人教A版高中数学选择性必修第一册第二章2.4.2圆的一般方程课件

2.4.2圆的一般方程第二章直线和圆的方程2.4圆的方程整体感知[学习目标]

1．理解圆的一般方程及其特点．(数学抽象)2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化．(数学运算)3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．(逻辑推理)(教师用书)在平面直角坐标系中，我们用二元一次方程的一般形式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代表直线，实现了代数与几何的相互融合，那么，我们不禁要问，对于二元二次方程的一般形式Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0(A，B，C不同时为0)，它是否也代表什么曲线类型呢？事实上，圆的方程就是其中一类二元二次方程，仔细想想，它的系数A，B，C有什么要求吗？[讨论交流]

问题1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？问题2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中的D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？问题3．待定系数法求圆的方程有哪几个步骤？问题4．代入法(相关点法)求轨迹方程有哪几个步骤？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1圆的一般方程探究问题把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0．可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．反之，这个方程表示的图形是否都是圆呢？

[新知生成]1．圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程_____________________叫做圆的一般方程，此时方程表示以为____________圆心，_______________为半径的圆．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F>0

【教用·微提醒】

(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．(2)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件．[典例讲评]

1．下列方程是否表示圆？若是，写出圆心和半径；若不是，说明理由．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－x＝0；(4)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)．

反思领悟

圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．

√【链接·教材例题】例4求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．[分析]

将点O，M1，M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程．探究2求圆的一般方程

[典例讲评]

2．已知点A(－2，1)，B(－1，0)，C(2，3)，D(a，3)四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为________．

[母题探究]若点M(a，0)在过A，B，C三点的圆内，求a的取值范围．[解]

由M(a，0)在圆内，得a2－1＜0，解得－1＜a＜1，所以a的取值范围是(－1，1)．反思领悟

待定系数法求圆的一般方程的步骤(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．(3)解此方程组，求出D，E，F(D2＋E2－4F＞0)的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程．[学以致用]

2．(源自北师大版教材)求经过A(1，3)，B(4，2)，C(5，－5)三点的圆的方程．

【链接·教材例题】例5已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．[分析]

如图2.4-4，点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4．建立点M与点A坐标之间的关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程．探究3与圆有关的轨迹问题

[典例讲评]

3．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．

【教用·备选题】已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1，2)的弦的中点P的轨迹．[解]

设点P的坐标为(x，y)．当AP垂直于x轴，即点P的坐标为(1，0)时，符合题意；当AP垂直于y轴，即点P的坐标为(0，2)时，符合题意；当点P与点A或点O重合，即点P的坐标为(1，2)或(0，0)时，符合题意；

发现规律

求解与圆有关的轨迹问题有哪些常用方法？

[学以致用]

3．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，点B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解]

(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P的坐标为(2x－2，2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4．故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．(2)设O为坐标原点，PQ的中点为N(x，y)，连接BN，ON，OP，如图所示．

应用迁移23题号411．已知圆的一般方程为x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则圆的半径为(

)A．1

B．2C．3

D．4√C

[x2＋y2＋4x－2y－4＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝9，故圆的半径为3．故选C．]23题号41

√

23题号413．圆x2＋y2＋4x－1＝0关于点(0，0)对称的圆的标准方程为(

)A．x2＋y2－4x－1＝0

B．x2＋(y－2)2＝5C．x2＋y2＋8x＋15＝0

D．(x－2)2＋y2＝5√

23题号414．已知A(0，2)，B(1，0)，C(3，0)，则过A，B，C三点的圆的一般方程为______________________．

1．知识链：(1)圆的一般方程．(2)求与圆有关的轨迹问题．2．方法链：待定系数法、几何法、定义法、代入法、直接法．3．警示牌：忽视圆的一般方程表示圆的条件．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．试写出圆的一般方程．[提示]

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？[提示]

A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．3．求动点的轨迹方程有哪些常用方法？[提示]

直接法、定义法、代入法．课时分层作业(二十一)圆的一般方程题号135246879101112131415一、选择题1．若圆x2＋y2－4x＋8y＋2m＝0的半径为2，则实数m的值为(

)A．－9

B．－8

C．9

D．8√

题号1352468791011121314152．已知点(－1，1)在⊙O：x2＋y2－2x＋my＋m＝0外，则实数m的取值范围是(

)A．(－2，＋∞)

B．(－∞，2)C．[2，＋∞)

D．(－2，2)∪(2，＋∞)√D

[因为点(－1，1)在圆x2＋y2－2x＋my＋m＝0外，所以1＋1＋m＋2＋m＞0，解得m＞－2，4＋m2－4m＞0，解得m≠2，综上，m∈(－2，2)∪(2，＋∞)．故选D．]题号352468791011121314151

√√√题号352468791011121314151

题号3524687910111213141514．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，则直角顶点C的轨迹方程为(

)A．x2＋y2＝25(y≠0)B．x2＋y2＝25C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)D．(x－2)2＋y2＝25√

题号3524687910111213141515．△ABC三个顶点的坐标分别是A(－1，－5)，B(2，4)，C(5，－5)，则△ABC外接圆的方程是(

)A．x2＋y2－4x－2y－20＝0B．x2＋y2＋4x－2y－20＝0C．x2＋y2－4x＋2y－20＝0D．x2＋y2＋4x＋2y－20＝0√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151二、填空题6．已知圆x2＋y2－4x－m＝0的面积为π，则m＝________．－3

[圆x2＋y2－4x－m＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4＋m，∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4＋m＝1，∴m＝－3．]－3

题号352468791011121314151

(x＋1)2＋y2＝4

题号3524687910111213141518．M(3，0)是圆C：x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程为______________，最短的弦所在的直线方程是_____________．

x－y－3＝0x＋y－3＝0

题号352468791011121314151三、解答题9．△ABC的顶点A在圆x2＋y2

－4x－6y＋1＝0上运动，B(－1，0)，C(1，0)，求△ABC的重心G的轨迹方程．

题号35246879101112131415110．“m＞6”是“方程x2＋y2－mx＋4y＋m＋7＝0是圆的方程”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√A

[若方程x2＋y2－mx＋4y＋m＋7＝0是圆的方程，则m2－4m－12＞0，解得m＞6或m＜－2，故“m＞6”是“方程x2＋y2－mx＋4y＋m＋7＝0是圆的方程”的充分不必要条件．故选A．]题号352468791011121314151题号35246879101112131415111．圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是(

)A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

x2＋y2－4x－5＝0

题号35246879101112131415113．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A(－2，0)，B(2，0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心为________，面积为_______．