专题08 难点探究专题：数轴上的动点问题压轴题六种模型全攻略(解析版)

专题08难点探究专题：数轴上的动点问题压轴题六种模型全攻略

【考点导航】

目录

【典型例题】...................................................................................................................................................1

【考点一数轴上的动点中求运动的时间问题】..............................................................................................1

【考点二数轴上的动点中求定值问题】..........................................................................................................7

【考点三数轴上的动点中找点的位置问题】................................................................................................14

【考点四数轴上的动点中几何意义最值问题】...........................................................................................18

【考点五数轴上的动点规律探究问题】........................................................................................................21

【考点六数轴上的动点新定义型问题】........................................................................................................24

【典型例题】

【考点一数轴上的动点中求运动的时间问题】

例题：（2023秋·河北沧州·七年级统考期末）综合与实践：A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，点C表

示的数为6，BC＝4，AB＝12．

(1)数轴上点A表示的数为，点B表示的数为；

(2)动点P，Q同时从A，C出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．点Q以每秒2个

单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒；

①求数轴上点P，Q表示的数（用含t的式子表示）；

②t为何值时，P，Q两点重合；

③请直接写出t为何值时，P，Q两点相距5个单位长度．

【答案】(1)10；2

1121

(2)①104t；62t；②8；③或

22

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【分析】（1）先根据点C表示的数为6，BC＝4，表示出点B，然后根据AB＝12，表示出点A即可；

（2）①求出AP，CQ，根据A、C表示的数求出P、Q表示的数即可；

②根据在时间t内，P运动的长度-Q运动的长度=AC的长，列出方程，解方程即可；

③利用“点P，Q相距5个单位长度”列出关于t的方程，并解答即可．

【详解】（1）点C对应的数为6，BC4，

点B表示的数是642，

AB12，

点A表示的数是21210，

故答案是：-10；2．

（2）①由题意得：AP4t，CQ2t，如图所示：

在数轴上点P表示的数是104t，

在数轴上点Q表示的数是62t；

②当点P，Q重合时，4t2t16，

解得：t8；

③当点P，Q相距6个单位长度，Ｐ在Ｑ的左侧时：4t2t165，

11

解得t，

2

Ｐ在Ｑ的右侧时：4t2t165，

21

解得t，

2

1121

综上分析可知，当t或t时，点P，Q相距5个单位长度．

22

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解题的关键．

【变式训练】

1．（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，

且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运

动时间为tt0秒．

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（1）数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是__________．

（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求：

①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？

②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？

【答案】（1）−4，1；（2）①当点P运动5秒时，点P追上点Q；②当点P运动1或9秒时，点P与点Q

间的距离为8个单位长度．

【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB−OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的

数；动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，所以可得出点P所表示的数为

6−4t，当点P运动到AB的中点时，它的运动时间t＝5÷4＝1.25秒，即可求出点P所表示的数是1；

（2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则4t＝10＋2t，然后解方

程得到t＝5；

②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10＋2a−4a＝8；超过Q，则10＋2a＋8＝4a；由此求解

即可．

【详解】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，

∴OA＝6，

则OB＝AB−OA＝4，

∵点B在原点左边，

∴数轴上点B所表示的数为−4；

点P运动t秒的长度为4t，

∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，

∴P所表示的数为：6−4t，

当点P运动到AB的中点时，它的运动时间为t＝5÷4＝1.25秒，

∴它所表示的数是6−4t＝6−4×1.25＝1；

故答案为：−4，1；

（2）①点P运动t秒时追上点Q，

根据题意得4t＝10＋2t，

解得t＝5，

答：当点P运动5秒时，点P追上点Q；

②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，

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当P不超过Q，则10＋2a−4a＝8，解得a＝1；

当P超过Q，则10＋2a＋8＝4a，解得a＝9；

答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．

【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键．

2．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数

轴”．图中点A表示12，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，

记为LAC32．动点M从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点N从点C出发，沿着“折线

数轴”的负方向运动，它们在水平轴AO，BC上的速度都是2单位/秒，在O，B之间的上行速度为1单位/

秒，下行速度为3单位秒．设运动的时间为t秒．

(1)当t4秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？

(2)当M，N两点相遇时，求运动时间t的值．

(3)若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点M，N与点P相距的

长度之和等于6，请直接写出t的值为____________．

【答案】(1)M，N两点在数轴上相距16个单位长度

(2)t8.5

(3)t3或t10

【分析】（1）先计算出AO，BC的长度，再计算出经过4秒，点M和点N运动的路程，即可求解；

（2）根据相遇时，两点的路程和等于总路程，即可求解；

（3）根据题意，进行分类讨论即可．

【详解】（1）解：根据题意可得：

AO01212，BC20128，

当t4秒时，点M的运动路程：2t812，点N的运动路程：2t8，

∴经过4秒，点M在AO上，点N和点B重合，

∴点M表示的数为：1284，点N表示的数为：20812，

∴M、N两点距离为：12416．

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∴M，N两点在数轴上相距16个单位长度．

（2）由（1）可得：AO12，BC8，

128

∴点M到点O需要时间：6秒，点N到点B需要时间：4秒，

22

当相遇时：123t68t432，

解得：t8.5．

（3）∵P与O，B两点相距的长度相等，

∴点P为表示的数为6，

∴点A与点P距离为61218，点C与点P距离为20614，

∵M，N与点P相距的长度之和等于6，

∴点M和点N都在OB上，

①当点M在OP上，点N在BP上时：

∵PM18123t6，PN148t4，

∴18123t6148t46，

解得：t3，

②当点M在PB上，点N在BP上时：

∵PM123t618，PN148t4，

∴123t618148t46，

解得：t10；

综上：t3或t10．

【点睛】本题主要考查了数轴上数轴以及一元一次方程，解题的关键在正确理解题意，找出等量关系并列

出方程求解．

3．（2022秋·江苏·七年级专题练习）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，

b，则A、B两点之间的距离表示为AB=a-b．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则AB231．

问题提出：

(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离AB______，线段

AB的中点表示的数为______．

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(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以

每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）

①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；

②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．

(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的

端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二

次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．

11

【答案】(1)15；

2

(2)①23t；132t；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7

(3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1

11

【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为；

2

（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；

②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；

15

（3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），即得：13−3（t−5）＝−2

2

15

＋2（t−），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1．

2

【详解】（1）∵A表示的数为−2，点B表示的数为13，

13211

∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；

22

11

故答案为：15；．

2

（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；

故答案为：−2＋3t；13−2t．

②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，

解得t＝3，

相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；

答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7．

15

（3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A，

2

15

返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），

2

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15

根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），

2

解得t＝9，

第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1，

答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示

的数．

【考点二数轴上的动点中求定值问题】

例题：（2023春·湖南衡阳·七年级校考期末）如图，有两条线段，AB2（单位长度），CD1（单位长度）

在数轴上，点A在数轴上表示的数是12，点D在数轴上表示的数是15．

(1)点B在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是；

(2)若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度秒的速度也向左匀速运

动，设运动时间为t秒，当t为何值时，点B与点C之间的距离为1个单位长度？

(3)若线段AB、线段CD分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，

1

动点P从15出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．设运动时间为t秒，当0t5时，2ACPD

3

的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．

【答案】(1)10，14

(2)t23或t25

1

(3)2ACPD的值会发生变化，理由见解析

3

【分析】（1）数轴上点A右边的点B表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴上点D左边的点

C表示的数是点D表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和点C表示的数；

（2）分两种情况，点P在点Q的左侧或点P在点Q的右侧，按追及问题的数量关系列方程求出t的值即

可；

1

（3）分别表示AC，PD的值，然后代入2ACPD求解即可．

3

【详解】（1）解：因为点A表示的数是12，点B在点A右侧，且AB2，

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所以12210，

所以点B表示的数是10；

因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且CD1，

所以15114，

所以点C表示的数是14，

故答案为：10，14；

（2）点B与点C的距离是14(10)24（单位长度），

所以线段BC的长为24个单位长度，

若点B在点C的左侧，则t2412t，

解得t23；

若点B在点C的右侧，则1t242t，

解得t25，

答：当t23或t25时，点B与点C之间的距离为1个单位长度；

1

（3）2ACPD的值会发生变化，理由如下：

3

根据题意运动t秒后A移动到12t，点C移动到142t，点P移动到154t，

∵0t5，

∴点A始终在点C的左侧，点P始终在点D的左侧，

∴AC142t12t26t，

∵PD15(154t)304t，

112

∴2ACPD2(26t)(304t)42t，

333

1

∴2ACPD的值会发生变化．

3

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，将此题抽象成行

程问题列方程求解是关键．

【变式训练】

1．（2022秋·七年级课时练习）已知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位到达A点，再从A

点向右移动12个单位到达B点，把点A到点B的距离记为AB，点C是线段AB的中点．

(1)点C表示的数是；

(2)若点A以每秒2个单位的速度向左移动，同时C、B点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动，

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设移动时间为t秒，

①点C表示的数是（用含有t的代数式表示）；

②当t=2秒时，求CB-AC的值；

③试探索：CB-AC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

【答案】(1)-1

(2)①−1＋t；②0；③CB−AC的值不随着时间t的变化而改变，CB−AC的值为0．

【分析】（1）根据题意可以求得点C表示的数；

（2）①根据题意可以用代数式表示点C运动时间t时表示的数；②根据题意可以求得当t＝2秒时，CB−AC

的值；③先判断是否变化，然后求出CB−AC的值即可解答本题．

(1)

1

解：由题意可得，AC＝12×＝6，

2

∴点C表示的数为：0−7＋6＝−1，

故答案为：−1；

(2)

解：①由题意可得，点C移动t秒时表示的数为：−1＋t，

故答案为：−1＋t；

②当t＝2时，

CB−AC

＝[（0−7＋12＋4t）−（−1＋t）]−[（−1＋t）−（0−7−2t）]

＝（5＋4t＋1−t）−（−1＋t＋7＋2t）

＝6＋3t−6−3t

＝0；

③CB−AC的值不随着时间t的变化而改变，

∵CB−AC

＝[（0−7＋12＋4t）−（−1＋t）]−[（−1＋t）−（0−7−2t）]

＝（5＋4t＋1−t）−（−1＋t＋7＋2t）

＝6＋3t−6−3t

＝0，

∴CB−AC的值不随着时间t的变化而改变，CB−AC的值为0．

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【点睛】点评：本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

2．（2022秋·河北·七年级校联考期末）如图，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，点C对应的

有理数为c，且c2，点C向左移动3个单位长度到达点A，向右移动5个单位长度到达点B．

(1)a___________，b___________；

(2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数；

(3)若点P从点A开始以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时，点Q从点B开始以6个单位长度/秒的速度

向右运动，点M从点C开始以4个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间t秒，则7QM2PM的值是否

随着t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

【答案】(1)5，3

(2)0

(3)不会随着t的变化而改变，该值是29

【分析】（1）c2，点C向左移动3个单位长度到达点A，向右移动5个单位长度到达点B，根据点的移

动即可求解；

（2）根据（1）可知点A与点B对应的有理数，根据折叠的性质即可求解；

（3）根据各点运动的情况可以用含t的式子表示出M，P，Q对应的有理数，根据两点之间的距离，分别

表示出MP，PQ，由此即可求解．

【详解】（1）解：c2，点C向左移动3个单位长度到达点A，向右移动5个单位长度到达点B，

∴a235，b253，

故答案为：5，3．

（2）解：点A对应的有理数是5，点B对应的有理数是3，若将数轴折叠，使得点A与点B重合，

35

∴折叠点对应的有理数为1，且点C对应的有理数是2，

2

∴点C到折叠点的距离为121，

∴与点C重合的点表示的数为110．

（3）解：7QM2PM的值不会随着t的变化而改变．

∵点P从点A开始以每秒3个单位长度的速度向左运动，

∴运动后对应的点为53t，

∵点M从点C开始以4个单位长度/秒的速度向右运动，

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∴运动后对应的点为24t，

∵点Q从点B开始以6个单位长度/秒的速度向右运动，

∴运动后对应的点为36t，

∴PM24t53t7t3，QM36t24t2t5，

∴7QM2PM72t527t329，

∴7QM2PM的值不会随着t的变化而改变，该值是29．

【点睛】本题主要考查数轴上动点的问题，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法，点与点之间的有理数

表示方法是解题的关键．

3．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图：在数轴上，点A表示a,点B表示b,点C表示c,b是最大的负整

数，且a,c满足|a3|(c5)20

1a________，b_________，c_____________

2若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数____________表示的点重合；

3点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以

每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，

①请问:3BC2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

②探究:若点A、C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，3BC4AB的值是否随着时间t的变化而改变？

若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

【答案】（1）-3，-1,5；（2）3；（3）①3BC2AB的值不随着时间t的变化而改变，值为14；②当3t20

时，3BC4AB的值随着时间t的变化而改变；当3t20时，3BC4AB的值不随着时间t的变化而改变，

值为26．

【分析】(1)根据非负数的性质即可得到结论；

（2）先求出对称点，即可得出答案；

(3)①t秒后，AB2tt23t2，BC3tt62t6，代入3BC2AB计算即可得到答案；

②先求出3BC4AB34t643t2，再分当3t20时和当3t20时，讨论求解即可.

【详解】解:1∵|a3|(c5)20，

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∴a+3=0，c−5=0，

解得a=−3，c=5，

∵b是最大的负整数，

∴b=-1

故答案为：−3，-1，5．

-3+5

(2)点A与点C的中点对应的数为：=1，

2

点B到1的距离为2，所以与点B重合的数是：1+2=3．

故答案为：3．

3①t秒后，AB2tt23t2，

BC3tt62t6，

3BC2AB32t623t214．

故3BC2AB的值不随着时间t的变化而改变；

②AB2tt23t2．

BC3tt64t6，

3BC4AB34t643t2．

当3t20时，原式24t10,3BC4AB的值随着时间t的变化而改变；

当3t20时，原式26,3BC4AB的值不随着时间t的变化而改变．

【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．

4．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、

B两点对应的数分别为1、3．

(1)填空：线段AB的长度AB______；

(2)若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且ODAC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存

在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PAPB的值随着点P的运动而没有发生变化？

(3)若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从

EFOP

点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，

MN

的值是否发生变化？请说明理由．

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【答案】(1)AB4

(2)P点在线段AB上时，PAPB的值没有发生变化

EFOP

(3)在运动过程中，的值不发生变化，理由见解析

MN

【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离求解即可；

（2）根据题意得出D点对应的数为4，设P点对应的数为x，根据题意分三种情况分析：①P点在射线CA

上时，②P点在线段AB上时，③P点在射线BD上时，结合图形，建立方程求解即可

1

（3）设运动时间为t分钟．则OPt，OE5t1，OF20t3，根据线段中点得出EMPM3t，

2

131

ONOF10t，OM2t，然后求解即可．

222

【详解】（1）解：线段AB的长度为314，

故答案为：4；

（2）存在

A、B两点对应的数分别为1、3，

∴OA1，OB3

∵点A是BC的中点，

∴ACAB4

∴OCACOA5，

∴C点对应的数为5

又∵ODAC，点D在点A的右侧，

∴D点对应的数为4

设P点对应的数为x

①P点在射线CA上时，PA1x，PB3x

∴PAPB1x3x22x

PAPB的值随着点P的运动而发生变化；

②P点在线段AB上时，

PAx1x1，PB3x

∴PAPBx13x4

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PAPB的值随着点P的运动没有发生变化；

③P点在射线BD上时，

PAx1x1，PBx3

∴PAPBx1x32x2

PAPB的值随着点P的运动而发生变化

∴P点在线段AB上时，PAPB的值没有发生变化；

（3）设运动时间为t分钟．则OPt，OE5t1，OF20t3

∴EFOEOF25t4

∵M、N分别是PE、OF的中点，

111

∴EMPMPEOEOP3t

222

1311

ONOF10t，OMOEEM5t13t2t

2222

∴MNOMON12t2，

EFOP25t4t

∴2

MN12t2

EFOP

∴在运动过程中，的值不发生变化．

MN

【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离，线段中点的计算及动点问题，一元一次方程的应用，理解

题意，根据题意列出方程是解题关键．

【考点三数轴上的动点中找点的位置问题】

例题：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．

(1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数的点重合；

(2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：

①表示数9的点与表示数的点重合；

②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，

B两点所表示的数分别是多少？

③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值．

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【答案】(1)-4

(2)①-5；②A、B两点表示的数分别是-3，7；③x的值为-4或8．

【分析】（1）先求出中心点，再求出对应的数即可；

（2）①求出中心点是表示2的点，再根据对称求出即可；②求出中心点是表示2的点，求出A、B到表示

2的点的距离是5，即可求出答案；③根据点P在数轴上的位置，分类讨论，当点P在点A的左侧时，当

点P在点A、B之间时，当点P在点A的右侧时，根据各种情形求解即可．

【详解】（1）解：∵折叠纸面，使数字1表示的点与-1表示的点重合，可确定中心点是表示0的点，

∴4表示的点与-4表示的点重合，

故答案为∶-4；

（2）解：①∵折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，可确定中心点是表示2的点，

∴表示数9的点与表示数-5的点重合；

故答案为∶-5；

②∵折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），

∴A、B两点距离中心点的距离为10÷2=5，

∵中心点是表示2的点，

∴A、B两点表示的数分别是-3，7；

③当点P在点A的左侧时，

∵PA+PB＝12，

∴-3-x+7-x=12，

解得x=-4；

当点P在点A、B之间时，此时PA+PB=12不成立，故不存在点P在点A、B之间的情形；

当点P在点A的右侧时，

∵PA+PB＝12，

∴x-(-3)+x-7=12，

解得x=8，

综上x的值为-4或8．

【点睛】本题考查了数轴的应用，能求出折叠后的中心点的位置是解此题的关键．

【变式训练】

1．已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6．

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(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；

(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位

长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．

①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？

②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】

的三倍点时，求此时P对应的数．

【答案】(1)见解析；

2

(2)①秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，②P对应数-6或0．

3

【分析】（1）画出数轴，找出A、B所对应的点即可；

（2）①根据两点间距离表示出MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧

时，NP=5t－6，计算即可；

②根据点P是【B，A】的三倍点，可得PB=3PA．分情况讨论：当点P在A点左侧时，求出点P对应数-6；

当点P在A、B之间时，求出点P对应数0，综上可知点P对应数-6或0．

【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：①MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，

NP=5t－6

2

∴t+2=6－5t，得：t=；

3

或t+2=5t－6，得：t=2．

2

即秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，

3

②∵点P是【B，A】的三倍点，

∴PB=3PA．

当点P在A点左侧时，AB=2PA=8，

∴PA=4，点P对应数-6；

当点P在A、B之间时，AB=4PA=8，

∴PA=2，点P对应数0，

综上可知点P对应数-6或0．

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【点睛】本题考查数轴，解题的关键是掌握数轴的三要素及画法，数轴上两点之间的距离，注意对于动点

问题需要进行分情况讨论．

2．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A表示的数是90，

点B表示的数是30．

(1)直接写出线段AB的中点C对应的数；

(2)若点D在数轴上，且BD50，直接写出点D对应的数；

(3)若李明从点A出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时王聪从点B出发，在数轴上每秒向左前

进12个单位长度它们在点E处相遇，求点E对应的数；

(4)若李明从点A出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时王聪从点B出发，在数轴上每秒向左前

进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求李明所在位置点F对应的数．

【答案】(1)30

(2)20或80

(3)42

(4)290或370

【分析】（1）直接根据数轴上线段中点位置计算即可；

（2）分两种情况：当点D在点B的左侧时，当点D在点B的右侧时，根据数轴上两点之间的距离求解即可；

（3）设相遇时间为ts，根据题意列出方程求解即可；

（4）分两种情况：①追及前相距20，②追及后相距20，根据题意，列出方程求解即可．

9030

【详解】（1）解：线段AB的中点C对应的数为30，

2

答：线段AB的中点C对应的数为30；

（2）当点D在点B的左侧时，点D所对应的数为：305020，

当点D在点B的右侧时，点D所对应的数为：30+50=80，

答：点D对应的数为20或80；

（3）设相遇时间为ts，由题意得，

8t12t30(90)，

解得t6，

点E对应的数为908642；

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（4）①追及前相距20，设行驶的时间为ts，由题意得，

3012t+90+8t=20，

解得t25，

此时李明所在位置点F对应的数为90825290；

②追及后相距20，设行驶的时间为ts，由题意得，

908t3012t20，

解得t35，

此时李明所在位置点F对应的数为90835370；

答：李明所在位置点F对应的数为290或370．

【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离及一元一次方程的应用，理解题意，进行分情况讨论分析是

解题关键．

【考点四数轴上的动点中几何意义最值问题】

例题：（2023春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数

式x2的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为|x1||x(1)|，所以x1的

几何意义就是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离．

(1)探究问题：如图，数轴上，点A，B，P分别表示数1，2，x．

填空：因为x1x2的几何意义是线段PA与PB的长度之和，而当点P在线段AB上时，PAPB3，

当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PAPB3．所以x1x2的最小值是______；

(2)解决问题：

①直接写出式子|x4||x2|的最小值为_______；

②直接写出不等式|x3||x1|4的解集为_______；

③当a为_______时，代数式|xa||x3|的最小值是2．（直接写出结果）

【答案】(1)3

(2)①6；②x3或x1；③1或5

【分析】（1）根据题意即可求解；

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（2）①把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示4与2的点之间的距离最小值，进而问题可求解；

②根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；

③根据原式的最小值为2，得到表示3的点的左边和右边，且到3距离为2的点即可．

【详解】（1）解：当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PAPB3．所以x1x2的最小值是3；

故答案为：3；

（2）解：①x4x2x4x2，表示P到A与到B的距离之和，

点P在线段AB上，PAPB6，

当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PAPB6，

∴|x4||x2|的最小值是6；

故答案为：6；

②如图所示，满足|x3||x1||x(3)||x1|4，表示到3和1距离之和大于4的范围，

当点在3和1之间时，距离之和为4，不满足题意；

当点在3的左边或1的右边时，距离之和大于4，

则x范围为x3或x1；

故答案为：x3或x1；

③当a为1或5时，代数式xax3为x1x3或x5x3，

∵数轴上表示数1的点到表示数3的点的距离为2，数轴上表示数5的点到表示数3的点的距离也为2，

因此当a为1或5时，原式的最小值是2．

故答案为：1或5．

【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题

是解题的关键．

【变式训练】

1．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之

间的距离表示为AB，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A在原点，如图1，|AB||OB||b||ab|，

当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边|AB||OB||OA||b||a|ba|ab|；

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②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB||OB||OA||b||a|b(a)ab|ab|③如图4，点A、

B在原点的两边，|AB||OB||OA||b||a|a(b)|ab|；综上，数轴上A、B两点之间的距离

|AB||ab|．

回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是______，

如果AB2，那么x为______．

（2）若x表示一个有理数，则当x在什么范围内时，|x1||x3|有最小值？请写出x的范围及

|x1||x3|的最小值．

11

（3）若x表示一个有理数，则当x在什么范围内时，x1x1有最小值？请写出x的范围及

22

11

x1x1的最小值．

22

图1

图2

图3

图4

【答案】（1）3；x1；1或3；（2）3x1；4；（3）2x2；2．

【分析】（1）根据数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值，算出即可；

（2）|x+1|+|x-3|的最小值，意思是x到-1的距离与到3的距离之和最小，那么x应在-1和2之间的线段上．

（3）参考阅读材料，写出代数式表示的意义即可.

【详解】（1）数轴上表示2和5两点之间的距离为523

数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离为x1

AB2，x12，

故x12或x12，

x1或3．

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（2）代数式x1x3表示数轴上一点到1，3两点的距离的和，

可知3x1

有最小值为134．

111

（3）代数式x1x1表示x到1，1两点的距离，

222

1

可知取值范围1x1，2x2

2

有最小值为112．

【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．

【考点五数轴上的动点规律探究问题】

例题：（2022秋·北京朝阳·九年级校考阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右

移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达

点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律

移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（）

A．159B．-156C．158D．1

【答案】A

【分析】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律

即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数．

【详解】解：设向右为正，向左为负，则

P1表示的数为+1，

P2表示的数为+3

P3表示的数为0

P4表示的数为-4

P5表示的数为+1……

由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左

移动了39次四个单位长度．此时表示的数为39-4156．则第157次向右移动157个单位长度，P1571；

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第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以P1581+158=159．

故P158在数轴上表示的数为159．

故选A．

【点睛】本题考查了数轴上点的运动规律，正确理解题意，找出点在数轴上的运动次数与对应点所表示的

数的规律是解题的关键．

【变式训练】

1．（2022秋·全国·七年级期末）如图，在数轴上，点A表示数1,现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A

向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9

个单位长度到达点A3，…，按照这种移动规律进行下去，第2021次移动到点A2021，那么点A2021所表示的数

为（）

A．3029B．3032