专题13 难点探究专题：利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模型全攻略（原卷版）

专题13难点探究专题：利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模

型全攻略

【考点导航】

目录

【典型例题】....................................................................................................................................................1

【类型一一元一次方程的应用--古代问题】..................................................................................................1

【类型二一元一次方程的应用--销售问题】..................................................................................................3

【类型三一元一次方程的应用--方案问题】..................................................................................................6

【类型四一元一次方程的应用--电费和水费问题】.....................................................................................8

【类型五一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】...............................................................................11

【典型例题】

【类型一一元一次方程的应用--古代问题】

例题：（2023秋·安徽淮北·七年级校考期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名

算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分

100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？

【变式训练】

1．（2022·江西新余·统考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有

趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？妇

人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．不知客几何？译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃

一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为．

2．（2023秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考开学考试）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题，“今

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有共买羊，人出六，不足四十五：人出八，不足三，问人数几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出

6元，则差45元；每人出8元，则差3元．则买单的人有个．

3．（2023秋·辽宁锦州·七年级统考期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》卷

记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（读fú，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今

凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现

野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？

4．（2023秋·七年级课时练习）我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一

道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几

何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份去测，那么绳子会多出四尺；如果

将绳子折成四等份去测，那么绳子会多出一尺．绳长和井深各多少尺？

5．（2023·安徽六安·统考模拟预测）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒

一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗

谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？

6．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪），是代数学的创始人之一．在

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他的墓碑上记载着：“他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，两䎦长起了细细的胡须；又度过了一

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生的，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，

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他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了．”

(1)设丢番图的寿命为x岁，根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为_________岁，儿子的寿命为_________

岁；

(2)用你喜欢的方式，求出丢番图和儿子的寿命分别为多少岁？

【类型二一元一次方程的应用--销售问题】

例题：（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）2023年4月16日至18日“金沙贡茶文化节”在岩孔贡茶古镇举

行，开幕式上12家茶企茶商代表进行了集中签约．其中某采购商计划购进甲、乙两种茶叶商品．已知甲种

茶叶商品的每件进价比乙种茶叶商品的每件进价少20元．若购进甲种茶叶商品5件，乙种茶叶商品3件，

共需要700元．

(1)求甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是多少元?

(2)该采购商购进了甲种茶叶商品300件，乙种茶叶商品200件．在销售时，甲种茶叶商品的每件售价为110

元，要使得这500件茶叶商品所获利润率为30％，求每件乙种茶叶商品的售价是多少元?

【变式训练】

1．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）某百货超市经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价120元，售价

150元；乙种服装每件进价200元，售价320元．

(1)若该百货超市同时购进甲、乙两种服装共40件，总进价用去6000元，购进甲种服装多少件？

(2)在“双11购物节”当天，该百货超市实行“每满100元减30元”的优惠促销（比如：某顾客购物120元，他

只需付款90元），张先生这天买了一件乙种服装．到了第二天，百货超市又推出：先打折，再参与“每满100

元减30元”的让利活动，他发现一件乙种服装打折后的价钱在200元到299元之间此时购买反而要多付7.6

元．在该百货超市第二天推出的让利活动下，购买一件甲种服装需要多少元？

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2．（2023·全国·七年级假期作业）某水果店第一次购进西瓜400千克，由于天气炎热，很快卖完．该店马上

又购进800千克西瓜，进货价比第一次每千克少0.5元，两次进货共花费4400元．

(1)这两次购进的西瓜进货价分别是每千克多少元?

(2)在销售过程中，两次进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次

购进的西瓜有5%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利3036元，每千克西瓜的售价为多少元?

3．（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）玉玲超市经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，

利润率60%；乙种商品每件进价40元，售价60元．

(1)每件甲种商品的进价为元；每件乙商品的利润率为．

(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共500件，总进价为21000元，求购进甲种商品多少件？

(3)“元旦”期间，该超市对乙商品进行如下优惠促销活动：

打折前一次性购物总金额优惠措施

少于或等于450元不优惠

超过450元，但不超过600元按购物总金额打九折

超过600元其中600元部分八五折优惠，超过600元的部分打三折优惠

按上述优惠条件，若小华购买乙种商品实际付款564元，求小华在商场购买乙商品多少件？

4．（2023秋·江苏盐城·七年级校考期末）根据疫情防控有关部署和上级教育行政部门既有安排，结合我市中

小学幼儿园实际，为保护广大师生安全健康，市教育局经研究决定：2022年12月19日起，全市中小学本

学期剩余时间全部进行线上教学．七年级某班家委会决定在网上统一购买一批防蓝光眼镜，网上某店铺的

标价为90元/副，优惠活动如下：

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销售量单价

不超过10副的部分每副立减14元

超过10副但不超过20副的部分每副立减22元

超过20副的部分每副立减30元

(1)①若该班级家委会购买了2副这种防蓝光眼镜，花了___________元；

②若该班级家委会购买了15副这种防蓝光眼镜，花了___________元；

③若该班级家委会购买了xx20副这种防蓝光眼镜，花了___________元；（用含x的代数式表示）

(2)若该班级家委会购买的这种防蓝光眼镜均价为69.6元，求他们购买的数量．

5．（2023秋·四川成都·七年级校考期末）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都举行，

某经销商销售带有“蓉宝”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，若经销商购进30个甲类纪念品和40个乙类纪念

品共需要4300元．已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表：

种类种类进价（元/件）售价（元/件）

甲a80

乙a2090

(1)甲、乙两种纪念品每件进价各多少元？

(2)经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共200个，全部售完后总利润（利润售价进价）为4700元，求

甲类和乙类纪念品分别购进多少个？

(3)经销商第二次购进了与第（2）问中第一次同样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优

惠了20%，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚1400元，求

甲类纪念品打了几折？

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【类型三一元一次方程的应用--方案问题】

例题：（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学

校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品

商店提供A、B两种优惠方案：

A方案：买一个篮球送一条跳绳；

B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．

已知要购买篮球50个，跳绳x条（x50）

(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款_________

元（用含x的代数式表示）．

(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？

(3)当x100时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？

【变式训练】

1．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）暑假期间，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩，甲、

乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票

价格如下表：

数量(张)1~5051~100101张及以上

单价(元/张)60元50元40元

如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．

(1)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？

(2)如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购

买门票才能最省钱？

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2．（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）某学校计划购买书柜20张和书架x只（x＞20），现从

A、B两家超市了解到：书柜每张300元，书架每只80元．A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架；

B超市的优惠政策为所有商品八折．

(1)若学校到同一家超市选购所有商品，则到A超市购买费用是______元（用含x的式子表示），到B超市购

买费用是_____元（用含x的式子表示）；

(2)在（1）的条件下，当购买书架x多少只时？到A、B两家超市购买费用相等．

(3)学校要购买20张书柜和60只书架．

①若学校到同一家超市选购所有商品，则到A超市购买费用是______元，到B超市购买费用是____元；

②假如你是本次购买的负责人，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使购买费用更少，并

求出购买费用是多少元？

3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）2022年11月30日，神舟十五号载人飞船与中国空间站成功完

成全自主快速交会对接．中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．正式开启了

中国空间站常态化运营的新篇章．中国空间站模型在某商店价格规定如下表：

购买数量1—50套51—100套100套以上

每套价格13元11元9元

某校七年级（1）班和（2）班共104人计划购买模型，其中（1）班有40

多人，不足50人，经估算，如果两个班以班为单位每人购买一套，则一共应付1240元，问：

(1)两班各有多少学生？

(2)如果两班联合起来，作为一个团体购买模型，可省多少钱？

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(3)如果七年级（1）班单独组织去购买模型，作为组织者的你如何采购才最省钱？

4．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）有下列两种移动电话计费方法：

月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）被叫

A套餐381000.2免费

B套餐985000.25免费

其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费．

(1)小慧的爸爸6月份主叫时间200分钟，则选用A套餐比选用B套餐节省_________元．

(2)小宇的爸爸选择A套餐，小谦的爸爸选择B套餐，7月份他们的通话费相等，小宇的爸爸比小谦的爸爸

主叫时间少20分钟，求小宇的爸爸7月份的主叫时间．

(3)设主叫时间为t分钟，直接写出t满足什么条件时，B套餐省钱．

【类型四一元一次方程的应用--电费和水费问题】

例题：（2023秋·七年级课时练习）目前，某市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．

一户居民一个月用电量（单位：度）电价（单位：元/度）

第1档不超过180度的部分0.5

第2档超过180度的部分0.6

(1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费________元．

(2)若该市某户12月用电量为x度，请用含x的式子分别表示0x180和x180时该户12月应交电费多少

元．

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(3)若该市某户12月应交电费126元，则该户12月用电量为多少度？

【变式训练】

1．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）为鼓励居民节约用电，某市电力公司实行“阶梯电价”收费，收费标

准如下表：

每户每月用电量（度）电费（元/度）

不超过200度0.5

超过200度且不超过500度的部分0.6

超过500度的部分0.8

(1)小明家今年3月份用电310度，求小明家3月份应缴电费多少元？

(2)小明家今年7月份用电增大，7月份的平均电价为0.64元/度，求小明家今年7月份用电多少度？

2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）一家通讯公司推出两种移动电话计费方法，如表所示：

计费方法A计费方法B

每月基本服务费（元/月）68元98元

每月免费通话时间（分）200分500分

超出后每分钟收费（元/分）0.25元0.20元

(1)若月通话时间是5小时，则使用计费方法A的用户话费为元，使用计费方法B的用户话费为

元；

(2)若月通话时间是x分钟x＞500，则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式表

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示）

(3)当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？

3．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）某地今年夏季降雨量大幅下降，水电发电量严重受限，再加上高温

天气持续，居民用电量居高不下，电力供需形势十分严峻．已知该地为节约用电，利用价格调控的手段，

规定了居民生活用电的阶梯收费标准如下：

价目表

每月用电量价格

不超过180千瓦时的部分0.5元/千瓦时

超过180千瓦时，但不超过280千瓦时的部分0.6元/千瓦时

超过280千瓦时的部分0.8元/千瓦时

(1)若小明家8月份用电200千瓦时，则应缴多少电费；

(2)若小明家8月份用电a千瓦时（其中a280），则应缴多少电费；（用含a的代数式表示，并化简）

(3)若小明家8月份缴电费326元，求小明家8月份用电多少千瓦时．

4．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）某市为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，采用价格调控的

手段以达到节水的目的，该市2022年自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，m3表示立方米），

请根据表中的内容解答下列问题：

每月用水量价格

价不超出12m3的部分2.5元/m3

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目超出12m3不超出20m3的部分4元/m3

表超出20m3的部分7.5元/m3

(1)若某用户9月份用水10m3，则应交水费__________元；

(2)若该用户10月份应收水费77元，则用水__________m3;

(3)若该用户11月份和12月份两个月共用水40m3（11月份用水量超过了12月份），设12月份用水xm3，

求该用户11､12两个月各交水费多少元．（用含x的代数式表示，并化简）

5．（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的

80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额：

消费金额（元）小于或等于500元500～10001000～15001500以上

返还金额（元）060100150

注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．

根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1200元的商品，则消费金

额为960元，获得的优惠额为1200180%60300（元）．

(1)购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额是多少？

(2)若顾客在该商场购买一件标价x元x1250的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x的代

数式表示）

(3)若顾客在该商场第一次购买一件标价x元x1250的商品后，第二次又购买了一件标价为800元的商品，

两件商品的优惠额共为768元，则这名顾客第一次购买商品的标价是多少？

【类型五一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】

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例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）[应用意识]如图，数轴上A,B两点所表示的数分别为5,10,O为原点，

C为数轴上一动点且表示的数为x．点P以2个单位长度/秒的速度，点Q以3个单位长度/秒的速度，分别

自A,B两点同时出发，相向而行，在数轴上运动．设运动时间为t秒．

(1)若点P,Q在点C处相遇，求点C所表示的数x；

(2)若OPOQ，求t的值；

(3)当PQ5时，求t的值；

(4)若同时一只宠物鼠以4个单位长度/秒的速度从点B出发，与点P相向而行，宠物鼠遇到点P后立即返回，

又遇到点Q后立即返回，又遇到点P后立即返回……直到点P,Q相遇为止．求宠物鼠在整个过程中所经过的

路程．

【变式训练】

1．（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，数轴上点A表示的为8，B是数轴上

一点，点B在点A左边且点A点B的距离AB14，动点P、Q分别从点A、B两点同时向左移动，点P的

度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度．

(1)求出数轴上点B表示的数；

(2)求经过几秒点P追上点Q？

(3)经过几秒，P、Q两点的距离为6个单位长度，并求出此时点P表示的是多少？

2．（2023秋·陕西西安·七年级统考期末）问题提出：

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（1）如图，点A,C在数轴上表示的数分别是a,c，且满足a12c100，则a______，c______．

问题探究：

（2）将小木棒AB,CD放到图上的位置．AB长为3，CD长为6，将AB以2个单位长度/秒的速度向右运动，

同时CD以3个单位长度/秒的速度向左运动，求两根木棒擦身而过，从点A与点C相遇到点B与点D相遇

经历的时间．

问题解决：

（3）有一条长为0.6千米的双向多道隧道．某时刻从隧道两端点分别驶来两列高铁（此时两车车头恰好在

随道两端点）．甲车长240米．乙车长200米，甲车车速为3千米/分钟，乙车车速为2千米/分钟．请直接

写出甲、乙两车从车头相遇到车尾相遇所经历的时间．

3．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得

到一条“折线数轴”．图中点A表示8，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28，我们称点

A和点E在数轴上相距36个长度单位．动点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向

运动，同时，动点Q从点E出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始

速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点