人教A版高中数学选择性必修第二册第五章5-2-3简单复合函数的导数课件

5.2.3简单复合函数的导数第五章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算整体感知[学习目标]

1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．(数学运算)2．综合运用函数的求导法则解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)(教师用书)法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过：“我只会做两件事，一件是简单的事，一件是把复杂的事情变简单”．我们学习了较简单的基本初等函数，还可以把两个或几个函数进行“复合”，怎样复合呢？那么，对于复合后的函数如何求导呢？我们是否也有简单的方法？[讨论交流]

问题1．复合函数的定义是什么？问题2．复合函数的求导法则是什么？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1复合函数的概念探究问题1函数y＝log2(3x＋2)是如何构成的？[提示]

y＝log2(3x＋2)，其中3x＋2“占据”了对数函数y＝log2x中x的位置，f(x)＝log2x，而f(3x＋2)＝log2(3x＋2)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝log2(3x＋2)是由内层函数一次函数和外层函数对数函数复合而成，是复合函数．[新知生成]复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝___________．f(g(x))

BCD

[A不是复合函数；BCD都是复合函数．]√√√反思领悟

若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f

(x))均为复合函数．[学以致用]

1．函数y＝sin(2x－1)如果看成复合函数y＝f(φ(x))，下列式子正确的是(

)A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sinxC．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin(2x－1)C

[y＝sin(2x－1)是由函数y＝sinu和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1.故选C.]√探究2复合函数的导数探究问题2你能用导数的运算法则求出函数y＝sin2x的导数吗？它与函数y＝sinu，u＝2x的导数有什么关系？你能用文字语言描述复合函数的导数运算法则吗？

[新知生成]一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为____________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．y′x＝y′u·u′x【教用·微提醒】

(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则．(2)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．(3)该公式可以推广至多层复合函数．【链接·教材例题】例6求下列函数的导数：(1)y＝(3x＋5)3；(2)y＝e-0.05x+1；(3)y＝ln(2x－1)．[解]

(1)函数y＝(3x＋5)3可以看作函数y＝u3和u＝3x＋5的复合函数．根据复合函数的求导法则，有y′x＝y′u·u′x＝(u3)′·(3x＋5)′＝3u2×3＝9(3x＋5)2.(2)函数y＝e-0.05x+1可以看作函数y＝eu和u＝－0.05x＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05eu＝－0.05e-0.05x+1.

反思领悟

1．求复合函数的导数的步骤2．求复合函数的导数的注意点(1)分解的函数通常为基本初等函数．(2)求导时分清是对哪个变量求导．

√2[思路导引]

(2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)．又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.]

2．求本例(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积．

反思领悟

本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数．解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．

探究4复合函数的导数的综合应用

反思领悟

将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况．

y＝1243题号1应用迁移√

23题号14

√

√23题号41√3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(

)A．0 B．1C．2 D．3

243题号1

0－11．知识链：(1)复合函数的概念．(2)复合函数的求导法则．(3)复合函数的导数的应用．2．方法链：转化法．3．警示牌：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你认为如何对多个整式乘积形式的函数求导？[提示]

(1)若待求导的函数为多个整式乘积的形式，可以利用多项式的乘法法则，化为和差的形式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会减小．(2)若乘积因式不多时，也可以利用积的导数运算法则求导．2．求复合函数的导数，应该注意哪些问题？[提示]

求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分