人教A版高中数学选择性必修第二册第五章5-1-2第2课时导数的几何意义课件

第2课时导数的几何意义第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.2导数的概念及其几何意义整体感知[学习目标]

1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．(数学建模)2．会求导函数．(数学运算)3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(数学运算)4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(逻辑推理、数学运算)．(教师用书)在数学的学习过程中，对于我们遇到的一些新知识不仅要学习它的定义、公式，还要学习它所具有的性质或几何意义，比如复数除了是一种数外，它可以与平面内的点、向量一一对应；数列{an}除了是一列有规律(或无规律)的数外，它可能还具有函数的性质……，同样地，导数除了代表瞬时变化率外，它还具有其他的意义吗？[讨论交流]

问题1．导数的几何意义是什么？问题2．如何求曲线上某点处的切线方程？问题3．导函数的定义是什么？它与函数在某点处的导数有何关系？[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1导数的几何意义探究问题1在前面的课时中我们已经了解到曲线的切线斜率与函数的瞬时变化率的关系，也知道对于一般的曲线，平均变化率可以代表曲线的割线斜率，那么导数(即瞬时变化率)能代表曲线的切线斜率吗？

[新知生成]函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f

(x0))处的____________．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是_____________．相应地，切线方程为__________________________．切线的斜率f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)【教用·微提醒】

切线的斜率k只与横坐标x0有关，与Δx无关．[典例讲评]

1．已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．[思路导引]

(1)

(2)

[母题探究]

本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？

【教用·备选题】已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1.(1)求抛物线在点P(1，3)处的切线方程；(2)若抛物线在某点处的切线的倾斜角为45°，求该切点的坐标．

反思领悟

利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．[学以致用]

1．已知曲线f(x)＝x3＋ax在x＝1处的切线与直线x＋4y＝0垂直，则实数a＝(

)A．2

B．1

C．－1

D．－2

√探究2利用导数的几何意义判断函数的变化探究问题2函数的单调性和导数有什么关系？导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？[提示]

当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h′(t0)＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)＜0，这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减．当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)＜0，这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减．通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的缓慢．同理，t＝t3，t＝t4时都有h′(t)＞0，h(t)在各自附近单调递增，且曲线在t＝t3附近比在t＝t4附近上升的快．[新知生成]若f′(x0)＝0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k＝___；若f′(x0)＞0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k____0，则函数在x＝x0附近__________，且f′(x0)越大，说明函数图象变化得越快；若f′(x0)＜0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k____0，且函数在x＝x0附近__________，且|f′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快．0＞单调递增＜单调递减【教用·微提醒】

f′(x0)的正负决定增减，|f′(x0)|的大小决定快慢．【链接·教材例题】例4图5.1-6是跳水运动中某运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况．

[解]

我们用曲线h(t)在t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．(1)当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)＝0.这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．(2)当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)＜0.这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．(3)当t＝t2时，曲线h(t)在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)＜0.这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．从图5.1-6可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢．[典例讲评]

2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(

)A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定B

[由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是函数的图象在点A，B处切线的斜率，由题干图象可知，f′(xA)<f′(xB)．]√反思领悟

导数的几何意义就是函数图象切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．(1)曲线f(x)在x＝x0附近的变化情况可通过x＝x0处的切线刻画．f′(x0)＞0说明曲线在x＝x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x＝x0附近曲线是上升的；f′(x0)＜0说明在x＝x0附近曲线是下降的．(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．

√探究3导函数(导数)探究问题3由前面所学知识可知，求函数在某一点处的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？

[新知生成]对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝______________．【教用·微提醒】

(1)f′(x0)是具体的值，是数值．(2)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数．

[学以致用]

3．(源自北师大版教材)求y＝f(x)＝3x2－x的导数f′(x)，并利用f′(x)求f′(1)，f′(－2)，f′(0)．

243题号1应用迁移√1．下面说法正确的是(

)A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在C

[根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立．故ABD错误．]23题号142．某司机看见前方50m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是(

)√A

B

C

DA

[根据题意，刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项CD；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图象较陡，排除选项B.故选A.]23题号41√3．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(

)A．f′(x0)＞0

B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在

243题号14．已知函数y＝ax2＋b的图象在其上点(1，3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________．

121．知识链：(1)导数的几何意义．(2)函数的单调性与导数的关系．(3)导函数的概念．2．方法链：方程思想、数形结合．3．警示牌：切线过某点，这点不一定是切点．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．f′(x0)是如何反映函数y＝f(x)的图象特征的？[提示]

曲线的升降、切线的斜率与f′(x0)的关系如下：f′(x0)的符号曲线

f

(x)在x＝x0附近的升降情况切线的斜率k切线的倾斜角f′(x0)＞0上升k＞0锐角f′(x0)＜0下降k＜0钝角f′(x0)＝0平坦k＝0零角(切线与x轴平行)2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间的区别和联系是什么？[提示]

区别