专题31 对角互补模型（解析版）

模块二常见模型专练

专题31对角互补模型

例1（2021·安徽安庆·中考真题）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB

互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）

PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确

的个数为（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】B

【详解】

如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO=∠PFO=90°，

∴∠EPF+∠AOB=180°，

∵∠MPN+∠AOB=180°，

∴∠EPF=∠MPN，

∴∠EPM=∠FPN，

∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴PE=PF，

第1页共99页.

在POE和POF中，

O△POP△

PEPF

∴△POE≌△POF，

∴OE=OF，

在PEM和PFN中，

△MPE△NPF

PEPF

PEMPFN

∴△PEM≌△PFN，

∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，

∴SPEM=SPNF，

△△

∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，

∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故（2）正确，

MN的长度是变化的，故（4）错误，

故选：B．

例2（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用

上述结论进行探究．

提出问题：

如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果BD，那么A，B，C，D

四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2，作经过点A，C，D的O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE则

AECD180（依据1）

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BD

AECB180

点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

点B，D在点A，C，E所确定的O上（依据2）

点A，B，C，E四点在同一个圆上

(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：__________；依据2：__________．

(2)图3，在四边形ABCD中，12，345，则4的度数为__________．

(3)拓展探究：如图4，已知ABC是等腰三角形，ABAC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作

点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．

①求证：A，D，B，E四点共圆；

②若AB22，ADAF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

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【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等

(2)45°

(3)①见解析；②不发生变化，值为8

【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可；

（2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解；

（3）①根据（1）中的结论证明AEDABD即可得证；②证明BAD∽FAB，根据相似三角形的性质即

可求解．

（1）

如图2，作经过点A，C，D的O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE则

AECD180（圆内接四边形对角互补）

BD

AECB180

点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

点B，D在点A，C，E所确定的O上（同圆中，同弧所对的圆周角相等）

点A，B，C，E四点在同一个圆上

故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等

（2）

在线段CD同侧有两点A，B，12

A,B,C,D四点共圆，

ADAD

4345

故答案为：45

（3）

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①∵ABAC，

ABCACB，

E点与C点关于AD对称，

ACDAED，

AEDABD，

A,D,B,E四点共圆；

②ADAF8，理由如下，

如图，A,D,B,E四点共圆，

FBDDAE，

AE,AC关于AD对称，

DAEDAC，

∴DACDBF，

ADCBDF，

FACD，

ABAC，

ABDACD，

FABD，

又BADFAB，

BAD∽FAB，

ABAD

，

AFAB

ADAFAB2，

AB22，

ADAF8．

【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质

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与判定，掌握以上知识是解题的关键．

例3（2020·湖南益阳·统考中考真题）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹

角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对

应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？

（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，ABBC5，CD1，ADAB，点B到直线AD的

距离为BE．

①求BE的长．

②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求MNC周长的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）①BE=4；②MNC周长的最小值为82

【分析】（1）由旋转性质证得∠F+∠BED=∠BEC+∠BED=180°，

∠FBE=∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°,BF=BE,进而可证得四边形BEDF为“直等补”四边形；

（2）如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD,

设BE=x，则FC=x-1，由勾股定理列方程解之即可；

（3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，则NP=NC，MT=MC,

由△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值

PT，过P作PH⊥BC交BC延长线于H，易证△BFC∽△PHC，求得CH、PH，进而求得TH，在Rt△PHT

中，由勾股定理求得PT，即可求得周长的最小值．

【详解】（1）如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE

∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°，

∴∠F+∠BED=180°，

∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°，

故满足“直等补”四边形的定义，

∴四边形BEDF为“直等补”四边形；

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（2）∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC，

∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°，

如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，

则∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE

∴D、C、F共线，

∴四边形EBFD是正方形，

∴BE=FD，

设BE=x，则CF=x-1，

在Rt△BFC中，BC=5，

由勾股定理得：x2(x1)225，即x2x120，

解得：x=4或x=﹣3(舍去)，

∴BE=4

（3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5,

则NP=NC，MT=MC,

∴△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT

当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，

过P作PH⊥BC，交BC延长线于H，

∵∠F=∠PHC=90°,∠BCF=∠PCH,

∴△BCF∽△PCH,

BCBFCF

∴,

PCPHCH

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543

即，

2PHCH

68

解得：CH,PH,

55

656

在Rt△PHT中，TH=55,

55

PTPH2HT282,

∴MNC周长的最小值为82．

【点睛】本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方

程、相似三角形的判定与性质、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解答的关键是认真审题，分析

图形，寻找相关信息的联系点，借用类比等解题方法确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算．

对角互补模型特指在四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

对角互补模型是经典的几何模型，其中会涉及到全等三角形的证明、倒角的计算、线段数量关系的证明、

旋转的构造等综合性较高的几何知识，在校内考试、中考中一直都是热门考点。对角互补模型在初二陆续

就会出现，一般会和等腰直角三角形、正方形等特殊图形结合起来，既有选填压轴的题型，也经常会以简

答题进行考察。

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常见的四边形对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-（180-2α）对

角互补模型。本文会分享对角互补模型常见的两种处理策略：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进

行旋转的构造，构造手拉手全等.

模型1：全等形——90°对角互补模型

模型2：全等形——120°对角互补模型

模型3：全等形——任意角对角互补模型

模型4：相似形——90°对角互补模型

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【变式1】（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知四边形ABCD的对角互补，且BACDAC，AB15，

AE

AD12．过顶点C作CEAB于E，则的值为（）

BE

A．73B．9C．6D．7．2

【答案】B

AE

【分析】要求的值，主要求出AE和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CF⊥AD交AD的

BE

延长线于点F，可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题．

【详解】解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD=90°，

∵CE⊥AB，

∴∠CEB=90°，

∴∠CFD=∠CEB=90°，

∵∠BAC=∠DAC，

∴AC平分∠BAD，

∴CE=CF，

∵四边形ABCD对角互补，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

又∵∠CDF+∠ADC=180°，

∴∠CBE=∠CDF，

在△CBE和△CDF中，

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ìÐCEB=ÐCFD

ï

íÐCBE=ÐCDF，

ï

îïCE=CF

∴△CBE≌△CDF（AAS），

∴BE=DF，

在△AEC和△AFC中，

ìÐAEC=ÐAFC

ï

íÐEAC=ÐFAC，

ï

îïAC=AC

∴△AEC≌△AFC（AAS），

∴AE=AF，

设BE=a，则DF=a，

∵AB=15，AD=12，

∴12+2a=15，得a1.5，

∴AE=12+a=13.5，BE=a=1.5，

AE13.5

∴9，

BE1.5

故选B．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进

而得出等量关系．

【变式2】（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等

补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．

探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，

若CD＝10，AF＝5，则DF的长为__．

【答案】525

【分析】思路引领：连接AC，先证∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再证△ACF∽△DAF，利用相

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似三角形对应边的比相等可求DF的长．

【详解】如图所示，连接AC，

∵四边形ABCD是等补四边形，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

又∠BAD+∠EAD＝180°，

∴∠EAD＝∠BCD，

∵AF平分∠EAD，

1

∴∠FAD∠EAD，

2

∵四边形ABCD是等补四边形，

∴A，B，C，D四点共圆，

∵AB＝AD，

∴ABAD，

∴∠ACD﹣∠ACB，

1

∴∠FCA∠BCD，

2

∴∠FCA＝∠FAD，

又∠AFC＝∠DFA，

∴△ACF∽△DAF，

AFCF

∴，

DFAF

5DF10

即，

DF5

∴DF＝525．

故答案为：525．

【点睛】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，

解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．

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【变式3】（2021·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB

互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）

PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，

其中正确的序号为_____．

【答案】（1）（4）

【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．

【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO＝∠PFO＝90°，

∴∠EPF+∠AOB＝180°，

∵∠MPN+∠AOB＝180°，

∴∠EPF＝∠MPN，

∴∠EPM＝∠FPN，

∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴PE＝PF，

在△POE和△POF中，

OPOP

PEPF

∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），

第13页共99页.

∴OE＝OF，

在△PEM和△PFN中，

MPENPF

PEPF

PEMPFN

∴△PEM≌△PFN（ASA），

∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，

∴SPEM＝SPNF，

△△

∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（4）正确，

∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）错误，

∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，

在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化

的，所以△OMN的周长是变化的，故（3）错误，

故答案为：（1）（4）．

【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

【变式4】（2022·浙江宁波·校考三模）【基础巩固】

(1)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，ACDB，求证∶ABC∽DCA；

(2)【尝试应用】如图②，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，AED与C互补，BE2，EC4，

求AE的长；

(3)【拓展提高】如图③，在菱形ABCD中，E为其内部一点，AED与C互补，点F在CD上，EF∥AD，

且AD2EF，AE3，CF1，求DE的长．

【答案】(1)见解析

(2)23

(3)62

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【分析】（1）由AD∥BC，可得ACBCAD，再利用BACD，即可得出ABC∽DCA；

（2）根据两组角相等可求得△ABE∽△DEA，可得AE2BEAD，进而可求得AE的值；

（3）延长FE交AB于G，则四边形AGFD是平行四边形，ADGF，由AD2EF得ADGF2EF2GE，

AEADDEAD2DEAD

由（2）可得．△ABE∽△DEA，，可得AE2GEAD，即2，

GEAEAG2AGAE

AD2AE32，根据菱形ABCD得ABCDAD32，则AGDF321，即可求解．

【详解】（1）证明：∵AD∥BC，

∴ACBCAD，

又∵BACD，

∴ABC∽DCA；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，ADBC，

∴DAEAEB，CB180，

∵AEDC180，

∴AEDB，

∴△ABE∽△DEA，

BEAE

∴，

AEAD

∴AE2BEAD，

∵BE2，EC4，

∴ADBC6，

∴AE2BEAD2612，

∴AE23；

（3）解：延长FE交AB于G，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，ABCDAD，

∵EF∥AD，

∴四边形AGFD是平行四边形，

第15页共99页.

∴ADGF，AGDF，

∵AD2EF，

∴ADGF2EF2GE，

AD

∴GE，

2

由（2）可得．△ABE∽△DEA，

AEADDE

∴，

GEAEAG

AD2

∴AE2GEAD，

2

DEAD32

∴AD2AE32，2，

AGAE3

∴ABCDAD32，

∴AGDF321，

DE

∴2，

321

∴DE62．

【点睛】此题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质

等知识；熟练掌握平行四边形的性质、菱形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．

【变式5】（2022·江西南昌·模拟预测）【模型建立】

(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAF45，探究图中线段EF，BE，

DF之间的数量关系．

小明的探究思路如下：延长CB到点G，使BGDF，连接AG，先证明ADF≌ABG，再证明

△AEF≌△AEG．

①EF，BE，DF之间的数量关系为________；

②小亮发现这里ABG可以由△ADF经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像

上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．

【类比探究】

第16页共99页.

(2)如图2，在四边形ABCD中，ABAD，ABC与D互补，E，F分别是边BC，CD上的点，且

1

EAFBAD，试问线段EF，BE，DF之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．

2

【模型应用】

(3)如图3，在矩形ABCD中，点E在边BC上，AD6，AB4，CAE45，求CE的长．

【答案】(1)①BE+DF=EF，②将△ADF绕A点顺时针旋转90°

(2)EF=DF+BE，理由见详解

(3)5.2

【分析】（1）①沿着小明的思路，先证△ADF≌△ABG，再证△AEF≌△AEG，即可得出结论；②在①的

基础上，证明∠GAF=90°即可得解；

（2）延长CB至点M，使得BM=DF，连接AM，先证△ABM≌△ADF，再证△MAE≌△FAE，即可得出结

论；

（3）过E点作EN⊥AC于N点，设EC=x，则有x＜6，即BE=6-x，分别在Rt△ABE和Rt△ADC中，表示

222

出AE2和求出AC，再证△AEN是等腰直角三角形，即可得AE22AN22EN2，则有2EN4(6x)，

ABACABEC4x

再证Rt△ABC∽Rt△ENC，即有，进而有EN，则可得一元二次方程

ENECAC213

4

2x242(6x)2，解方程就可求出CE．

13

（1）

①BE+DF=EF，理由如下：

沿着小明的思路进行证明，

在正方形ABCD中，有AD=AB，∠D=∠ABC=90°，

即有∠ABG=90°，

∵BG=DF，AD=AB，∠D=∠ABG=90°，

∴△ADF≌△ABG，

∴AF=AG，∠DAF=∠BAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠BAE+∠BAG=45°=∠EAF，

∵AF=AG，AE=AE，

第17页共99页.

∴△AEF≌△AEG，

∴EG=EF，

∵EG=BG+BE，BG=DF，

∴EF=BE+DF，结论得证；

②将△ADF绕A点顺时针旋转90°即可得到△ABG．

理由如下：

在①已经证得△ADF≌△ABG，并得到∠BAE+∠BAG=45°=∠EAF，

∴∠GAF=∠EAG+∠EAF=45°+45°=90°，

∴将△ADF绕A点顺时针旋转90°即可得到△ABG；

故答案为：①BE+DF=EF，②将△ADF绕A点顺时针旋转90°；

（2）

EF=DF+BE，理由如下：

延长CB至点M，使得BM=DF，连接AM，如图，

∵∠ABC与∠D互补，

∴∠D+∠ABC=180°，

∵∠ABC+∠ABM=180°，

∴∠ABM=∠D，

∵AB=AD，BM=DF，

∴△ABM≌△ADF，

∴∠DAF=∠BAM，AM=AF，

1

∵∠EAF=∠BAD，

2

1

∴∠BAE+∠FAD=∠BAD，

2

∴∠BAE+∠FAD=∠EAF，

∵∠DAF=∠BAM，

第18页共99页.

∴∠BAM+∠BAE=∠EAF，

∴∠MAE=∠EAF，

∵AM=AF，AE=AE，

∴△MAE≌△FAE，

∴ME=EF，

∵ME=BE+MB，MB=DF，

∴EF=DF+BE，结论得证；

（3）

过E点作EN⊥AC于N点，如图，

∵AD=6，AB=4，

∴在矩形ABCD中，AD=BC=6，AB=DC=4，∠D=∠B=90°，

∴设EC=x，则有x＜6，

∴BE=BC-EC=6-x，

在Rt△ABE中，AE2AB2BE242(6x)2，

在Rt△ADC中，ACAD2DC26242213，

∵∠CAE=45°，EN⊥AC，

∴∠ANE=90°=∠ENC，

∴∠AEN=45°，

∴△AEN是等腰直角三角形，

∴AE2AN2EN，

∴AE22AN22EN2，

即：2EN242(6x)2

∵∠ENC=90°=∠B，∠ACB=∠ECN，

第19页共99页.

∴Rt△ABC∽Rt△ENC，

ABAC

∴，

ENEC

∵AB=4，AC=213，EC=x，

ABEC4x

∴EN，

AC213

4

∴EN2x2，

13

∵2EN242(6x)2，

4

∴2x242(6x)2，

13

∴结合x＜6，解得x=5.2，

∴CE=5.2．

【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直

角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造

【培优练习】

1．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市第五中学校考期中）如图，AOB（是常量）．点P在AOB

的平分线上，且OP2，以点P为顶点的MPN绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，MPN的两边分

别与OB，OA相交于M，N两点，若MPN始终与AOB互补，则以下四个结论：①PMPN；②OMON

的值不变；③四边形PMON的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（）

A．①③B．①②③C．①③④D．②③

【答案】B

【分析】如图作PEOA于点E，PFOB于点F，只要证明RtPEO≌RtPFO，RtPEN≌RtPFM即可

一一判断．

第20页共99页.

【详解】解：如图所示：作PEOA于点E，PFOB于点F，

PEOPFO90，

EPFAOB180，

MPNAOB180，

EPFMPN，

EPFEPNNPF，MPNMPFNPF，

EPNMPF，

OP平分AOB，PEOA，PFOB，

PEPF，

在RtPEO和RtPFO中，

POPO

，

PEPF

RtPEO≌RtPFOHL，

OEOF，

在△PEN和△PFM中，

EPNFPM

PEPF，

PENPFM

RtPEN≌RtPFMASA，

ENFM，PNPM，故①正确，

S△PENS△PFM，

S四边形PMONS四边形PEOF定值，故③正确，

OMONOFMFONOENEONOEOE2OE定值，故②正确，

M、N的位置是变化的，

第21页共99页.

M、N之间的距离也是变化的，故④错误；

故选：B．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会

添加辅助线，构造全等三角形解决问题．

2．（2021·山西·九年级专题练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形，如图，在互补四边形

纸片ABCD中，BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°．将纸片先沿直线BD对折，再将对

折后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸片中有一个面积为4的

平行四边形，则CD的长为__．

【答案】26+42或6+22．

【分析】根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用菱形的判定与性质以及勾股定理

得出CD的长．

【详解】解：如图1所示：从顶点A（或C）剪开纸片，四边形ABCE是平行四边形，

根据题意可知：

∵BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°

∴△ABD≌△CBD（SAS）

∴∠ABD＝∠CBD＝75°，

∵四边形ABCE是面积为4的平行四边形，AB＝CB

∴▱ABCE是菱形，

∴△BCE的面积为2，CB＝CE＝AB，

∴∠BCE＝30°，

作BG⊥CE于点G，

第22页共99页.

∴BC＝2BG，

∴CE＝2BG，

1

∴SBCE＝CE•BG=2

2

△

∴BG2＝2，

∴BG＝2，CE＝22，

∴CG＝3BG＝6，

∴CF＝CG+GF＝CG+AB＝CG+CE＝6+22．

∵∠ADC＝30°，∠CFD＝90°

∴CD＝2CF＝26+42．

如图2，从顶点B剪开纸片，当四边形BEDF是平行四边形时，

∵BE=BF，

∴平行四边形BEDF是菱形，

∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，

∴∠ADB=∠BDC=15°，

∵BE=DE，

∴∠AEB=30°，

∴设AB=y，则BE=2y，AE=3y，

∴DE=2y，

∵四边形BEDF面积为4，

∴AB×DE=4，

即2y2=4，

解得：y=2，

第23页共99页.

故AE=6，DE=22，

则CD=AD=6+22，

综上所述：CD的值为：26+42或6+22．

故答案为26+42或6+22．

【点睛】此题主要考查了剪纸问题以及勾股定理和平行四边形的性质、菱形的性质和判定等知识，根据题

意画出正确图形是解题关键．

3．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的

夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问

题：

(1)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点

F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？

(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，ABBC5，CD1，ADAB，点B到直线AD的距

离为BE，求BE的长．

【答案】(1)见解析

(2)4

【分析】（1）根据“直等补”四边形的定义进行逐项证明即可得出结论；

（2）如图（见解析），过C作CFBF于点F，首先证明四边形CDEF是矩形，则DECF，EFCD1，

再证明△ABE△BCF，根据全等三角形的判定与性质可得BE=CF，AE=BF，等量代换即可得BE=DE，由

AE=BF，EF=CD=1可得AE=BE-1，设BE=x，根据勾股定理解出x的值即可；

【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴ABCBADCD90，

∵将BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，

第24页共99页.

∴BEBF，CBEABF，

∴EBFABC90，

∴EBFD180，

∴四边形BEDF为“直等补”四边形；

（2）过C作CFBF于点F，如图，

则CFE90，

∵四边形ABCD是“直等补”四边形，ABBC5，CD1，ADAB，

∴ABC90，ABCD180，

D90

∵BFAD，

∴DEF90，

∴四边形CDEF是矩形，

∴EFCD1，

∵ABEACBEABE90，

∴ACBF，

∵AEBBFC90，ABBC5，

ABE≌BCF（AAS），

BECF，

设BECFx，则BFx1，

∵CE2BF2BC2，

2

∴x2x152，

解得，x4，或x3（舍），

∴BE4.

【点睛】本题考查四边形的综合，涉及新定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知

识点，有一定难度，熟练掌握相关知识并综合运用是解题关键．

第25页共99页.

4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，称四边形为余缺

四边形．

如图1，四边形ABCD，DB180，AC平分DAB，则四边形ABCD为余缺四边形．

【概念理解】

(1)用（填序号）一定可以拼成余缺四边形．

①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形；

(2)如图1，余缺四边形ABCD，AC平分DAB，若AD6，AB2，则S△ADC:S△ABC；

【初步应用】

如图2，已知△ABC，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线交于P点，连接PB、PC．

(3)求证：四边形ABPC为余缺四边形；

(4)若AB9，AC5，则PA2PB2的值为．

【迁移应用】

(5)如图3，MAN90，等腰Rt△PBC的B、C两点分别在射线AM、AN.上，且斜边BC10cm(P、A

在BC两侧)，若B、C两点在射线AM、AN上滑动时，四边形APBC的面积是否发生变化？若不变化，请

说明理由；若变化，直接写出面积的最大的值．

第26页共99页.

【答案】(1)①

(2)3

(3)见详解

(4)45

(5)变化；最大值是50

【分析】（1）依题意画出图形分析是否满足条件即可得到答案；

（2）利用角平分线上的点到两边距离相等的性质，可得△ADC与ABC等高，然后运用面积比等于底边长

的比得到答案；

（3）利用AP是角平分线构造全等三角形证明ABPACP180即可；

（4）运用勾股定理可得PA2AG2PG2，PB2BG2PG2，然后运用图中等量关系将AG和BG转化为

AB与AC即可；

（5）当ACBC时面积取得最大值．

【详解】（1）如图4，将两个全等的直角三角形沿斜边拼在一起组成一个新的四边形，则此四边形满足对

角线平分一组对角；且一组对角互补

两个全等的直角三角形一定能拼成余缺四边形；

如图5，将两个全等的等边三角形拼在一起组成一个新的四边形，此四边形的一组对角相加等于120

两个全等的等边三角形无法拼成余缺四边形；

故答案为：①

第27页共99页.

（2）如图6，过C点分别作AB，AD的垂线，垂足为E，F

AC平分BAC，

CECF

S△ADC:S△ABCADCF:ABCEAD:AB6:23

（3）如图7，过点P作PGAB，PHAC，垂足为G，H

AP平分BAC,PGAB，PHAC

PGPH

点P在BC的垂直平分线上

BPCP

在RtPBG和Rt△PCH中

PBPC

PGPH

△PBG≌△PCHHL

PCHPBG

PBAPCAPCHPCA180

AP平分BAC，

ABPC是余缺四边形．

第28页共99页.

（4）由勾股定理可知，PA2AG2PG2，PB2BG2PG2

PA2PB2

AG2PG2BG2PG2

AG2BG2

AGBGAGBG

ABAHCH

ABAC9545

（5）如图8，取BC中O，连接OA，作AQBC于点Q，

则在BC运动的过程中，始终有：AQOA

ABC是直角三角形，OA是斜边上的中线，

1

OABC5

2

AQOA5

11

S△BCAQ10525；

ABC22

PBC是等腰直角三角形

BC2PB2PC22PB2

11

PB2BC210250

22

121

S△PB5025

PBC22

SABPCS△ABCS△PBC252550．

第29页共99页.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定以及勾股定理，综合性较强，熟练掌握全等三角形的构造与相关

证明方法是本题的解题关键．

5．（2022秋·江苏南通·八年级如皋市实验初中校考阶段练习）如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若

AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．

(1)如图2，在等边ABE中，D、C分别是边AE、BE的中点，连接CD，问四边形ABCD是互补等对边四

边形吗？请说明理△由．

1

(2)如图3，在等腰ABE中，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．

2

△1

(3)如图4，在非等腰ABE中，若四边形ABCD是互补等对边四边形，试问∠ABD＝∠BAC＝∠AEB是否

2

仍然成立？若成立，△请加以证明；若不成立，请说明理由．

【答案】(1)四边形ABCD是互补等对边四边形，理由见解析

(2)见解析

(3)仍然成立，证明见解析

【分析】（1）先判断出AE=BE，再判断出∠ADB=90°，即可得出结论．

（2）根据等边对等角可得∠EAB=∠EBA，根据四边形ABCD是互补等对边四边形，可得AD=BC，根据SAS

可证ABD≌△BAC，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质即可证明；

△

第30页共99页.

（3）仍然成立；理由如下：如图所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，

证明AGD≌△BFC，得到AG=BF，又AB=BA，所以ABC≌△BAF，得到∠ABD=∠BAC，根据

∠AD△B+∠BCA=180°，得到∠EDB+∠ECA=180°，进而△得到∠AEB+∠DHC=180°，由∠DHC+∠BHC=180°，

所以∠AEB=∠BHC．因为∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，所以∠ABD=∠BAC=∠AEB．

（1）

解：四边形ABCD是互补等对边四边形，

理由：如图2，

∵△ABE是等边三角形，

∴AE=BE，

连接AC，BD，

∵点D是AE的中点，

∴BD⊥AE，

∴∠ADB=90°，

同理：∠BCA=90°，

∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，

∴四边形ABCD是互补等对边四边形．

（2）

解：∵AE=BE，

∴∠EAB=∠EBA，

∵四边形ABCD是互补等对边四边形，

∴AD=BC，

在△ABD和△BAC中，

AD=BC

DAB=CBA，

AB=BA

∴△ABD≌△BAC（SAS），

第31页共99页.

∴∠ADB=∠BCA，

又∵∠ADB+∠BCA=180°，

∴∠ADB=∠BCA=90°，

180AEB1

在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA==90°∠AEB，

22

11

∴∠ABD=90°∠EAB=90°(90°∠AEB)=∠AEB，

22

1

同理：∠BAC=∠AEB，

2

1

∴∠ABD=∠BAC=∠AEB；

2

（3）

解：仍然成立；

理由如下：如图4所示：

过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，

∵四边形ABCD是互补等对边四边形，

∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，

又∠ADB+ADG=180°，

∴∠BCA=∠ADC，

又∵AG⊥BD，BF⊥AC，

∴∠AGD=∠BFC=90°，

在△AGD和△BFC中，

AGD=BFC

BCA=ADC，

AD=BC

∴△AGD≌△BFC(AAS)，

∴AG=BF，

在Rt△ABG和Rt△BAF中，

第32页共99页.

AB=BA

，

AG=BF

∴Rt△ABG≌Rt△BAF(HL)，

∴∠ABD=∠BAC，

∵∠ADB+∠BCA=180°，

∴∠EDB+∠ECA=180°，

∴∠AEB+∠DHC=180°，

∵∠DHC+∠BHC=180°，

∴∠AEB=∠BHC．

∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，

1

∴∠ABD=∠BAC=∠AEB．

2

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和

性质，理解新定义，判断出△ABD≌△BAC是解本题的关键．

6．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市怡雅中学校考阶段练习）新定义：有一组邻边相等且对角互补的四边

形叫做等补四边形．如图1，在四边形ABCD中，ADCD，BADBCD180，则四边形ABCD是一个

等补四边形．

(1)在数学活动课上，怡怡小组对等补四边形ABCD进一步探究，发现BD平分ABC．怡怡小组提供的解题

思路是：如图2，过点D分别作DEBC于E，DFBA交BA的延长线于F，通过证明△ADF△CDE，

得DF=DE，再根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”得到BD平分ABC．请你写出

怡怡小组的完整证明过程；

(2)如图3，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，以AB为直径的⊙M交y轴于点C、D，点P为弧BC

上一动点（不与B、C重合）．

①求证：四边形ACPD始终是一个等补四边形；

第33页共99页.

PD2PC2

②在图3中，若A1,0，B3,0，连接PA，PB，的值是否会随着点P的移动而变化？若不变

PAPB

化，请求出该定值；若变化，请说明理由．

【答案】(1)见解析

PD2PC2

(2)①见解析；②的值不变，等于3，见解析

PAPB

【分析】(1)过点D分别作DEBC于E，DFBA交BA的延长线于F，通过证明△ADF△CDE，得

DF=DE即可．

(2)①根据垂径定理，圆内接四边形的性质证明即可．

PD2PC2BDAD

②过点A作AF⊥PD，AE⊥PC，交PC的延长线于点E，结论变形为=4，利用全等，

PAPBABAB

相似、三角函数计算即可．

（1）

如图，过点D分别作DEBC于E，DFBA交BA的延长线于F，

所以∠AFD=∠CED=90°，

因为四边形ABCD是等补四边形，

所以ADCD，BADBCD180，

因为BADDAF180，

所以∠DAF=∠DCE，

所以△ADF△CDE，

所以DF=DE，

所以BD平分ABC．

（2）

①因为AB是圆的直径，且AB⊥CD，

所以OC=OD，

所以直线AB是线段CD的垂直平分线，

第34页共99页.

所以AC=AD，

因为四边形ACPD是⊙M的内接四边形，

所以∠ACP+∠ADP=180°，

所以四边形ACPD始终是一个等补四边形．

PD2PC2

②的值不变，等于3，理由如下：

PAPB

如图，过点A作AF⊥PD，AE⊥PC，交PC的延长线于点E，

因为AC=AD，

所以∠APE=∠APF，

所以AE=AF，

因为AP=AP，

所以APE≌APF，AEC≌AFD，

所以△PE=PF，△EC=FD△．△

因为AB是直径，

所以∠APB=∠AFD=90°，

因为∠ADF=∠ABP，

所以ADF∽ABP，

ADDF

所以△△．

ABPB

因为PD+PC=PC+PF+DF=PC+EC+PF=PE+PF=2PF，PD-PC=PF+DF-PC=PE+DF-PC=EC+DF=2DF，

第35页共99页.

PD2PC2(PDPC)(PDPC)2PF2DFPFDF

所以==4．

PAPBPAPBPAPBPAPB

因为∠APD=∠ABD，

所以cos∠APD=cos∠ABD，

PFBD

所以．

PAAB

PD2PC2BDAD

所以=4．

PAPBABAB

因为A1,0，B3,0，

所以AB=4，圆的半径为2即AM=2，

所以AO=OM=1，

所以OD=2212=3，

所以AD=(3)212=2，

连接BD，

因为AB是直径，

所以∠ADB=90°，

所以BD=4222=23，

PD2PC2232

所以=4=3．

PAPB44

【点睛】本题考查了圆的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角函数，三角形的全等判定和性

质，角的平分线的性质，熟练掌握圆的性质，三角函数，勾股定理，三角形相似判定和性质是解题的关键．

7．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）问题提出：

苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：

1．如图（1），在O的内接四边形ABCD中，BD是O的直径．A与C、ABC与ADC有怎样的

数量关系？

2．如图（2），若圆心O不在O的内接四边形ABCD的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？

第36页共99页.

（1）小明发现问题1中的A与C、ABC与ADC都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：

∵BD是O的直径，

∴__________________，

∴AC180，

∵四边形内角和等于360，

∴__________________．

（2）请回答问题2，并说明理由．

深入探究：

如图3，O的内接四边形ABCD恰有一个内切圆I，切点分别是点E、F、G、H，连接GH，EF．

（1）直接写出四边形ABCD边满足的数量关系_________；

（2）探究EF、GH满足的位置关系；

（3）