【衡水押题卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟（五）数学（理）试题

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(五)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合},集合，则=（）A．（0，2）B．C．D．2.已知，则的值为（）A．B．C．D．3.已知为虚数单位,现有下面四个命题:若复数满足,则;:若复数满足,则为纯虚数;:若复数满足,则;:复数与在复平面内对应的点关于实轴对称.其中的真命题为（）A．B．C．D．4.在中心为的正六边形的电子游戏盘中(如图),按下开关键后,电子弹从点射出后最后落入正六边形的六个角孔内，且每次只能射出一个，现视对应的角孔的分数依次记为1,2,3,4,5,6,若连续按下两次开关,记事件为“两次落入角孔的分数之和为偶数”,事件为“两次落入角孔的分数都为偶数”，则=（）A．B．C.D．5.某几何体的正视图与俯视图如图,则其侧视图可以为（）A．B．C.D．6.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产.龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,每上层的数量足下层的2倍,总共有1016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上:“浮雕像”的数量构成一个数列,则的值为（）A．8B．10C.12D．167.已知函数，则函数在区间上的最小值为（）A．B．C.D．8.下面推理使用类比推理,其中推理正确的个数是（）①“若,则”类比推出“若,则”;②“”类比推出“”;③“到三角形各边距离相等的点为三角形内切圆的圆心”类比到空间:“到三棱锥各面距离相等的点为三棱锥内切球的球心”；④“在实数范围内,成立”类比“在复数范围内,(为虚数单位)成立”.A．1B．2C.3D．49.已知直线与正切函数的相邻两支曲线的交点的横坐标分别为,且有,假设函数的两个不同的零点分别为,若在区间内存在两个不同的实数，与调整顺序后,构成等差数列,则的值为（）A．B．C.或可不存在D．或10.已知抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为,过点的直线与抛物线在第一象限的交点为,且抛物线在点处的切线与直线垂直,则的最大值为（）A．B．C.D．211.已知函数的导函数(其中为自然对数的底数),且为方程的两根,若对,不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C.D．12.已知的内角所对的边分别为,且外接圆的半径为1,当取最大值时,函数的最小值为（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.展开式中含项的系数为2,则的值为．14.已知向量,向量的夹角为,设,若,则的值为．15.已知定义在内的函数满足①当时,恒成立;②对任意的,都有.若方程的解集为,则与的大小关系依次为．16.已知数列的通项公式为,数列为公比小于1的等比数列,且满足,设在数列中,若,则实数的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量,若函数的最小正周期为.(1)求函数的单调递减区间与图象的对称轴方程;(2)将函数图象经下列变换:①图象上:各点向右平移个单位长度，②再将所得图象上所有点向上平移个长度单位,③再将所得到的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图象，当时,求函数的值域.18.如图所示的四棱锥中,底面为矩形,,的中点为,,异面直线与所成的角为，⊥平面.(1)证明://平面;(2)求二面角的余弦值的大小.19.2017年8月8日晚我国四川九寨沟县发生了7.0级地震.为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识,某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座,事后并进行了测试(满分100分),根据测试成绩评定为“合格”(60分以上包含60分)、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”定为10分，“不合格”定为5分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如图所示:等级不合格合格得分频数624(1)求的值;(2)①用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为,求的分布列及数学期望;②设函数(其中表示的方差)是评估安全教育方案成效的一种模拟函数.当时,认定教育方案是有效的;否则认定教育方案应需调整，试以此函数为参考依据.在①的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案?20.已知椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为,点在椭圆上,且到直线的距离为3.(1)求椭圆的离心率与标准方程;(2)设斜率为的直线经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于两点.若点不在以为直径的圆内部,求的最小值.21.已知函数.(1)求函数的单调区间与极值;(2)若，定义试讨论函数的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为(pER),圆的极坐标方程为.(1)求直线与圆的直角坐标方程;(2)设平面直角坐标系中的直线与直线相交于点,且点是圆上任一点,求面积的最大值.23.选修45：不等式选讲已知函数.(1)求不等式的解集;(2)记函数，试讨论方程解的个数.2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(五)一、选择题15:ACDDB610:CBBCB11、12：DB二、填空题13.1或【解析】展开式的通项公式为,所以展开式中含项的系数为,由题可知,,即或.14.【解析】由题可知,因为,所以有,即得,也就是.又,因此,从而得到.15.【解析】因为函数满足:当时,恒成立，且对任意,都有,则函数为上的偶函数且在上为单调递增函数，故有,因此等价于,从而得到,即或,由得或,由得无解,所以可记,又.由在上为单调递增函数,可知.16.【解析】在等比数列中,由,又,且公比小于1,所以,所以,因此.由得到所以是取,中最大值,所以是数列中的最小项,又单调递减,单调递增，所以当时，,即,所以是数列中的最小项,则必须满足,即得;当时，,即,所以是数列中的最小项,则必须满足,即得.综上所述，实数的取值范围为.三、解答题17.解:(1)由题可知==，所以.又因为最小正周期为,所以所以令，求得,故函数的单调递减区间为又今,得,故函数的图象的对称轴方程为,(2)由(1)知，将函数图象上各点向右平移个单位长度后，得到函数,再将其图象上所有点向上平移个单位后得到函数的图象,再次将上述图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到的图象.因为,所以，所以.因为=而，,所以所以函数的值域为18.解:(1)由已知为矩形，且,所以为的中点.又因为为的中点，所以在中,,又因为平面,平面,因此平面.(2)由(1)可知,所以异面直线与所成的角即为(或的补角)所以或.设,在中,,又由⊥平面可知,且为中点，因此，此时,所以所以为等边三角形，所以,即,因为两两垂直,分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系,如图所示，则,所以.由,可得⊥平面,可取平面的一个法向量为设平面的一个法向量为,由令,所以.因此=又二面角为锐角，故二面角的余弦值为.19.解:(1)由频率分布直方图可知,得分在的频率为,故抽取的学生答卷数为,又由频率分布直方图可知,得分在的频率为0.2,所以.又,得,所以.(2)①“合格”与“不合格”的人数比例为36:24=3:2,因此抽取的10人中“合格”有6人，“不合格”有4人.所以有40,35,30,25,20共5种可能的取值.8的分布列为4035302520所以②由①可得所以故可以认为该校的安全教育方案是无效的,需要调整安全教育方案.20.解:(1)因为椭圆的右焦点为,依题意有.又因为在椭圆上，所以;联立方程组，或（舍），因此,从而得到,故椭圆的离心率为椭圆的方程为.(2)由题可设直线的方程为,记，联立得,所以有当点不在以为直径的圆内部时，,将代入上式得化简得,因为当且仅当,即时,取等号，故的最小值为4.21.解:(1)∵函数,∴.令,得或，∵,∴,列表如下:0+00+递增极大值递减极小值递增∴函数的单调递增区间为,单调递减区间为且的极大值为,极小值为(2)由(1)知在区间内的最小值为①当,即时，∵在区间内恒成立，∴在区间内无零点.②当即时,,又∵,∴在区间内有一个零点.③当,即时，当时，由,且,得,∴在区间内无零点;当时，,,且,得.当时,设,∵,∴在区间(0,1)内单调递减，又∵∴存在唯一的,使得,当时，∵,∴,且为减函数，又∵,∴在上有一个零点;当时∵,∴,且为增函数，∵,∴在上无零点∴在上有两个零点，综上所述，当时,有两个零点;