江苏省南通市汇龙中学2024-2025学年高一（上）数学第17周阶段性训练模拟练习（含解析）

江苏省南通市汇龙中学2024-2025学年高一（上）数学第17周阶段性训练模拟练习一．选择题（共4小题）1．函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知，若关于x的方程（m为常数）在（0）内有两个不同的解a，β，则sin2α+sin2β＝（）A．3﹣2m B．4m﹣3 C．m2﹣1 D．m2+13．函数f（x）＝•sinx的部分图象大致为（）A． B． C． D．4．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（2sinx+1）|≤1的解集为（）A．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z} B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z} C．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z} D．{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}二．多选题（共5小题）（多选）5．下列函数中，在区间（1，）上为增函数的是（）A．y＝2x+1 B．y＝log2（x﹣1） C．y＝x|x﹣2| D．y＝tanx（多选）6．将函数f（x）＝2sinx的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，则（）A． B．g（x）在]上单调递减 C．直线是g（x）图象的一条对称轴 D．g（x）在[﹣π，π]上的最小值为﹣2（多选）7．设a为非零常数，函数f（x）的定义域为R．对于任意的实数x，下列说法正确的是（）A．若f（a﹣x）＝f（a+x），则函数f（x）的图象关于直线x＝a对称 B．若f（x﹣a）＝﹣f（x），则a为函数f（x）的一个周期 C．若f（x﹣a）＝f（x+a），则2a为函数f（x）的一个周期 D．若f（a﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）的图象关于点（，0）对称（多选）8．若x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx+lgy＝lg（x+y） B．lg＝lgx﹣lgy C．logxnym＝logxy D．lgx＝（多选）9．已知函数f（x），x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），则（）A．f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0） B．f（x）在定义域上为奇函数 C．若当x＞1时，有f（x）＞0，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0 D．若当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（x）＞0的解集（1，+∞）三．填空题（共4小题）10．若tanθ＝﹣2，则的值为．11．已知函数，且关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间[0，]上有唯一解，则t的取值范围是．12．若不等式|x|＜a的一个充分条件为﹣2＜x＜0，则实数a的取值范围是．13．若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．四．解答题（共4小题）14．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：，使得成立．15．已知函数f（x）＝ax2﹣（2a+1）x+2．（1）解关于x的不等式ax2﹣（2a+1）x+2＞0；（2）若f（x）＞（a﹣1）x2+2x﹣1在区间（∞，1]上恒成立，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x），若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，求实数m的取值范围．17．已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；（2）若关于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．

参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．【解答】解：函数，可得，解得x＝0．x＞0时，log2（x+2）＝0，解得x∈∅．所以函数的零点个数是1．故选：B．2．【解答】解：已知，若关于x的方程（m为常数），整理得sinx+cos2x＝m，整理得：sin2x﹣sinx+m﹣1＝0，设sinx＝t，（0＜t＜1），故关于t的方程t2﹣t+m﹣1＝0在（0，1）内有两个不同的解t1，t2；即t1＝sinα，t2＝sinβ，故sin2α+sin2β＝．故选：A．3．【解答】解：f（﹣x）＝•sin（﹣x）＝•（﹣sinx）＝•sinx＝f（x），则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D，由f（x）＝0得x＝0或sinx＝0，即x＝π是右侧第一个零点，当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除B，故选：A．4．【解答】解：由已知得f（0）＝﹣1，f（3）＝1，则不等式|f（2sinx+1）|≤1，即﹣1≤f（2sinx+1）≤1，即f（0）≤f（2sinx+1）≤f（3），又因为函数f（x）是定义在R上的增函数，所以0≤2sinx+1≤3，即﹣≤sinx≤1，结合正弦函数的图象，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，即不等式的解集为{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}．故选：D．二．多选题（共5小题）5．【解答】解：结合指数函数与对数函数的性质可知，A，B符合题意；当x∈（1，）时，y＝x|x﹣2|＝x（2﹣x）在区间（1，）上单调递减，不符合题意，C错误；根据正切函数的性质可知y＝tanx在（）上单调递增且（1，）⊂（），所以y＝tanx在区间（1，）上为增函数，符合题意．故选：ABD．6．【解答】解：将函数f（x）＝2sinx的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin（x﹣），再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2sin（x﹣），即g（x）＝2sin（x﹣），所以A正确，由+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得+4kπ≤x≤+4kπ．k∈Z，所以g（x）在]上单调递减，所以B正确，因为g（）＝2sin（﹣）＝0，所以直线x＝不是g（x）图象的一条对称轴，所以C错误，由﹣π≤x≤π，得﹣≤x﹣≤，所以当x﹣＝﹣时，g（x）取得最小值﹣2，所以D正确．故选：ABD．7．【解答】解：对于A，若f（a﹣x）＝f（a+x），则函数f（x）的图象关于直线x＝＝a对称，故A正确；对于B，若f（x﹣a）＝﹣f（x），而a为函数f（x）的一个周期必有f（x﹣a）＝f（x），所以f（x）＝﹣f（x）与已知矛盾，故B不正确；对于C，若f（x﹣a）＝f（a+x），取x＝t+a，则f[（t+a）﹣a]＝f[（t+a）+a]，即f（t）＝f（t+2a），所以2a为函数f（x）的一个周期，故C正确；对于D，若f（a﹣x）＝﹣f（x），取x＝t+，则f[a﹣（t+）]＝﹣f（t+），即f（﹣t）+f（t+）＝0，所以函数f（x）的图象关于点（，0）对称，故D正确，故选：ACD．8．【解答】解：由x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，得：对于A，lgx+lgy＝lg（xy）≠lg（x+y），故A错误；对于B，lg＝lgx﹣lgy，故B正确；对于C，logxnym＝＝＝logxy，故C正确；对于D，lgx＝lgx＝，故D正确．故选：BCD．9．【解答】解：对于A，对任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），令x＝y＝1，则f（1×1）＝f（1）+f（1），解得f（1）＝0，再令x＝y＝﹣1，则f[（﹣1）×（﹣1）]＝f（﹣1）+f（﹣1），解得f（﹣1）＝0，所以f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0），故A正确；对于B，令y＝﹣1，则f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）＝f（x），又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数，故B错误；对于C，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，若当x＞1时，有f（x）＞0，所以f（）＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，所以当﹣1＜x＜0时，f（x）＜f（﹣1）＝0，故C正确；对于D，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＜＜1，当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（）＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，因为当0＜x＜1时，f（x）＜0，可得当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，当x＜﹣1时，f（x）＞f（﹣1）＝0，当x＞1时，f（x）＞f（1）＝0，故D错误．故选：AC．三．填空题（共4小题）10．【解答】解：因为tanθ＝﹣2，所以＝＝＝．故答案为：．11．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x﹣），由于，整理得，所以f（x）＝2sin（2x﹣）∈[﹣1，2]，当时，函数的值为，由于关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间[0，]上有唯一解，故﹣1≤t＜1或t＝2．即t∈[﹣1，1）∪{2}．故答案为：[﹣1，1）∪{2}．12．【解答】解：由题意知a＞0，由|x|＜a得﹣a＜x＜a，若不等式|x|＜a的一个充分条件为﹣2＜x＜0，则﹣a≤﹣2，得a≥2，即实数a的取值范围是[2，+∞），故答案为：[2，+∞）．13．【解答】解：若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则，解得：0＜a＜，故答案为：（0，）．四．解答题（共4小题）14．【解答】解：（1）由题意可得：．得T＝π，ω＝2，由，因为，所以，所以．（2）证明：因为∃，＝，又因为，所以，所以≤，当且仅当，即时取到，又因为，即，所以，所以≤成立，要存在，使成立，只需存在），使得，即，解得：，即与有交集，当，所以存在，使得成立．15．【解答】解：（1）当a＝0时，﹣x+2＞0，不等式的解集为{x|x＜2}；当a≠0时，由ax2﹣（2a+1）x+2＞0，可得（ax﹣1）（x﹣2）＞0，方程（ax﹣1）（x﹣2）＝0的根为，2，①a＜0时，，不等式的解集为}；②a＞0时，若，即时，不等式的解集为{x|x≠2}；若，即时，不等式的解集为或x＜2}；若，即时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜}；.............（6分）（2）由f（x）＞（a﹣1）x2+2x﹣1，得x2﹣（2a+3）x+3＞0，所以对于任意的x∈（﹣∞，1]，有x2﹣（2a+3）x+3＞0恒成立；设函数g（x）＝x2﹣（2a+3）x+3，其对称轴方程为，（7分）①当，即，时取得最小值，，解得，所以.........（9分）②当，即，函数g（x）在x∈（﹣∞，1]单调递减．所以x＝1时取得最小值，g（x）min＝g（1）＞0，得，所以．（11分）综上，a的取值范围为（﹣﹣，）．..............（12分）16．【解答】解：（1）根据题中函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，可得＝5﹣1，∴ω＝，根据五点法作图，可得×1+φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2cos（x+）．（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2cos（x+）的图象；再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x）＝2cos（x﹣）的图象，若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，即x∈[0，6]时，g（x）的最大值小于或等于m．当x∈[0，6]时，x﹣∈[﹣，]，故当x﹣＝0时，g（x）取得最大值为2，∴m≥2．17．【解答】解：（1）因为在x∈[t，t+1]上为减函数，所以，又因为y＝log2x