座位共有8排，第一排有4个座位，后面每一排都比它的前一排多4个座位．你能帮助这个公司算出共需要多少个座位吗？[讨论交流]

问题1．等差数列的前n项和公式是什么？问题2．如何推导等差数列的前n项和公式？问题3．求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1等差数列的前n项和公式探究问题1据说，200多年前，高斯的算术老师提出了这个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050.你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？[提示]

对于上述数列，设an＝n，那么高斯的计算方法可以表示为(a1＋a100)＋(a2＋a99)＋…＋(a50＋a51)＝101×50＝5050.可以发现，高斯在计算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51这一特殊关系，这就是上一节我们学过的性质，它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质是配对，将2n个数重新分组配对求和．探究问题2设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求其前n项和Sn?

[新知生成]等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝_________Sn＝____________

反思领悟

求等差数列的基本量的方法等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．[学以致用]

1．(源自湘教版教材)已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，求该数列的前n项和．

探究2利用等差数列前n项和公式判断等差数列【链接·教材例题】例7已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式(2)后，可得到两个关于a1与d的二元一次方程．解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a1和d.

[典例讲评]

2．若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．[解]

当n＝1时，S1＝a1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5.经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5.数列{an}是等差数列，证明如下：因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，所以数列{an}是等差数列．[母题探究]

(变条件)若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．[解]

∵Sn＝2n2－3n－1①，∴当n＝1时，S1＝a1＝2－3－1＝－2；当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1②，①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5.

[学以致用]

2．已知一个数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2＋r.(1)当r＝0时，求证：该数列{an}是等差数列；(2)若数列{an}是等差数列，求r满足的条件．[解]

(1)证明：当r＝0时，Sn＝25n－2n2，令n＝1，S1＝25－2＝23，当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2，所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，此时a1＝27－4＝23，所以an＝27－4n，所以an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4(n≥2)，可得数列{an}是公差为－4的等差数列．(2)Sn＝25n－2n2＋r，令n＝1，得S1＝25－2＋r＝23＋r，当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，所以an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4(n≥3)，可得n≥2时，数列{an}是公差为－4的等差数列，若数列{an}是等差数列，则a1＝27－4＝23＝23＋r，所以r＝0.【链接·教材例题】例8某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起每排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位．探究3等差数列前n项和的实际应用分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，设数列{an}的前n项和为Sn.由题意可知，{an}是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项．

[典例讲评]

3．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？

【教用·备选题】某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？

反思领悟

应用等差数列解决实际问题的一般思路[学以致用]

3．在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板；从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？

243题号1应用迁移√

C

[由S3＝9，得a1＋a2＋a3＝3a2＝9，所以a2＝3，又a5＝7，a2＋a8＝2a5，所以a8＝11.故选C.]23题号142．已知等差数列{an}的前5项和S5＝35，且满足a5＝13a1，则等差数列{an}的公差为(

)A．－3 B．－1C．1 D．3√D

[由题意得S5＝5a1＋10d＝35，a5＝a1＋4d＝13a1，解得d＝3，a1＝1.故选D.]23题号413．(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．

95

243题号14．中国古代有这样一道数学题：今有一男子擅长走路，每日增加相同里数，九日走了1260里，第一日、第四日、第七日所走之和为390里，则该男子第三日走的里数为________．

120243题号1

1．知识链：(1)等差数列前n项和公式的推导过程．(2)与等差数列前n项和有关的基本运算．(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列．(4)等差数列前n项和的实际应用．2．方法链：倒序相加法、公式法．3．警示牌：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．等差数列的前n项和公式有哪几种形式？

2．常用的数列求和公式有哪些？

阅读材料高斯的故事高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根．幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育.1795－1798年在格丁根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位．从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世．高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯10岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂