新教材2023-2024学年高中数学第6章计数原理测评新人教A版选择性

第六章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[2023天津期中]A43×CA.960 B.480 C.160 D.802.在(a+b)10的二项展开式中,第3项为()A.C102a8b2 B.C102a2b8 C.C103a7b33.3名志愿者,每人从4个不同的岗位中选择1个,则不同的选择方法共有()A.12种 B.64种 C.81种 D.24种4.[2023湖南长沙期中]在数学中,有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e≈2.71828.小明在设置银行卡的数字密码时,打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.如果排列时要求2不排第一个,两个8相邻,那么小明可以设置的不同的密码个数为()A.30 B.32 C.36 D.485.[2023贵州兴义一模](ax+y)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为40,则实数a的值为()A.4 B.2 C.1 D.16.[2023浙江宁波月考]如图,某城市的街区由12个全等的矩形组成(实线表示马路),CD段马路由于正在维修,暂时不通,则从A到B的最短路径有()A.23条 B.24条 C.25条 D.26条7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团开展“六艺”讲座活动,每周安排一次讲座,共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次,“数”和“乐”两次不相邻,则“六艺”讲座不同的次序共有()A.120种 B.240种 C.1092种 D.408种8.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857,因为142857×2=285714,142857×3=428571,142857×4=571428,…,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下规律:142+857=999,428+571=999,285+714=999,…,若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x,剩下的三个数字构成另一个三位数y,若x+y=999,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为()A.48 B.60 C.96 D.120二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.[2023湖北随州月考]下列四个关系式中,一定成立的是()A.AB.AnmC.3C832CD.C43+C5310.[2023山东滕州期中]某高一学生想在物理、化学、生物学、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目,则()A.若不选择政治,选法总数为C5B.若物理和化学至少选一门,选法总数为CC.若物理和历史不能同时选,选法总数为(C6D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,选法总数为12种11.[2023湖北武汉期中]已知6名同学排成一排,下列说法正确的是()A.甲不站两端,共有A4B.甲、乙必须相邻,共有A4C.甲、乙之间恰有两人,共有A4D.甲不排左端,乙不排右端,共有(A66212.若(1x2)2022=a0+a1x+a2x2+…+a4044x4044,则()A.a0=1B.∑i=02022a2C.∑i=14044(iai2i1)D.∑i=02022(1)i(C2022三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数,则在组成的五位数中,恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有个.

14.[2023北京通州期中]已知(x2)(x+1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a0=,a5=.

15.[2023湖南怀化模拟]信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势,为了了解学生利用学习机学习的情况,某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机,并安排4人进行相关数据统计,且每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计),则不同的安排方法有种.

16.[2023重庆期中]如图,某景区共有A,B,C,D,E五个景点,相邻景点之间仅设置一个检票口供出入,共有7个检票口,工作人员为了检测检票设备是否正常,需要对每个检票口的检票设备进行检测.若不重复经过同一个检票口,依次对所有检票口进行检测,则共有种不同的检测顺序.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)[2023甘肃古浪月考]解下列方程.(1)Am3=3(2)C22+C318.(12分)[2023北京通州期中]已知x2x7.(1)求x2x7的展开式的中间两项;(2)求x2x7的展开式中x3项的系数.19.(12分)[2023天津静海期中]从1,2,3,4,5,6中任取5个数字,随机填入如图所示的5个空格中.ABCDE(1)若填入的5个数字中有1和2,且1和2不能相邻,不同的填法有多少种?(2)若填入的5个数字中有1和3,且区域A,B,C中有奇数,不同的填法有多少种?20.(12分)某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加研讨会.(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同的选法?(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法?(3)甲、乙2人至少有1人参加,有多少种选法?(4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生,有多少种选法?21.(12分)[2023浙江温州期中]在①a1=35;②Cm0+Cm1+…+Cmm=32(m∈已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,且.

(1)求m的值;(2)求a2+a4+a6的值(结果用数值表示,参考数据:67=279936,47=16384).22.(12分)已知f(x)=(2x+3)n展开式的二项式系数和为512,且(2x+3)n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n.(1)求a2的值;(2)求a1+a2+a3+…+an的值;(3)求f(20)20被6整除的余数.

参考答案第六章测评1.BA43×C632.A在(a+b)10的二项展开式中,第3项为T3=C102a8b3.B由分步乘法计数原理,不同的选择方法共有4×4×4=64种.4.C根据题意,分2种情况讨论:①8排在第一位,则第二个数字也是8,再从剩下的4个位置中选出2个,安排两个2,最后安排7和1,此时有C42②8不排在第一位,则第一位安排7或1,将两个8看成一个整体,与两个2和7或1中剩下的数排列,此时有12×C则一共有12+24=36个不同的密码.5.C(2xy)5展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5r(y)r=C5r(1)r25rx5ryr,则其展开式中x2y3的系数为(1)3×C53×22=40,x3y2又(ax+y)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为40,故40a+80=40,则a=1.6.D先假设CD是实线,则从A到B,向上3次,向右4次,最短路径有A77A33A44=35条,其中经过CD段马路的路径,即先从A到C,然后C到D,最后D到B7.D根据题意,这六门课程全排列,共有A66=720种不同的次序,其中“射”排在第一次的次序有A55=120种,“数”和“乐”两次相邻有A22×A558.A根据题意,数字142857中,两个数字之和为9的组合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3组,若x+y=999,对于x,其百位数字可以为6个数字中任意1个,假设为1,则y的百位数字必须为8,则x,y的百位数字有C61种选法,x的十位数字可以为剩下4个数字中任意1个,假设为2,则y的十位数字必须为7,则x,y的十位数字有C41种选法,x的个位数字可以为剩下2个数字中任意1个,y的个位数字为最后1个,则x,y的个位数字有C21种选法,则所有可能的有序实数组(x,9.BCA选项,AnB选项,Anm=n!C选项,3C832C52=3×D选项,C43+C53+…+C103=C44+C43+C53+10.ACD对于A,原题意等价于六门课程中选三门选修科目,已知不选择政治,则再从剩余的五门课程中选择两门不作为选修科目,可得选法总数为C5对于B,六门课程中选三门,选法种数为C63=20,若物理和化学均不选,选法种数为C43=4,若物理和化学至少选一门,选法种数为204=对于C,若物理和历史同时选,选法种数为C41,若物理和历史不能同时选,选法种数为对于D,在物理和历史不同时选的前提下,排除物理和化学均不选,结合选项B,C可知,选法种数为C63-C4111.ACDA选项,甲不站两端,先把甲安排在中间4个位置中的一个,再对剩下的五名同学全排列,共有A4B选项,甲、乙必须相邻,先安排甲、乙,再将甲、乙看成一个元素与剩下的4名同学全排列,共有A2C选项,甲、乙之间恰有两人,先选2人排在甲、乙中间,再排甲、乙,将这4人看成一个元素,与剩下的2名同学全排列,共有A4D选项,甲不排左端,乙不排右端,共有A662A12.ABDA选项,x=0时,1=a0,A正确;B选项,x=1时,0=a0+a1+a2+…+a4044,①x=1时,0=a0a1+a2a3+…+a4044,②①+②,得0=a0+a2+a4+…+a4044,B正确;C选项,(1x2)2022=a0+a1x+a2x2+…+a4044x4044,求导得,2022(2x)(1x2)2021=a1+2a2x+3a3x2+…+4044a4044x4043,x=2时,2022×(4)×(3)2021=a1+2a2·2+3a3·22+…+4044·a4044·24043,8088×32021=∑i=14044(iai2D选项,(1x2)2022=(1+x)2022·(1x)2022⇒(a0+a1x+a2x2+…+a4044x4044)=(C20220+C20221x+C20222x2+…+C20222022x2022)(C20220-C20221x+C20222x2C20223x3+…+C20222022x2022),比较两边x2022的系数⇒a2022=(C20220)2(13.28符合要求的五位数,分成两类:1和3两个夹着0时,有2A33=12个,1和3两个夹着2或4时,0不能放在首位,共有C21×A综上所述,恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有12+16=28个.14.23由题意,令x=0,可得2×1=a0,即a0=2;由二项展开式得,(x+1)5=C50x5+C51x4+…+则a5=1×C51+(2)×C515.1560由题意可知6种主流的学习机安排给4人进行相关数据统计,每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计),则学习机的分配方法有3,1,1,1和2,2,1,1两类情况,则按3,1,1,1分组,再分配给4人,共有C63×A44=20×24=480种安排方法,按2,2,1,1分组,再分配给4人,共有C6216.32如图,将5个景区抽象为5个点,将7个检票口抽象为7条路线,将问题化归为不重复走完7条路线,即一笔画问题,从B或E处出发的路线是奇数条,其余是偶数条,可以判断只能从B或E处出发才能不重复走完7条路线.由于对称性,只列出从B处出发的路线情形即可.①走BA路线:3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426,共6种;②走BC路线:4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126,共6种;③走BE路线:7513426,7543126,7621345,7624315,共4种.综上,共有2×(6+6+4)=32种检测顺序.17.解(1)因为Am3=3Cm+13,所以m(m1)(m2)=3×(m+1(2)因为C22+C32+C42+…+而C22+C32+即3+2x1=2024或3=2x1,所以x=1011或x=2.18.解(1)因为x2x7的展开式共有8项,所以x2x7的展开式的中间两项为第4项和第5项.所以x2x7的展开式的第4项是T3+1=C73·x73·2x3=C73×(2)3x41x3=280x,第5项是T4+1=C74·x74·2x4=C74×(2)4(2)因为x2x7展开式的通项是Tk+1=C7k·x7k·2xk=(2)kC7kx72k根据题意,得72k=3,所以k=2.所以x2x7的展开式中x3的系数是(2)2×C72=19.解(1)第一步,在3,4,5,6这四个数中任选3个数排列,有A43=24种填法,第二步,3个数中共产生4个空,将1和2插空,有A42=(2)若填入的5个数字中有1和3,再从2,4,5,6中任取3个数字,有C43=4种不同的填法,将这5个数字全排列,有A55=若区域A,B,C中无奇数,则只能为2,4,6,则有A33×A22=12种不同的填法,∴填入的5个数字中有1和3,且区域A,B20.解(1)只需从其他18人中选3人即可,共有C183=(2)只需从其他18人中选5人即可,共有C185=(3)分两类:第一类,甲、乙中有1人参加,有C2第二类,甲、乙都参加,则有C183由分类加法计数原理,共有C21×(4)(方法一直接法)至少有1名内科医生和