专题48 解答题最常考题型一次函数的实际应用（解析版）

专题48解答题最常考题型一次函数的实际应用（解析版）

模块一2022中考真题集训

类型一利润最大问题

1．（2022•南通）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单

位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．

（1）写出图中点B表示的实际意义；

（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x

的取值范围；

（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．

思路引领：（1）根据图形即可得出结论；

（2）用待定那个系数法分别求出甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的

函数解析式即可；

（3）分0≤a≤30和30＜a≤120两种情况列方程求解即可．

解：（1）图中点B表示的实际意义为当销量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元；

（2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝kx（k≠0），

把（60，1200）代入解析式得：1200＝60k，

解得k＝20，

∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝20x（0≤x≤120）；

当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝k′

x（k′≠0），

把（30，750）代入解析式得：750＝30k′，

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解得：k′＝25，

∴y乙＝25x；

当30≤x≤120时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝

mx+n（m≠0），

则，

30�+�=750

解得60：�+�=1，200

�=15

∴y乙＝1�5=x+3000，

综上，乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙

；

＜

25�(0≤�≤30)

=

（3）15①�+当3000≤(3a0≤3�0时≤，120)

根据题意得：（20﹣8）a+（25﹣12）a＝1500，

解得：a＝60＞30，不合题意；

②当30＜a≤120时，

根据题意得：（20﹣8）a+（15﹣12）a+300＝1500，

解得：a＝80，

综上，a的值为80．

总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一

次函数的性质和数形结合的思想解答．

2．（2022•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5

件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．

（1）求购进A、B两种纪念品的单价；

（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量

不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？

（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货

方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．

思路引领：（1）设某商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，根据条件建立二元

一次方程组求出其解即可；

（2）设某商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，根据条件的数量关系建立不等式组求出其解

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即可；

（3）设总利润为W元，根据总利润＝两种商品的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求值即

可．

解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，

由题意，得，

10�+5�=1000

解得5，�+3�=550

�=50

∴该商�店=购10进0A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元；

（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，

根据题意，得50x+100y＝10000，

由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，

把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，

∵y≥20，

∴20≤y≤25且为正整数，

∴y可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，

与y相对应的x可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，

∴共有6种进货方案；

（3）设总利润为W元，

则W＝20x+30y＝﹣10y+4000，

∵﹣10＜0，

∴W随y的增大而减小，

∴当y＝20时，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），

∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．

总结提升：本题考查了一次函数、一元一次不等式解实际问题的运用，解答时求出A，B两种纪念品的

单价是关键．

3．（2022•苏州）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：

进货批次甲种水果质量乙种水果质量总费用

（单位：千克）（单位：千克）（单位：元）

第一次60401520

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第二次30501360

（1）求甲、乙两种水果的进价；

（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果

共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，

剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全

部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．

思路引领：（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．构建方程组求解；

（2）设第三次购进x千克甲种水果，则购进（200﹣x）千克乙种水果．由题意，得12x+20（200﹣x）≤

3360，解得x≥80．设获得的利润为w元，由题意，得w＝（17﹣12）×（x﹣m）+（30﹣20）×（200

﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，利用一次函数的性质求解．

解：（1）设甲两种水果的进价为每千克a元，乙两种水果的进价为每千克b元．

由题意，得，

60�+40�=1520

解得，30�+50�=1360

�=12

答：甲�种=水20果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．

（2）设第三次购进x千克甲种水果，则购进（200﹣x）千克乙种水果．

由题意，得12x+20（200﹣x）≤3360，

解得x≥80．

设获得的利润为w元，

由题意，得w＝（17﹣12）×（x﹣m）+（30﹣20）×（200﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，

∵﹣5＜0，

∴w随x的增大而减小，

∴x＝80时，w的值最大，最大值为﹣35m+1600，

由题意，得﹣35m+1600≥800，

解得m，

160

∴m的最≤大7整数值为22．

总结提升：本题考查一次函数的应用，二元一次方程组不等式等知识，解题的关键是学会利用参数构建

方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．

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4．（2022•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥

会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该

网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩

墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20

元．

（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？

（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计

划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？

思路引领：（1）根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶和1个

雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；

（2）根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超

过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可

得到利润的最大值．

解：（1）设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进价为y元/个，

由题意可得：，

15�+5�=1400

解得，�+�=136

�=72

答：冰�墩=墩64的进价为72元/个，雪容融的进价为64元/个；

（2）设冰墩墩购进a个，则雪容融购进（40﹣a）个，利润为w元，

由题意可得：w＝28a+20（40﹣a）＝8a+800，

∴w随a的增大而增大，

∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，

∴a≤1.5（40﹣a），

解得a≤24，

∴当a＝24时，w取得最大值，此时w＝992，40﹣a＝16，

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答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．

总结提升：本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应

的方程组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．

5．（2022•东营）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的

进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，

已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．

（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？

（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店

应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

思路引领：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，由题意：用1000元购

进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；

（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m）千克，利润为w元，由题意得w＝﹣m+450，再

由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2（150﹣m），然后由一次函数的性质即可得出

结论．

解：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，

由题意得：，

10001200

=+10

解得：x＝5，(1−20%)��

经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意，

则5×（1﹣20%）＝4，

答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；

（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m）千克，利润为w元，

由题意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，

∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，

∴m≥2（150﹣m），

解得：m≥100，

∵﹣1＜0，则w随m的增大而减小，

∴当m＝100时，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，

则150﹣m＝50，

答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．

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总结提升：本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：

（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．

6．（2022•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经

销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品

进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．

（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；

（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，

且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单

位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进

货方案；

（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，

甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大

值．

思路引领：（1）分当0≤x≤2000时，当x＞2000时，利用待定系数法求解即可；

（2）根据题意可知，分当1600≤x≤2000时，当2000＜x≤4000时，分别列出w与x的函数关系式，根

据一次函数的性质可得出结论；

（3）根据题意可知，降价后，w与x的关系式，并根据利润不低于15000，可得出a的取值范围．

解：（1）当0≤x≤2000时，设y＝k′x，根据题意可得，2000k′＝30000，

解得k′＝15，

∴y＝15x；

当x＞2000时，设y＝kx+b，

根据题意可得，，

2000�+�=30000

解得，4000�+�=56000

�=13

�=4000

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∴y＝13x+4000．

∴y．

＞

15�(0≤�≤2000)

=

（2）根1据3�题+意40可00知(�，购2进00甲0)种产品（6000﹣x）千克，

∵1600≤x≤4000，

当1600≤x≤2000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）•x＝﹣x+24000，

∵﹣1＜0，

∴当x＝1600时，w的最大值为﹣1×1600+24000＝22400（元）；

当2000＜x≤4000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，

∵1＞0，

∴当x＝4000时，w的最大值为4000+20000＝24000（元），

综上，w；

＜

−�+24000(1600≤�≤2000)

=

当购进甲产品�+2020000千00克(2，00乙0产�品≤440000千)克时，利润最大为24000元．

（3）根据题意可知，降价后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x﹣（13x+4000）＝（1﹣a）

x+20000﹣6000a，

当x＝4000时，w取得最大值，

∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．

∴a的最大值为0.9．

总结提升：本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．

类型二费用最少问题

7．（2022•钢城区）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵

乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．

（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？

（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍．则购买甲、乙两

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种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．

思路引领：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，可得：，

20�+16�=1280

即可解得甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；�−�=10

（2）设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，根据购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3

倍，得m≥25，而w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，由一次函数性质可得购买甲种树苗25棵，则购

买乙种树苗75棵，花费最少．

解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，

根据题意得：，

20�+16�=1280

解得，�−�=10

�=40

答：甲�种=树30苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；

（2）购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少，理由如下：

设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（100﹣m）棵，

∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，

∴100﹣m≤3m，

解得m≥25，

根据题意：w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，

∵10＞0，

∴w随m的增大而增大，

∴m＝25时，w取最小值，最小值为10×25+3000＝3250（元），

此时100﹣m＝75，

答：购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少．

总结提升：本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关

系式．

8．（2022•黔西南州）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，

已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300

元．

（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？

（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为

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70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，

应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．

思路引领：（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意列出关于x、

y的二元一次方程组，求解即可；

（2）设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为（400﹣m）盆，种植两种花卉的总费用

为w元，由题意：这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，列出一元一次不等式，解得m≤200，再

由题意得w＝﹣30m+24000，然后由一次函数的性质即可得出结论．

解：（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意，

得：，

3�+4�=330

解得：4�+3�=，300

�=30

答：每盆�=A种60花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元；

（2）设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为（400﹣m）盆，种植两种花卉的总费用

为w元，

根据题意，得：（1﹣70%）m+（1﹣90%）（400﹣m）≤80，

解得：m≤200，

w＝30m+60（400﹣m）＝﹣30m+24000，

∵﹣30＜0，

∴w随m的增大而减小，

当m＝200时，w的最小值＝﹣30×200+24000＝18000，

答：种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元．

总结提升：本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，

正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

9．（2022•济宁）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货

车载重量及到A，B两地的运输成本如表：

货车类型载重量（吨/辆）运往A地的成本（元/运往B地的成本（元/

辆）辆）

甲种161200900

乙种121000750

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（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；

（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设

甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．

①写出w与t之间的函数解析式；

②当t为何值时，w最小？最小值是多少？

思路引领：（1）设甲种货车用了x辆，可得：16x+12（24﹣x）＝328，即可解得甲种货车用了10辆，乙

种货车用了14辆；

（2）①根据题意得：w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500

②根据前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，可得4≤t≤10，由一次函数性质

可得当t为4时，w最小，最小值是22700元．

解：（1）设甲种货车用了x辆，则乙种货车用了（24﹣x）辆，

根据题意得：16x+12（24﹣x）＝328，

解得x＝10，

∴24﹣x＝24﹣10＝14，

答：甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；

（2）①根据题意得：

w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500

∴w与t之间的函数解析式是w＝50t+22500；

②∵�≥0，

12−�≥0

10−�≥0

∴0≤t≤1410−，(12−�)≥0

∵前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，

∴16t+12（12﹣t）≥160，

解得t≥4，

∴4≤t≤10，

在w＝50t+22500中，

∵50＞0，

∴w随t的增大而增大，

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∴t＝4时，w取最小值，最小值是50×4+22500＝22700（元），

答：当t为4时，w最小，最小值是22700元．

总结提升：本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．

10．（2022•深圳）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型

的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．

（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．

（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低

费用是多少．

思路引领：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，根据用110元购买

的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样列方程，从而可解决问题；

（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，列出w关于a

的函数解析式，由一次函数的性质可得答案．

解：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，

由题意得，，

110120

=

解得x＝11，��+1

经检验x＝11是原方程的解，且符合题意，

∴乙类型的笔记本单价为x+1＝11+1＝12（元），

答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元；

（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，

∵购买的乙的数量不超过甲的3倍，

∴100﹣a≤3a，且100﹣a≥0，

解得25≤a≤100，

根据题意得w＝11a+12（100﹣a）＝11a+1200﹣12a＝﹣a+1200，

∵﹣1＜0，

∴w随a的增大而减小，

∴a＝100时，w最小值为﹣100+1200＝1100（元），

答：最低费用为1100元．

总结提升：本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题

意，列出方程和函数解析式是解题的关键．

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11．（2022•十堰）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售

，＜

时间x（天）之间的关系式是y，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之

，＜

2�0�≤30

=

间的函数关系如图所示．−6�+24030�≤40

（1）第15天的日销售量为30件；

（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；

（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？

思路引领：（1）利用日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式，将x＝15代入对应的函数关系

式中即可；

（2）利用分类讨论的方法，分①当0＜x≤20时，②当20＜x≤30时两种情形解答：利用日销售额＝日

销售量×销售单价计算出日销售额，再利用一次函数和二次函数的性质解答即可；

（3）利用分类讨论的方法，分①当0＜x≤20时，②当20＜x≤30时两种情形解答：利用已知条件列出

不等式，求出满足条件的x的范围，再取整数解即可．

，＜

解：（1）∵日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y，

，＜

2�0�≤30

=

∴第15天的销售量为2×15＝30件，−6�+24030�≤40

故答案为：30；

（2）由销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数图象得：

＜

p，

40(0�≤2＜0)

=1

①当500＜−x2≤�(2200时，�≤40)

日销售额＝40×2x＝80x，

∵80＞0，

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∴日销售额随x的增大而增大，

∴当x＝20时，日销售额最大，最大值为80×20＝1600（元）；

②当20＜x≤30时，

日销售额＝（50x）×2x＝﹣x2+100x＝﹣（x﹣50）2+2500，

1

∵﹣1＜0，−2

∴当x＜50时，日销售额随x的增大而增大，

∴当x＝30时，日销售额最大，最大值为2100（元），

综上，当0＜x≤30时，日销售额的最大值为2100元；

（3）由题意得：

当0＜x≤30时，2x≥48，

解得：24≤x≤30，

当30＜x≤40时，﹣6x+240≥48，

解得：30＜x≤32，

∴当24≤x≤32时，日销售量不低于48件，

∵x为整数，

∴x的整数值有9个，

∴“火热销售期”共有9天．

总结提升：本题主要考查了一次函数的应用，一次函数的性质，二次函数的性质，配方法求函数的极值，

正确利用自变量的取值范围确定函数的关系式是解题的关键．

12．（2022•通辽）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买

一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：

甲：所有商品按原价8.5折出售；

乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．

设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图

象如图所示．

（1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；

（2）两图象交于点A，求点A坐标；

（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

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思路引领：（1）根据题意和题目中的数据，可以分别写出y甲，y乙关于x的函数关系式；

（2）根据（1）中的结果和题意，令0.85x＝0.7x+90，求出x的值，再求出相应的y的值，即可得到点A

的坐标．

（3）根据函数图象和（2）中点A的坐标，可以写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

解：（1）由题意可得，

y甲＝0.85x，

当0≤x≤300时，y乙＝x，

当x＞300时，y乙＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90，

则y乙；

＞

�(0≤�≤300)

=

（2）令00.8.75�x＝+09.07x+(9�0，300)

解得x＝600，

将x＝600代入0.85x得，0.85×600＝510，

即点A的坐标为（600，510）；

（3）由图象可得，

当x＜600时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当x＝600时，两家体育专卖店购买体育用品一样

合算；当x＞600时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算．

总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

13．（2022•广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂

运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．

（1）求A、B两厂各运送多少吨水泥；

（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设

从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请

你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．

思路引领：（1）设A厂运送水泥x吨，则B厂运送水泥（x+20）吨，根据A、B两厂向甲乙两地运送水

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泥共520吨列出方程，解方程即可；

（2）设从A厂运往甲地水泥a吨，则A厂运往乙地水泥（250﹣a）吨，B厂运往甲地水泥（240﹣a）

吨，B厂运往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）吨，然后根据题意列出总费用w关于a的函数解析

式，并根据函数的性质求最值，以及此时a的值．

解：（1）设A厂运送水泥x吨，则B厂运送水泥（x+20）吨，

根据题意得：x+x+20＝520，

解得：x＝250，

此时x+20＝270，

答：A厂运送水泥250吨，B厂运送水泥270吨；

（2）设从A厂运往甲地水泥a吨，则A厂运往乙地水泥（250﹣a）吨，B厂运往甲地水泥（240﹣a）

吨，B厂运往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）吨，

由题意得：w＝40a+35（250﹣a）+28（240﹣a）+25（a+30）＝40a+8750﹣35a+6720﹣28a+25a+750＝

2a+16220，

∵B厂运往甲地的水泥最多150吨，

∴240﹣a≤150，

解得：a≥90，

∵2＞0，

∴w随a的增大而增大，

∴当a＝90时，总运费最低，

最低运费为：2×90+16220＝16400（元），

∴最低运送方案为A厂运往甲地水泥90吨，运往乙地水泥160吨：B厂运往甲地水泥150吨，B厂运往

乙地水泥120吨，最低运费为16400元．

总结提升：此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，求得一次函

数解析式，然后根据一次函数的性质求解．

14．（2022•遵义）遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种

型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用

15000元购买B型设备的数量多4台．

（1）求A，B型设备单价分别是多少元；

（2）该校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买a台A型设

1

3

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备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．

思路引领：（1）设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元，根据“用30000元

购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台”建立方程，解方程即可．

（2）根据总费用＝购买A型设备的费用+购买B型设备的费用，可得出w与a的函数关系式，并根据两

种设备的数量关系得出a的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论．

解：（1）设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元，

根据题意得，4，

3000015000

=+

解得：x＝25001．.2��

经检验，x＝2500是原方程的解．

∴1.2x＝3000，

∴每台B型设备的价格为2500元，则每台A型号设备的价格为3000元．

（2）设购买a台A型设备，则购买（50﹣a）台B型设备，

∴w＝3000a+2500（50﹣a）＝500a+125000，

由实际意义可知，，

�≥0

50−�≥0

1

∴12.5≤a≤50且a为�≥整3数(，50−�)

∵500＞0，

∴w随a的增大而增大，

∴当a＝13时，w的最小值为500×13+125000＝131500（元）．

∴w＝500a+125000，且最少购买费用为131500元．

总结提升：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

15．（2022•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天

全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：

，

千克）与x之间的函数关系式为y，草莓价格m（单位：元/千克）与x之

，＜

12�0≤�≤10

=

间的函数关系如图所示．−20�+32010�≤16

（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；

（2）求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式；

（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？

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思路引领：（1）当10≤x≤16时，y＝﹣20x+320，把x＝14代入，求出其解即可；

（2）利用待定系数法即可求得草莓价格m与x之间的函数关系式；

（3）利用销售金额＝销售量×草莓价格，比较第8天与第10天的销售金额，即可得答案．

解：（1）∵当10≤x≤16时，y＝﹣20x+320，

∴当x＝14时，y＝﹣20×14+320＝40（千克），

∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．

（2）当4≤x≤12时，设草莓价格m与x之间的函数关系式为m＝kx+b，

∵点（4，24），（12，16）在m＝kx+b的图象上，

∴，

4�+�=24

解得12：�+�=1，6

�=−1

∴函数解�析=式28为m＝﹣x+28．

（3）当0≤x≤10时，y＝12x，

∴当x＝8时，y＝12×8＝96，

当x＝10时，y＝12×10＝120；

当4≤x≤12时，m＝﹣x+28，

∴当x＝8时，m＝﹣8+28＝20，

当x＝10时，m＝﹣10+28＝18

∴第8天的销售金额为：96×20＝1920（元），

第10天的销售金额为：120×18＝2160（元），

∵2160＞1920，

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∴第10天的销售金额多．

总结提升：此题考查了一次函数的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得

函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．

类型三行程问题

16．（2022•盐城）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲

地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．

（1）小丽步行的速度为80m/min；

（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．

思路引领：（1）用路程除以速度即可得小丽步行的速度；

（2）求出小华的速度，即可求出两人相遇所需的时间，进而可得小丽所走路程，即是他们到甲地的距离．

解：（1）由图象可知，小丽步行的速度为80（m/min），

2400

=

故答案为：80；30

（2）由图象可得，小华骑自行车的速度是120（m/min），

2400

=

∴出发后需要12（min）两人相遇，20

2400

=

∴相遇时小丽所12走0+的80路程为12×80＝960（m），

即当两人相遇时，他们到甲地的距离是960m．

总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息．

17．（2022•长春）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出

发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继

续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程

y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．

（1）m＝2，n＝6；

（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；

（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．

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思路引领：（1）由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出m＝2，根据以另

一速度继续匀速行驶4小时到达B地知n＝6；

（2）用待定系数法可得y＝60x+80，（2≤x≤6）；

（3）求出乙的速度，即可得乙到A地所用时间，即可求得甲车距A地的路程为300千米．

解：（1）由题意知：m＝200÷100＝2，

n＝m+4＝2+4＝6，

故答案为：2，6；

（2）设y＝kx+b，将（2，200），（6，440）代入得：

，

2�+�=200

解6�得+�=44，0

�=60

∴y＝�60=x+8800，（2≤x≤6）；

（3）乙车的速度为（440﹣200）÷2＝120（千米/小时），

∴乙车到达A地所需时间为440÷120（小时），

11

=

当x时，y＝6080＝300，3

1111

∴甲=车3距A地的路程×为33+00千米．

总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．

18．（2022•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从

B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前

往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分

钟）之间的函数图象．

请解答下列问题：

（1）填空：甲的速度为300米/分钟，乙的速度为800米/分钟；

（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x

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的取值范围；

（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．

思路引领：（1）利用速度＝路程÷时间，找准甲乙的路程和时间即可得出结论；

（2）根据（1）中的计算可得出点G的坐标，设直线FG的解析式为：y＝kx+b，将F，G的坐标代入，

求解方程组即可；

（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．

解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），

∴乙的速度为：800÷1＝800（米/分钟），

∴乙从B地到C地用时：2400÷800＝3（分钟），

∴G（6，2400）．

∴H（8，2400）．

∴甲的速度为2400÷8＝300（米/分钟），

故答案为：300；800；

（2）设直线FG的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且由图象可知F（3，0），

由（1）知G（6，2400）．

∴，

3�+�=0

解得6�，+�=2400．

�=800

∴直线F�G=的−解24析00式为：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．

（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米．

∵O（0，0），H（8，2400），

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∴直线OH的解析式为：y＝300x，

∵D（1，800），

∴直线OD的解析式为：y＝800x，

当0≤x≤1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向走，

∴令800x+300x＝600，解得x．