人教版 数学 八年级上册 全册 期末复习资料 分类专题

专题等腰（边）三角形与直角三角形

口解读考点

知识点名师点晴

等腰三等腰三角形的性质理解等腰三角形的性质，并能解决等腰三角形的有关计算

角形

等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法，会证明一个三角形是等腰三角形

等边三角形的性质理解等边三角形的性质

等边三

角形等边三角形的判定拿提等边三角形的判定方法，会证明一个三角形是等边三角形

直角三角形的性质理解直角三角形的有关性质

直角三

直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法，会证明一个三角形是直角三角形

角形

勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理

02年中考

【2015年题组】

1.（2015来宾）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.4,5,6D.1,力，也

【答案】D.

【解析】

222

试题分析：A.l+2^3f不能组成直角三角形，故错误；

B.22+32^42,不能组成直角三角形，故错误；

C.42+5206?,不能组成直角三角形，故错误；

D『+（a）2=（退）2,能够组成直角三角形，故正确

故选D.

考点：勾股定理的逆定理.

2.（2015南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC,ZB=70°,则NC的度数为（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】A.

【解析】

飒分析：•.•A^SD中，.铝=/D,N5=70°,，4=乙必=初,；・N4DC=1800-Z4D5=110°,,：AD=CD,

.'.ZG=（180°-乙3）4-2=（IS。。-110°）+2=35°,故选A.

考点：等腰三角形的性质.

3.（2015来宾）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=100°,AB的垂直平分线DE分别交

AB、BC于点D、E,则NBAE=（）

【答案】D.

【解析】

试题分析：TAB=AC,ZBAC=100°,/.ZB=ZC=（180°-100°）^-2=40°,YDE是AB的

垂直平分线，・・・AE=BE,，NBAE=/B=40。，故选D.

考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的性质.

4.（2015内江）如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分NABC交AC于点D,AE〃BD交

CB的延长线于点E.若NE=35。，则NBAC的度数为（）

A.40°B.45°C.60°D.70°

【答案】A.

【解析】

试题分析：VAE/7BD,AZCBD=ZE=35°,VBD¥5>ZABC,/.ZCBA=70°,VAB=AC,

AZC=ZCBA=70°,AZBAC=180°-70°x2=40°.故选A.

考点：1.等腰三角形的性质；2.平行线的性质.

5.（2015荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为（）

A.8或10B.8C.10D.6或12

【答案】C.

【解析】

试题分析：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4,・.・2+2=4,・••不能组成三角形，

②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4,能组成三角形，周长=2+4+4=10,

综上所述，它的周长是10.故选C.

考点：1.等腰三角形的性质：2.三角形三边关系；3.分类讨论.

6.（2015广州）己知2是关于x的方程一一2血+3加=0的一个根，并且这个方程的两个

根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）

A.10B.14C.10或14D.8或10

【答案】B.

【解析】

试题分析：是关于X的方程，-2皿+3加=°的一个根，.・.22-4m+3m=0,m=4,

x2-8x+12=0,解得x=2或x=6.

①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；

②当6是底边时，2是腰，2+2V6,不能构成三角形.

所以它的周长是14.

故选B.

考点：1.解一元二次方程-因式分解法；2.一元二次方程的解；3.三角形三边关系；4.等

腰三角形的性质；5.分类讨论.

7.（2015丹东）如图，在AABC中，AB=AC,ZA=30°,E为BC廷长线上一点，ZABC

与NACE的平分线相交于点D,则ND的度数为（）

【答案】A.

【解析】

试题分析：..ZW3C的平分线与4d的平分线交于点D,，/l=N2,N3=N4,,.•N4CE=4+N?5C,

即Nl+N2=N3+N4+Nzb.•.2Nl=2N3+4,•.•/1=N3+N0,.•.ND=1ZzJ=1X30°=15°.故选A.

考点：等腰三角形的性质.

8.（2015龙岩）如图，在边长为6的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交

NABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为（)

BC

A.3B.2c.百D.1

【答案】D.

【解析】

试题分析：VAABC为等边三角形，BP平分NABC,・・・NPBC=2ZABC=30°,VPC±BC,

岳也

/.ZPCB=90°,在Rt^PCB中，PC=BC*tanZPBC=3=1,工点P到边AB所在直线

的距离为1，故选D.

考点：1.角平分线的性质；2.等边三角形的性质；3.含30度角的直角三角形；4.勾股

定理.

9.（2015乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）

66262石

A.3B.5C.3D.5

【答案】D.

【解析】

试题分析：过B点作BD1AC,如图，由勾股定理得，郎代+3'=而,3也”=2&,

,.ID2y/22存收过一

-=.=---->故选D.

AB55

考点：1.锐角三角函数的定义；2.勾股定理；3.勾股定理的逆定理；4.网格型.

10.（2015资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为

10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且

离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）

A.13cmB.2病cmC.病cmD.2^cm

【答案】A.

【解析】

试题分析：如图：:高为12勿:，底面周长为在容器内壁离容器底部*加的袅3处有一饭粒，此时

蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿女加与饭粒相对的点N处，.3Al2-3-XE=12G〃，...将容

器侧面展开，作工关于三的对称点二，百■的则NE即为最矩距离，/方J/。：+BD：=后+1。=13

（Cm）.故选A.

考点：1.平面展开-最短路径问题；2.最值问题.

11.（2015德阳）如图，在RsABC中，ZACB=90°,CD为AB边上的高，若点A关于

CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则NB的度数是（）

【答案】c.

【解析】

试题分析：•・・在RsABC中，ZACB=90°,CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线

的对称点E恰好为AB的中点，・・・NCED二NA,CE二BE=AE,JNECA二NA,ZB=ZBCE,

•・.△ACE是等边三角形，AZCED=60°,/.ZB=2ZCED=30°.故选C.

考点：1.直角三角形斜边上的中线；2.轴对称的性质.

12.（2015眉山）如图，在RSABC中，ZB=900,ZA=300,DE垂直平分斜边AC,交AB

于D,E是垂足，连接CD.若BD=L则AC的长是（）

A.2百B.2C.46D.4

【答案】A.

【解析】

试题分析:在放A43C中,•/ZMOS.・.N4C5・600,fDE垂直平分斜边/C,・・.ND-CD,

Ss

/ACD=/A^,/./DCB=6Q-30=30°,RtADBC,75=90=,ZDCS=3O0,5P=1,：.CD=lBD=lf

由勾股定理得：BO-,在aAJ3C中，Z5-9O0,乙扣30、BdJ，—BC=2出,故

选A.

考点：1.含30度角的直角三角形；2.线段垂直平分线的性质：3.勾股定理.

13.（2015荆门）如图，在△ABC中，ZBAC=RtZ,AB=AC,点D为边AC的中点，DE_LBC

于点E,连接BD,则tan/DBC的值为（）

A

/

C

11

A.4B.五TC.2-6D.4

【答案】A.

【解析】

试题分析：.・•在aABC中，ZBAC=RtZ,AB=AC,AZABC=ZC=45°,BC=J^AC,又

•.•点D为边AC的中点，/.AD=DC=2AC,〈DELBC于点E,AZCDE=ZC=45°,/.

与AC

#4器近AC-旦ACi

DE=EC=2DC=4AC,.e.tanZDBC=BE=4=3.故选A.

考点：1.解直角三角形；2.等腰直角三角形.

14.（2015襄阳）如图，在△ABC中，NB=30。，BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为

D,CE平分NACB.若BE=2,贝JAE的长为（）

A.eB.1C.CD.2

【答案】B.

【解析】

试题分析：:在AWBC中，4=30°,BC的垂直平分线交•始于段密2,.,.密CE=2,，N5=NDCE=30°,

;直平分/NC3,：./ACB^2/DCE^,/ACE=/DCE=30。,/.Z^ISO0一/3-//（3=90°,在

万△CdE中，•.•乙490。，ZU咨30。，CE=2,：.AE=-CE=\.故选B.

考点：1.含30度角的直角三角形；2.角平分线的性质；3.线段垂直平分线的性质.

15.（2015北京市）如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若

测得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为（）

B

A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km

【答案】D.

【解析】

试题分析：•・•在RtZ^ABC中,ZACB=90°,M为AB的中点，・,.MC=2AB=AM=L2km.故

选D.

考点：1.直角三角形斜边上的中线；2.应用题.

16.（2015天水）如图，在四边形ABCD中，ZBAD=ZADC=90°,AB=AD=2>/2,CD=

3

及，点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为5，则点P的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A.

【解析】

试题分析:过点工作XE1ED于E,过点C作CF1BD于FJ-C=90rBWD=2m,CD=0,

N/3D=N/D3=45°,；.NsinZABD=—,/.AE=.4BsinZ

.IB

X3A20—=20・4=2>，所以在.3和3边上有符合尸到庆）的距离为q的点2个，故选

考点：1.等腰直角三角形；2.点到宜线的距离.

17.（2015龙岩）如图，在边长为由的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交

ZABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为（）

A.3B.2c.百D.1

【答案】D.

【解析】

试题分析：:△zLSC为等边三角形，班平分入W7,J：PClBC,：2PCB=9Q0,

在出△尸C3中，尸。=3。・的/93。=#><当=1,，点9至1］边月5所在直线的距离为1,故选D.

考点：1.角平分线的性质；2.等边三角形的性质；3.含30度角的直角三角形；4.勾股

定理.

18.（2015龙东）AABC中，AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点，过点P作PD_L

AB于点D,PE±AC于点E,则PD+PE的长是（）

A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5

【答案】A.

【解析】

试题分析：过A点作AFJ_BC于F,连结AP,〈△ABC中，AB=AC=5,BC=8,/.BF=4,

_________1_j_1_j_

/.△ABF中，AF=J初-犷=3.・2x8x3=2x5xPD+2x5xPE,12=2x5x（PD+PE）,

考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质；3.动点型.

19.（2015安顺）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B

恰好与点O重合，若BC=3,则折痕CE的长为（）

B

A.2白B.2C.6D.6

【答案】A.

【解析】

试题分析：•「△CE。是ACEB翻折而成，BE=OE,N3=NCOE=90°,.•.H0_UC,<。是矩形

ABCD的中心，，耍是HC的垂直平分线,.40250=2X3=6,.,.HE=CE,在RABC中，AC2=AB2+BC2,

22z22

SP6=-15+3\解得X5=3j,在&AJ0E中，设。E=x,贝iJdH=30-x,AE=AO+OEf即

（3，-x>=3?+/,解得"书，：..4E=EC=3出-相=2石.故选A.

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理.

20.（2015滨州）如图，在直角N0的内部有一滑动杆AB,当端点A沿宜线A0向下滑动

时，端点B会随之自动地沿直线0B向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到AB，处，那

么滑动杆的中点C所经过的路径是（）

A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

【答案】B.

【解析】

试题分析：连接OC、OCS如图，：ZAOB=90°,C为AB中点，.,.0C=2AB=2AB』0C,

・•・当端点A沿直线A0向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，••・滑动杆的中

点C所经过的路径是一段圆弧.

考点：1.轨迹；2.直角三角形斜边上的中线.

21.（2015烟台）如图，正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰

直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2,...

按照此规律继续下去，则S2015的值为（）

£

【答案】c.

【解析】

试题分析：根据题意：第一个正方形的边长为二第二个正方形的边长为：乌乂2；

第三个正方形的边长为：（与：乂2,第八个正方形的边长是（g）=x2,所以的值是（3他一

故选C.

考点：1.等腰直角三角形；2.正方形的性质；3.规律型；4.综合题.

22.（2015烟台）等腰三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程

,-64+1=°的两根，则n的值为（）

A.9B.10C.9或10D.8或10

【答案】B.

【解析】

试题分析：•・•三角形是等腰三角形，，①a=2,或b=2,②a=b两种情况：

①当a=2,或b=2时，：a,b是关于x的一元二次方程,-6工+〃-1=°的两根，.・.x=2,

把x=2代入/一6"+"-1=°得，4-6x2+n-1=0,解得：n=9,当n=9,方程的两根是2

和4,而2,4,2不能组成三角形，故n=9不合题意；

②当a=b时，方程,一6》+"-1=0有两个相等的实数根，・4（n-1）=0,

解得：n=10,故选B.

考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的解；3.等腰直角三角形；4.分类讨论.

23.（2015崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的

个数有（）

【答案】B.

【解析】

试题分析：第一个图形正三角形的个数为5,

第二个图形正三角形的个数为5X3+2=17,

第三个图形正三角形的个数为17X3+2=53,

第四个图形正三角形的个数为53X3+2=161,

故选B.

考点：1.规律型；2.综合题.

24.（2015宿迁）如图，在RlZXABC中，NACB=90。，点D,E,F分别为AB,AC,BC的

中点.若CD=5,则EF的长为

【答案】5.

【解析】

试题分析：•.•Ag5C1是直角三角形，8是斜边的中线，...CD"；.2，又TE尸是△*，的中位线，J

AB=2CD=2^5=10cm,：.EF=-^0=5cm.故答案为：5.

考点：1.三角形中位线定理；2.直角三角形斜边上的中线.

25.（2015常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于

坐标原点O,古塔位于点A（400,300）,从古塔出发沿射线OA方何前行300m是盆景园

B,从盆景园B向左转9（F后直行400m到达梅花阁C,则点C的坐标

是

【答案】(400,800).

【解析】

试题分析：连接AC,由题意可得：AB=300m,BC=400m,在AAOD和4ACB中，:AD=AB,

ZODA=ZABC,DO=BC,AAAOD^AACB(SAS),/.ZCAB=ZOAD,TB、。在一条

直线上，AC,A,D也在一条直线上，

/.AC=AO=500m,则CD=AC=AD=800m,AC点坐标为：(400,800).故答案为：(400,

800).

考点：1.勾股定理的应用：2.坐标确定位置；3.全等三角形的应用.

26.（2015南通）如图，AABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB,ZBAC=102°,贝i」NADC二

度.

【答案】52.

【解析】

城分析：'UCTADB,：.4=/BAD,ZADONC,设ZADC=a,.*./5=4乂2＞】，'/ZAJC-102°,

.,.Za-JC=102°-y,在ZUDC中，•.•zUDC-NC-ND.WC=180°,.•・2aT02'-£=18T,解得：a=52°.故

答案为：52.

考点：等腰三角形的性质.

27.（2015苏州）如图，在aABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB,点A、D关于点F对

称，过点F作FG〃CD,交AC边于点G,连接GE.若AC=18,BC=12,则4CEG的周长

为.

【答案】27.

【解析】

试题分析：•点A、D关于点F对称，.••点F是AD的中点.・・・CD_LAB,FG/7CD,AFG

是4ACD的中位线，AC=18,BC=12,ACG=2AC=9.丁点E是AB的中点，，GE是4

ABC的中位线，・・・CE=CB=12,・・・GE=2BC=6,/.△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27.故

答案为：27.

考点：1.三角形中位线定理；2.等腰三角形的性质；3.轴对称的性质.

28.（2015西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数

是.

【答案】110。或70°.

【解析】

试题分析：止倒要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部.根据三角形的一个外角

等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°5当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上

的高在其内部，故顶角是90°-20*=70*.故答案为：110。或70°.

考点：1.等腰三角形的性质；2.分类讨论.

29.（2015南宁）如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则NBED的度数是

【答案】450.

【解析】

试题分析：•・•四边形ABCD是正方形，/.AB=AD,ZBAD=90°..・•等边三角形ADE,:.

AD=AE,ZDAE=ZAED=60°.ZBAE=ZBAD+ZDAE=900+60°=150°,AB=AE,ZAEB=

ZABE=（18O°-ZBAE）^2=15°,ZBED=ZDAE-ZAEB=6O°-15°=45°,故答案为：45°.

考点：1.正方形的性质：2.等边三角形的性质.

30.（2015攀枝花）如图，在边长为2的等边aABC中，D为BC的中点，E是AC边上一

点，则BE+DE的最小值为

【答案】布.

【解析】

试题分析：作B关于.4C的对称点8,连接89、B1D,交.4C于心止脚f根据两点

之间线段最短可知就是3E-ZD的最小值，•.•5、B关于月C的对称，35互相垂直平分，，四边

形N8C3是平行四边形，•.•三角形是边长为2,二。为3c的中点，.•上J13C,,3D=8=1,

BBS32，作BG1BC的延长线于G,：.BOAD-,

在RtAB'BG中，BG==J(2■)、(我?=3,：.DG=BG-525=3-1=2,

在RtAB'DG中，BD~JDG:+B'GZ-/2：+函)2=6.故BE-ED的最小值为币.

考点：1.轴对称-最短路线问题：2.等边三角形的性质；3.最值问题：4.综合题.

31.（2015昆明）如图，aABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H,BC=4^,在BE

上截取BG=2,以GE为边作等边三角形GEF,则AABH与4GEF重叠（阴影）部分的面

积为

更

【答案】2.

【解析】

试题分析：如图所示，由是等边三角形，BC=4后,得到上»%＞与806,理,

由直角三角的性质，得/3郎90,-NHM-60。,由对顶角相等，得N.I颂＞/月的60：,由502,得EG-BE

-506-2=4.由GE为边作等边三角形G£F,得尸G=EG=4,NEGF=/GEF=60。，△•烟是等边三角形;

S^BC=-AC-3E=-AC^EH^EH=-BE=-X6=2.由三角形外角的性质，得/次F=/FGE—Z15G=60=-

2233

30°=30S由N23G=N8，G=3%得？802,由线段的和差，得二=FGTG=4-2=2,由对顶角相等，得

/F44BU巡,由N/TMN尸・90，，宵/尸.\7-90。，由锐角三角的数，得FXT,洋也.S工—S

――二辽邛＞＜＞42二3-1=竽，故答案为：竺.

考点：1.等边三角形的判定与性质；2.三角形的重心；3.三角形中位线定理；4.综合题；

5.压轴题.

32.（2015淄博）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，NBDC=90。,

连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三

角形的顶角分别是度.

试题分析：•・•等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，ZBDC=90°,A

ZABD=ZABC-ZDBC=60°-45°=15°,在AABD与4ACD中，VAB=AC,ZABD=Z

ACD,BD=CD,AAABD^AACD（SAS）,工NBAD二NCAD=30。，，过点D作一条直线

将4ABD分割成两个等腰三角形：则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是180°-15°-

15°=150°；180°-30°-30°=120°,故答案为：120,150.

考点：1.等腰直角三角形；2.等腰三角形的性质；3.等边三角形的性质；4.综合题.

33.（2015黄冈）在△ABC中，AB=13cm,AC=20cm,BC边上的高为12cm,则△ABC的

面积为cm.

【答案】126或66.

【解析】

试题分析：当N3为锐角时（如图1）,在五△4即中，2D=y/.lB2~.U）:=V13：-12:=5cm,在用2UDC

中，CD-^AC:-AD2-V20:-12:-16cw,.•.5021,，，以二二:万。/〉；x21xi2-126cwb

当N5为钝角时（如图2），在&0SD中，BD-y/AB2-.U）:-V13：-12：-5cw,在&4DC中，

CD=y/ACz-AD:=J2。二-1J=16c冽,：.BC=CD-BD=\6-5=llcwi,

=

-3CA^—x11x12=66CW*,

故答案为：126或66.

考点：1.勾股定理；2.分类讨论；3.综合题.

34.（2015庆阳）在底面.直径为2cm,高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A

至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm.（结果保留兀）

【答案】3&+1.

【解析】

试题分析：如图所示，•・•无弹性的丝带从A至C,绕了1.5圈，，展开后AB=1.5x2兀=3nm,

BC=3cm,由勾股定理得:AC="^+5cl=J9笳T■^=3^/^2+^cm.故答案为：3\^+1,

B

考点：1.平面展开-最短路径问题；2.最值问题.

35.（2015朝阳）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：

AM=4米，AB=8米，ZMAD=45%ZMBC=30°,则警示牌的高CD为米（结果

精确到0.1米，参考数据：五二1.41,百=1.73）.

C

多雾路段

M月B

【答案】2.9.

【解析】

试题分析:由题意可得：:丁以=4米，4M345°,.MU-米，曲8米，，MB=12米，•・,

Z3/30300,/.5O2.WC,：.^+^-=（2.WC）2,.\/（^+122=（2\/C）：.MC=4>/3-4^2.9（米），故

答案为：2.9.

考点：勾股定理的应用.

36.（2015辽阳）如图，在△ABC中，BD_LAC于D,点E为AB的中点，AD=6,DE=5,

则线段BD的长等于

【答案】8.

【解析】

试题分析：TBDLAC于D,点E为AB的中点，.'AB=2DE=2x5=10,・••在Rt^ABD中,

2222故答案为：

BD=>JAB-AD=V10-6=8.8.

考点：1.直角三角形斜边上的中线；2.勾股定理.

37.（2015柳州）如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB_LBC,BC=4,CD=5.

（1）求DB的长；

（2）在△ABC中，求BC边上高的长.

【答案】(1)3；(2)6.

【解析】

试题分析：(D直接利用勾股定理得出BD的长即可；

(2)利用三角形中位线定理得出即可得到结论.

22

,解析：(1),：DBlBCf504,CD=5,：.BD=^5-4=3)

(2)延长C8,过点/作延长线于点E,..,DS18C,•正IBC,.,..4E//D3,r。为RC边的中点,

考点：1.勾股定理；2.三角形中位线定理.

38.(2015柳州)如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=12cm,

BC=18cm,点P从点A出发以2cm/s的速度沿ATD—C运动，点P从点A出发的同时点

Q从点C出发，以lcm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动.设点

P,Q运动的时间为t秒.

(1)从运动开始，当t取何值时，PQ/7CD?

(2)从运动开始，当t取何值时，4PQC为直角三角形？

【解析】

试题分析：（D添加PD=CQ即可判断以PQDC为顶点的四边形是平行四边形.

（2）分两种情况讨论：①点P处为直角，②点2处是直角.

试题解析：（1）当8时，四边形是平行四边形，此B寸以＞=以?，.・.12-2'，二.I..•.当日

时，四边形P0DC是平行四边形.

（2）过9点，作PH13C于&DF1BC,：.DF=AB=S,尸。=3。一.山=18-12=6,DC=,6二+$=10,

①当PO1BC,是直角三角形.则：12-2m=6,...尸6,此时P运动到了D处j

PCFC6110

②当。尸19C,如图1，.•/C12+10-2t=22-2f,CQ=bVcosC=一=一，.二——=—，解得：尸一,

QCDCt1013

.•.当产6或五时，△尸2c是直角三隹形.

考点：1.平行四边形的判定与性质；2.勾股定理的逆定理；3.直角梯形；4.动点型；5.分

类讨论；6.综合题.

【2014年题组】

1.（2014•江苏省盐城市）若等腰三角形的顶角为40°,则它的底允度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D.

【解析】

180。-40。

试题分析：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40。，所以其底角为2

=70°.故选D.

考点：等腰三角形的性质.

2.（2014•桂林）下列命题中，是真命题的是（）

A.等腰三角形都相似B.等边三角形都相似

C.锐角三角形都相似D.直角三角形都相似

【答案】B.

【解析】

试题分析：根据相似三角形的判定，只有等边三角形的内角都相等，为60。，从而都相似.故

选B.

考点：1.命题和定理；2.相似三角形的判定；3.等边三角形的性质.

3.（2014湖南省湘西州）如图,在RSABC中,ZACB=90°,CA=CB,AB=2,过点C作

CD±AB,垂足为D,则CD的长为（）

A.4B.2C.1D.2

【答案】C.

【解析】

试题分析：•「NdC5=90°,O4=C5,.•.4=N5=45°,,：CD1AB,：.AD=BD=AB=\,NCD5=90°,

CD=BD=\.故选C.

考点：等腰直角三角形.

4.（2014贵州安顺市）己知等腰三角形的两边长分别为a、b,且a、b满足J2a-3H5+

（2a+3b-13）2=0,则此等腰三角形的周长为（）

A.7或8B.6或10C.6或7D.7或10

【答案】A.

【解析】

试题分析：V|2a-3b+5|+（2a+3b-13）2=0,

'2。-36+5=0

.’2a+36-13=0

••，

a=2

解得l"3,

当a为底时，三角形的三边长为2,3,3,则周长为8；

当b为底时，三角形的三边长为2,2,3,则周长为7；

综上所述此等腰三角形的周长为7或8.

故选A.

考点：1.等腰三角形的性质；2.非负数的性质：偶次方；3.非负数的性质：算术平方根；4.解

二元一次方程组；5.三角形三边关系.

5.（2014张家界）如图，在RtAABC中，ZACB=60°,DE是斜边AC的中垂线分别交AB、

AC于D、E两点，若BD=2,则AC的长是（）

C

DB

A.4R4＞万C.8D.8百

【答案】B.

【解析】

试题分析：，:在RAW3c中，乙4c3=60°,・,・/始30°.

〈DE垂直平分斜边月C,・・・ND=CD,用N4CD=30。./.ZDC5=60°-30。=30。・

'：BD=2,：.CD=AD=4..*.-45=2+4+2=6.

在△38中，由勾股定理得：CB=24,

在AWBC中，由勾股定理得：AC-VAB:-BC:=473.

故选B.

考点：1.线段垂直平分线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理.

6.（2014吉林）如图，△ABC中，NC=45。，点D在AB上，点E在BC上.若AD二DB二DE,

AE=1,则AC的长为（）

A.&B.2C.V3D.V2

【答案】D

【解析】

试题分析：.•FADE,

：2DAE=SE.%

・：DB=DE,

：.Z.B=Z_DEB,

：.^EB=ZDEA+ZDEB=X180°=90°,

.".Z-45C=90°,

・.・/045°,-4£=1,

：.AC=42.

故选D.

考点：1、等腰直角三角形；2、等腰三角形的判定与性质.

7.（2014吉林）如图，直线y=2x+4与x,y轴分别交于A,B两点，以OB为边在y轴右侧

作等边三角形OBC,将点C向左平移，使其对应点C3合好落在直线AB上，则点C的坐标

【答案】（-1,2）

【解析】

试题分析：,直线y=2x+4与y轴交于B点，

工丫二。时，2x+4=0,

解得x=-2,

AB（0,4）.

•・•以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,

AC在线段OB的垂直平分线上，

••・C点纵坐标为2.

将y=2代入y=2x+4,得2=2x+4,

解得x=-1.

故C'的坐标为（-1,2）.

考点：1、一次函数图象上点的坐标特征；2、等边三角形的性质.

8.（2014毕节）如图，在RSABC中，ZABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC上，将△ABC

沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B，处，则BE的长为

3

【答案】2.

【解析】

试题分析：•・・在RrATBC中，乙!3490°,4万=3,AO5,

.\BC=VAC:-AB:-4.

由折彘的性质得：BE=BEy,AB=AB',

设3E=x,贝ijB'£=x,CE=4-x,BfOAC-AB'=AC-AB=2,

在RzAB'EC中,B/E2+B/C:=EC2,即R+27(4-x)2,解得：尸二.

：・BE的长为:.

考点：1.折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用

0考点归纳

归纳1：等腰三角形

基础知识归纳：1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底

边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

基本方法归纳：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

b

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则5<a

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为NA,底角为NB、ZC,则NA=180°—2NB,

180。-4

ZB=ZC=2

注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题，并证明角相

等的问题。

［例1］已知等腰AABC的两边长分别为2和3,则等腰4ABC的周长为（）

A.7B.8C.6或8D.7或8

【答案】D.

【解析】

试题分析：因为等腰三角形的两边分别为2和3,但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分

类讨论.

试题解析：当2为底时，三角形的三边为3,2、3可以构成三角形，周长为8;

当3为底时，三角形的三边为3,2、2可以构成三角形，周长为7.

故选D.

考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形三边关系.

归纳2：等边三角形

基础知识归纳：1.定义

三条边都相等的三角形是等边三角形.

2.性质：

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

3.判定

三个角都相等的三角形是等边三角形；

有•个角等于60。的等腰三角形是等边三角形.

基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距

离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等

边三角形。

【例2】如图，直线a〃b,ZXABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，

把4ABC沿BC方向平移BC的一半得到（如图①）；继续以上的平移得到图②，

再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是

【答案】400.

【解析】

试题分析：先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第〃个图形中大等边三角形有2〃个，小等

边三角形有2〃个，据此求出第100个图形中等边三角形的个数.

试题解析：如图①

A

①

是等边三角形，

：.AB=BC=AC,

，：A,IIAB,BB/=BfC^-BC,

：.B,CO~-AC,

.•.△3,。。是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形.

又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，

第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，

第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…

依次可得第〃个图形中大等边三角形有2H个，小等边三角形有2〃个.

故第100个图形中等边三角形的个数是：2X100-2X100=400.

故答案为：400.

考点：1.等边三角形的判定与性质；2.平移的性质.

归纳3：直角三角形

基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形

直角三角形的性质；

(1)直角三角形两锐角互余.

(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；

(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

基本方法归纳：(1)两个内角互余的三角形是直角三角形.

(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定，在直角三角形中，如果一

个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半，它的逆命题不能直接使用。

V5

【例3】如图，在RSABC中，NACB=90。，点D是AB的中点，且CD=2，如果RsABC

的面积为1,则它的周长为()

A

石+1

A.2B.6+1C.石+2D.小+3

【答案】D

【解析】

试题分析：

平厂

如图，...在RfAzi5c中，NJC3=90°,点。是.好的中点，且8=.33=28=避..3©+30=5,

又•.•&ZLW8C的面积为1,.•.]TC・8C=1,贝必C・8C=2.「.（/G8C）^AC+BC+2.4C-BC=9,：J1C+BC=3

（舍去负值）,...XO3d4=3+/,即AW5c的周长是3+君.故选D.

考点：1.勾股定理；2.直角三角形斜边上的中线.

归纳4：勾股定理

基础知识归纳：

直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;

基本方法归纳：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三

角形.

注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法，通常与直角三角形

的性质结合起来考查。

【例4】如图，△ABC中，CD_LAB于D,E是AC的中点.若AD=6,DE=5,则CD的长

等于

【答案】8.

【解析】

工

试题分析：••.△ABC