专题31 对角互补模型（原卷版）

模块二常见模型专练

专题31对角互补模型

例1（2021·安徽安庆·中考真题）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB

互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN

恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）

A．4B．3C．2D．1

例2（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用

上述结论进行探究．

提出问题：

如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果BD，那么A，B，C，D

四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2，作经过点A，C，D的O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE则

AECD180（依据1）

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BD

AECB180

点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

点B，D在点A，C，E所确定的O上（依据2）

点A，B，C，E四点在同一个圆上

(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：__________；依据2：__________．

(2)图3，在四边形ABCD中，12，345，则4的度数为__________．

(3)拓展探究：如图4，已知ABC是等腰三角形，ABAC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作

点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．

①求证：A，D，B，E四点共圆；

②若AB22，ADAF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

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例3（2020·湖南益阳·统考中考真题）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹

角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对

应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？

（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，ABBC5，CD1，ADAB，点B到直线AD的

距离为BE．

①求BE的长．

②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求MNC周长的最小值．

对角互补模型特指在四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

对角互补模型是经典的几何模型，其中会涉及到全等三角形的证明、倒角的计算、线段数量关系的证明、

旋转的构造等综合性较高的几何知识，在校内考试、中考中一直都是热门考点。对角互补模型在初二陆续

就会出现，一般会和等腰直角三角形、正方形等特殊图形结合起来，既有选填压轴的题型，也经常会以简

答题进行考察。

常见的四边形对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-（180-2α）对

角互补模型。本文会分享对角互补模型常见的两种处理策略：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进

行旋转的构造，构造手拉手全等.

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模型1：全等形——90°对角互补模型

模型2：全等形——120°对角互补模型

模型3：全等形——任意角对角互补模型

模型4：相似形——90°对角互补模型

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【变式1】（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知四边形ABCD的对角互补，且BACDAC，AB15，

AE

AD12．过顶点C作CEAB于E，则的值为（）

BE

A．73B．9C．6D．7．2

【变式2】（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等

补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．

探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，

若CD＝10，AF＝5，则DF的长为__．

【变式3】（2021·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB

互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM

＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正

确的序号为_____．

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【变式4】（2022·浙江宁波·校考三模）【基础巩固】

(1)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，ACDB，求证∶ABC∽DCA；

(2)【尝试应用】如图②，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，AED与C互补，BE2，EC4，

求AE的长；

(3)【拓展提高】如图③，在菱形ABCD中，E为其内部一点，AED与C互补，点F在CD上，EF∥AD，

且AD2EF，AE3，CF1，求DE的长．

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【变式5】（2022·江西南昌·模拟预测）【模型建立】

(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAF45，探究图中线段EF，BE，

DF之间的数量关系．

小明的探究思路如下：延长CB到点G，使BGDF，连接AG，先证明ADF≌ABG，再证明

△AEF≌△AEG．

①EF，BE，DF之间的数量关系为________；

②小亮发现这里ABG可以由△ADF经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像

上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．

【类比探究】

(2)如图2，在四边形ABCD中，ABAD，ABC与D互补，E，F分别是边BC，CD上的点，且

1

EAFBAD，试问线段EF，BE，DF之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．

2

【模型应用】

(3)如图3，在矩形ABCD中，点E在边BC上，AD6，AB4，CAE45，求CE的长．

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【培优练习】

1．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市第五中学校考期中）如图，AOB（是常量）．点P在AOB的

平分线上，且OP2，以点P为顶点的MPN绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，MPN的两边分别

与OB，OA相交于M，N两点，若MPN始终与AOB互补，则以下四个结论：①PMPN；②OMON

的值不变；③四边形PMON的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（）

A．①③B．①②③C．①③④D．②③

2．（2021·山西·九年级专题练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形，如图，在互补四边形纸

片ABCD中，BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折

后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸片中有一个面积为4的平

行四边形，则CD的长为__．

3．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的

夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问

题：

(1)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点

F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？

(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，ABBC5，CD1，ADAB，点B到直线AD的距

离为BE，求BE的长．

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4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，称四边形为余缺

四边形．

如图1，四边形ABCD，DB180，AC平分DAB，则四边形ABCD为余缺四边形．

【概念理解】

(1)用（填序号）一定可以拼成余缺四边形．

①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形；

(2)如图1，余缺四边形ABCD，AC平分DAB，若AD6，AB2，则S△ADC:S△ABC；

【初步应用】

如图2，已知△ABC，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线交于P点，连接PB、PC．

(3)求证：四边形ABPC为余缺四边形；

(4)若AB9，AC5，则PA2PB2的值为．

【迁移应用】

(5)如图3，MAN90，等腰Rt△PBC的B、C两点分别在射线AM、AN.上，且斜边BC10cm(P、A

在BC两侧)，若B、C两点在射线AM、AN上滑动时，四边形APBC的面积是否发生变化？若不变化，请

说明理由；若变化，直接写出面积的最大的值．

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5．（2022秋·江苏南通·八年级如皋市实验初中校考阶段练习）如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若

AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．

(1)如图2，在等边ABE中，D、C分别是边AE、BE的中点，连接CD，问四边形ABCD是互补等对边四

边形吗？请说明理△由．

1

(2)如图3，在等腰ABE中，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．

2

△1

(3)如图4，在非等腰ABE中，若四边形ABCD是互补等对边四边形，试问∠ABD＝∠BAC＝∠AEB是否

2

仍然成立？若成立，△请加以证明；若不成立，请说明理由．

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6．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市怡雅中学校考阶段练习）新定义：有一组邻边相等且对角互补的四边

形叫做等补四边形．如图1，在四边形ABCD中，ADCD，BADBCD180，则四边形ABCD是一个

等补四边形．

(1)在数学活动课上，怡怡小组对等补四边形ABCD进一步探究，发现BD平分ABC．怡怡小组提供的解题

思路是：如图2，过点D分别作DEBC于E，DFBA交BA的延长线于F，通过证明△ADF△CDE，

得DF=DE，再根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”得到BD平分ABC．请你写出

怡怡小组的完整证明过程；

(2)如图3，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，以AB为直径的⊙M交y轴于点C、D，点P为弧BC

上一动点（不与B、C重合）．

①求证：四边形ACPD始终是一个等补四边形；

PD2PC2

②在图3中，若A1,0，B3,0，连接PA，PB，的值是否会随着点P的移动而变化？若不变

PAPB

化，请求出该定值；若变化，请说明理由．

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7．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）问题提出：

苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：

1．如图（1），在O的内接四边形ABCD中，BD是O的直径．A与C、ABC与ADC有怎样的

数量关系？

2．如图（2），若圆心O不在O的内接四边形ABCD的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？

（1）小明发现问题1中的A与C、ABC与ADC都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：

∵BD是O的直径，

∴__________________，

∴AC180，

∵四边形内角和等于360，

∴__________________．

（2）请回答问题2，并说明理由．

深入探究：

如图3，O的内接四边形ABCD恰有一个内切圆I，切点分别是点E、F、G、H，连接GH，EF．

（1）直接写出四边形ABCD边满足的数量关系_________；

（2）探究EF、GH满足的位置关系；

（3）如图4，若C90，BC3，CD2，请直接写出图中阴影部分的面积．

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8．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）定义：如果同一平面内的四个点在同

一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．我们学过了“圆的内接四边形的对角互补”这一定理，它的

逆命题“对角互补的四边形四个顶点共圆”是证明“四点共圆”的一种常用方法．除此之外，我们还经常用“同

旁张角相等”来证明“四点共圆”．如图1，在线段AB同侧有两点C，D．连接AD，AC，BC，BD，如果

CD，那么A，B，C，D“四点共圆”

(1)如图2，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点P，点E在CB的延长线上，下列条件：①12；

②24：③5ADC：④PAPCPBPD．其中，能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有

___________：

(2)如图3，直线yx6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，

若A，B，C，D“四点共圆”，且ADC105o，求四边形ABCD的面积；

(3)如图4，已知ABC是等腰三角形，ABAC，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B重合，且

BDCD，连结AD，作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．

①求证：A，D，B，E“四点共圆”；

②若AB22，ADAF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由．

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9．（2022秋·浙江宁波·九年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期末）有一组邻边相等且对角互补的四边形叫

做等邻边互补四边形．

(1)如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD＝CD，且AD∥BC，BC＝2AD，求∠B的度数；

(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，连接DO交AC于点E（不与点O重合），若E是AC的中点，求证：

四边形ABCD是等邻边互补四边形；

24

(3)在（2）的条件下，延长DO交BC于点F，交⊙O于点G，若BGAB,tanABC，AC＝12，求FG

7

的长；

(4)如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，BD为⊙O的直径，连接AO并延长交BC于点E，交⊙O

EF

于点F，连接FC，设tan∠BAF＝x，y，求y与x之间的函数关系式．

AE

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10．（2022春·江苏连云港·七年级统考期中）（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老

师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知ABCD，点E、F

分别在AB、CD上，点G为平面内一点，当点G在AB、CD之间，且在线段EF左侧时，连接EG、FG，

则一定有AEGCFGG，为什么？请帮助小明再次说明理由；

（2）【变式思考】如图2，当点G在AB上方时，且EGF90，请直接写出BEG与DFG之间的数量

关系______；

（3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使HEG与GEB互

补，作EKD的平分线与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并说明理由；

②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL和∠DKL的平分线，交点为L1；第二次操作，分别作∠BEL1

和∠DKL1的平分线，交点为L2；……第n次操作，分别作∠BELn-1和∠DKLn-1的平分线，交点为L、则

∠Ln=______．

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11．（2022春·甘肃兰州·八年级校考期中）四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角

互补四边形”．

(1)四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，则∠A的度数为_______；

(2)如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，BADBCD90，ABAD．

求证：AC平分BCD．

小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM=BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰

直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为_______；

(3)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD，试证明：

①AC平分∠BCD；

②CA=CB+CD；

(4)如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，，且满足∠ABC=60°，AD=CD，则BA、BC、BD三者关系为

_______．

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12．（2022春·吉林·八年级吉林省实验校考期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等

邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．

根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE绕点B旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应

点F在DA的延长线上，则四边形BEDF______（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；

(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AE＝6，AB＝BC＝10，AD>AB，过点B作BE⊥AD于E，

过C作CF⊥BE于点F．

①试求EF的长；

②连结BD，若点M是线段DB上的动点，请直接写出△MEF周长的最小值．

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13．（2022·陕西宝鸡·统考二模）问题提出

（1）如图1，四边形ABCD中，ABAD，B与D互补，BC2CD20，点A到BC边的距离为17，

求四边形ABCD的面积．

问题解决

（2）某公园计划修建主题活动区域，如图2所示，BABC60m，B=60，CD∥AB，在BC上找一

点E，修建两个不同的三角形活动区域，△ABE区域为体育健身活动区域，△ECD为文艺活动表演区域，

根据规划要求，EDEA，AED60，设EC的长为x(m)，△ECD的面积为y(m2)，求y与x之间的函数

关系式，并求出△ECD面积的最大值．

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14．（2022·山西晋中·统考二模）综合与实践

问题背景：

在综合与实践课上，老师让同学们探索有一组邻边相等，一组对角互补的四边形的性质．如图1，在四边形

ABCD中，DADC，ABCADC180．

实践操作：

(1)同学们首先从特殊情形开始探索，如图2，当ABC90时，其它条件不变，发现了BD平分ABC的

性质，有两个小组给出如下的证明思路：

“团结组”：利用“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”；

“实践组”：由DADC想到将△ABD绕点D旋转，使DA与DC重合，将四边形ABCD转化成我们学过的

特殊图形．

①请你分别在图2，图3中画出符合“团结组”和“实践组”思路的辅助线；

②求证：BD平分ABC；（从上面的两个思路中选一个或按照自己的思路）

(2)“创新组”的同学发现在图2中ABBC2BD，请你说明理由；

拓展延伸：

(3)“善思组”的同学受“创新组”同学的启发，提出如下问题：如图4，当ABC120时，其它条件不变，延

DF1

长BD到点F，使，过点F分别作FG∥CB交BA的延长线于点G，FE∥AB交BC的延长线于点E，

BD4

若GF53，则四边形BEFG的形状为_______，四边形ABCD的面积为______．

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15．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的

夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问

题：

(1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F

在DA的延长线上，则四边形BEDF______（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；

(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，ABBC，ADAB，过点B作BEAD于点E．

①试探究BE与DE的数量关系，并说明理由；

②若BC10，CD2，求AD的长．

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16．（2022·全国·九年级专题练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为

直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．

根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点

F在DA的延长线上，则四边形BEDF（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；

(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．

①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；

②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．

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17．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：在四

边形ABCD中，AC180，或BD180，则四边形ABCD是“对补四边形”．

(1)【概念理解】如图（1），四边形ABCD是“对补四边形”．

①若A:B:C3:2:1，则∠D的度数是_________；

②若ÐB=90°，且AB22,AD2，则CD2CB2_______．

1

(2)【拓展延伸】如图（2），四边形ABCD是“对补四边形”，当ABCB，且EBFABC时，猜测AE，

2

CF，EF之间的数量关系，并加以证明．

(3)【类比运用】如图（3），如图（4），在四边形ABCD中，ABCB，BD平分ADC．

①如图（3），求证：四边形ABCD是“对补四边形”；

S△ACD4a

②如图（4），设ADa,DCb，连接AC，当ABC90，且时，求的值．

S△ABC5b

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18．（2022·浙江金华·模拟预测）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

(1)阅读与理解：

如图1，四边形内接于O，点A为弧BD的中点．四边形ABCD（填“是”或“不是”）等补四

边形．⊙

(2)探究与运用：

①如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由；

②如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，

AF＝5，求DF的长．

(3)思考与延伸：

在等补四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BAD＝120°，当对角线AC长度最大时，以AC为斜边作等腰直

角三角形ACP，直接写出线段DP的长度．

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19．（2022秋·陕西西安·九年级校考期末）有这样一类特殊边角特征的四边形，它们有“一组邻边相等且对角

互补”，我们称之为“等对补四边形”．

(1)如图1，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于点E，若AE＝4，则四边形ABCD

的面积等于．

(2)等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角，即如图2，

四边形ABCD中，AD＝DC，∠A+∠C＝180°，连接BD，求证：BD平分∠ABC．

(3)现准备在某地著名风景区开发一片国家稀有动物核心保护区，保护区的规划图如图3所示，该地规划部

门要求：四边形ABCD是一个“等对补四边形”，满足AD＝DC，AB+AD＝12，∠BAD＝120°，因地势原因，

要求3≤AD≤6，求该区域四边形ABCD面积的最大值．

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20．（2021·山西大同·统考一模）综合与实践

【问题情境】

在综合实践课上，老师让同学们以“顶角互补的等腰三角形纸片的图形变换”为主题开展数学活动．如图1，

两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB＝AC＝m，AE＝AF＝n，m＞n，∠BAC＋∠EAF＝180°，△AEF

绕点A顺时针旋转，旋转角为0„180，点M为BF的中点．

【特例感知】

（1）如图1，当0o时，AM和CE的数量关系是；

（2）如图2，当90时，连接AM，CE，请判断AM和CE的数量关系，并说明理由；

【深入探究】

（3）如图3，当为任意锐角时，连接AM，CE，探究AM和CE的数量关系，并说明理由；

【解决问题】

（4）如图4，△ABC和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，AB＝AC，A