福建省莆田市第二十四中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）

绝密★启用前20172018学年度下学期莆田第二十四中学期中考试卷高二数学（理）考试时间：120分钟；注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（每小题仅有一个正确选项）1、集合P＝{x|y＝x2}，Q＝{y|y＝x2}，则下列关系中正确的是()A.PQB.P＝QC.PQD.PQ2、已知全集U=R，集合A={x|x2＞4}，B={x|≤0}，则（UA）∩B等于（）A.{x|2≤x＜1}B.{x|3≤x＜2}C.{x|2≤x＜2}D.{x|3≤x≤2}3、已知，那么()A.B.C.D.4、已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（）A.3B.-1C.15、若，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6、已知集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7、设函数，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8、《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A.B.C.D.9、为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，该某班学生的脚长为，据此估计其身高为（）A.B.C.D.10、欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11、从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班实习班主任工作，每班派一名，要求这3位实习教师中男女都要有，则不同的选派方案共有()A．210 B．420 C．630 D．84012、已知函数f（x）=x﹣sinx，若x1、且f（x1）+f（x2）＞0，则下列不等式中正确的是（）A.x1＞x2B.x1＜x2C.x1+x2＞0D.x1+x2＜二、填空题（注释）13、命题“x∈R，x2＋2ax＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围为________．14、设是上的奇函数，且当时，，则当时_________________15、二项式的展开式中的系数为，则___．16、某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），科总体的标准差最小三、解答题（注释）17、已知函数，，.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1，2)处的切线方程．18、（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响。（I）求该同学被淘汰的概率；（Ⅱ）该同学在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望．19、如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦.20、户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，对本单位的50名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男性5女性10合计50已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99．5﹪的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由；（3）经进一步调查发现，在喜欢户外运动的10名女性员工中，有4人还喜欢瑜伽．若从喜欢户外运动的10位女性员工中任选3人，记表示抽到喜欢瑜伽的人数，求的分布列和数学期望．下面的临界值表仅供参考：0．150．100．050．0250．0100．0050．0012．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828（）21、函数.（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；（2）若对任意的，都有，求的取值.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目22、已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），点的极坐标为，设直线与圆交于点、.（1）写出圆的直角坐标方程；（2）求的值.23、已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题1、【答案】D2、【答案】A3、【答案】D4、【答案】C5、【答案】A6、【答案】A7、【答案】C8、【答案】B9、【答案】C10、【答案】B11、【答案】B12、【答案】C二、填空题13、【答案】14、【答案】x(1)15、【答案】16、【答案】甲三、解答题17、【答案】(1)f′(x)＝2ax－a.由已知得解得∴f(x)＝x2－2x＋.(2)函数f(x)在(1，2)处的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.18、【答案】：（Ⅰ）记“该同学能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，所以该同学被淘汰的概率为：．……………6分（Ⅱ）的可能值为1,2,3，，，．所以的分布列为：123P数学期望为.…………12分19、【答案】(1)见解析,(2)二面角的大小为.试题分析：（1）由题意及正方形的特点，利用BC⊥AB，BC⊥PB得到BC⊥平面PAB，进而得到BC⊥PA，在利用CD⊥PA，得到线面垂直；（2）由题意及图形，利用三垂线定理得到二面角的平面角，并在三角形中解出即可；（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，∴，又，∴平面，∴.同理，∴平面．（Ⅱ）解：设为中点，连结，又为中点，可得，从而底面．过作的垂线，垂足为,连结．由三垂线定理有，∴为二面角的平面角.在中，可求得∴．cosEMN=∴二面角的大小为．20、【答案】（1）见解析；（2）有；（3）分布列见解析，期望为．21、【答案】(1)(2)试题分析：(1)求出，由求得，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，从而可得的最大值；（2）对任意的，都有等价于函数在上单调递减，即在上恒成立，分两种情况讨论，分别研究函数的单调性，求出最值利用不等式恒成立列不等式求解即可.试题解析：（1）由，得，令，则，可知函数在上单调递增，在上单调递减，所以.（2）由题意可知函数在上单调递减，从而在上恒成立，令，则，当时，，所以函数在上单调递减，则，当时，，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则，即，通过求函数的导数可知它在上单调递增，故，综上，实数的取值范围是.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性，属于难题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)己知斜率求切点求参数即解方程；(3)巳知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.22、【答案】（1）；（2）.试题分析：（1）在极坐标方程的两边同时乘以，然后由，即可得到圆的直角坐标方程；（2）将直线的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去、得到有关的参数方程，然后利用韦达定理求出的值.（1）由，得，，即，即圆的直角坐标方程为；（2）由点的极坐标得点直角坐标为，将代入消去、，整理得，设、为方程的两个根，则，所以.考点：1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理23、【答案】(1)；(2).试题分析：（1）当时，由题意得，两边平方，即可求解不等式的解集；（2）由得，令，分类讨论取绝对值，得出分段函数，作出图象，即可求解函数的最大值，进而得到实数的取值范围.试题解析：（1）当时，由得，两边平方整理得，解得所以原不等式的解集为（2）由得，令，则，作出函数的图像，得从而实数的