中考数学一轮考点复习精讲精练专题14 直角三角形、等腰三角形、等边三角形【考点巩固】（解析版）

专题14直角三角形、等腰三角形、等边三角形（时间：60分钟，满分120分）一、填空题（每题3分，共30分）1．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．5，12，13 B．9，40，41 C．3，4，5 D．2，3，4【解答】解：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以9，40，41为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；故选：SKIPIF1<0．2．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条 B．4条 C．3条 D．2条【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B．3．（2022·黑龙江大庆）下列说法不正确的是(

)A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C．有两个角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形【答案】A【分析】利用等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，对各选项逐项分析可得出正确答案．【详解】解：A、设∠1、∠2为锐角，因为：∠1+∠2+∠3=180°，所以：∠3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形，故A选项不正确，符合题意；B、如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD．∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CDB=∠BEC=90°，在Rt△BCD与Rt△CBE中，SKIPIF1<0，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．，故B选项正确，不符合题意；C、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，，故C选项正确，不符合题意；D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D选项正确，不符合题意；故选：A．4．（2022·广西梧州）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，过点D分别作SKIPIF1<0，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解．【详解】解：∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选项A、D结论正确，不符合题意；又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选项B结论正确，不符合题意；由已知条件推不出SKIPIF1<0，故选项C结论错误，符合题意；故选：C．5．（2022·湖北鄂州）如图，直线l1SKIPIF1<0l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】B【分析】由作图得SKIPIF1<0为等腰三角形，可求出SKIPIF1<0，由l1SKIPIF1<0l2得SKIPIF1<0，从而可得结论．【详解】解：由作图得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等腰三角形，∴SKIPIF1<0∵∠BCA＝150°，∴SKIPIF1<0∵l1SKIPIF1<0l2∴SKIPIF1<0故选B6．（2021·辽宁九年级一模）如图，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的中线，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．100° B．105° C．110° D．115°【答案】B【分析】由SKIPIF1<0是等边三角形，可得∠B=60°，由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的中线，可得BD=CD=SKIPIF1<0，AD⊥BC，由SKIPIF1<0，ED=CD，可求∠ECD=45°，由三角形外角性质可求∠AFC=105°．【详解】解：∵SKIPIF1<0是等边三角形，∴∠B=60°，AB=AC，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的中线，∴BD=CD=SKIPIF1<0，AD⊥BC，∵SKIPIF1<0，∴ED=CD，∠EDC=90°，∴∠ECD=∠DEC=45°，∵∠AFC是△FBC的外角，∴∠AFC=∠B+∠FCD=60°+45°=105°．故选择：B．7．（2021·广东九年级一模）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是角平分线，SKIPIF1<0是中线，则SKIPIF1<0的长（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由等腰三角形的性质推出SKIPIF1<0，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求得SKIPIF1<0．【详解】解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是角平分线，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是中线，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：B．8.如图，点O是等边三角形ABC内一点，连接OA、OB、OC，并以OC为一边向外作等边三角形OCD，连接AD．若∠AOB=110°，∠BOC=150°，则∠OAD的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B【分析】根据已知易证△ACD≌BCO，得出∠ADC=∠BOC=150°，又因△OCD是等边三角形，易证∠ADO=90°，又由∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，求出∠AOC=100°，从而得∠AOD=40°，再根据直角三角形的两个内角互余即可求出∠OAD的度数．【解析】解：∵△ABC和△OCD是等边三角形，∴AC=BC，OC=CD，∠ODC=∠DCO=∠COD=∠ACB=60°，∴∠DCO-∠ACO=∠ACB-∠ACO即∠ACD=∠BCO．在△ACD和△BCO中SKIPIF1<0∴△ACD≌△BCO．∴∠ADC=∠BOC=150°．∴∠ADO=90°，∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠AOC=100°，∴∠AOD=40°，∴∠OAD=90°-40°=50°．故选B．9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE．若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于()A．7 B．9 C．16 D．25【答案】C【解析】【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得SKIPIF1<0，在在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，利用勾股定理可得SKIPIF1<0，在在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，继续利用勾股定理可得SKIPIF1<0，求解即可得．【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：C．10．（2022·黑龙江）如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，AD平分SKIPIF1<0与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若SKIPIF1<0的面积是24，SKIPIF1<0，则PE的长是（

）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【答案】A【分析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S△EGD=3，然后证△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长．【详解】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，∵AB=AC，AD平分SKIPIF1<0与BC相交于点D，∴AD⊥BC，BD=CD，∴S△ABD=SKIPIF1<0=12，∵E是AB的中点，∴S△AED=SKIPIF1<0=6，∵G是AD的中点，∴S△EGD=SKIPIF1<0=3，∵E是AB的中点，G是AD的中点，∴EGSKIPIF1<0BC，EG=SKIPIF1<0BD=SKIPIF1<0CD，∴∠EGP=∠FDP=90°，∵F是CD的中点，∴DF=SKIPIF1<0CD，∴EG=DF，∵∠EPG=∠FPD，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴GP=PD=1.5，∴GD=3，∵S△EGD=SKIPIF1<0=3，即SKIPIF1<0，∴EG=2，在Rt△EGP中，由勾股定理，得PE=SKIPIF1<0=2.5，故选：A．二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，点C所表示的数是（）【答案】1﹣SKIPIF1<0【分析】根据勾股定理求出AB的长为SKIPIF1<0，根据弧的半径相等得AC＝AB＝SKIPIF1<0，根据两点之间的距离求得点C表示的数．【详解】解：根据勾股定理得：SKIPIF1<0，∴AC＝AB＝SKIPIF1<0，∴点C表示的数是1﹣SKIPIF1<0．故答案为：1﹣SKIPIF1<012．（2022·湖南岳阳）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】3【分析】根据等腰三角形的性质可知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，即可求出SKIPIF1<0的长．【详解】解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：3．13．已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是．【分析】其中一部分比另外一部分长2，分两种情况：腰比底大2或底比腰大2，分别求出腰即可．【解答】解：等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，这两部分的差即是腰与底的差的绝对值，∵其中一部分比另外一部分长2，∴腰比底大2或底比腰大2，∴腰为8或4．故答案为：8或4．14．（2022·湖南永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则SKIPIF1<0______．【答案】3【分析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果．【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，则AE=x-1，在Rt∆AED中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：x=4（负值已经舍去），∴x-1=3，故答案为：3．15．如图，在四边形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，根据30°角的直角三角形的性质可求出CH的长，然后根据等腰直角三角形的性质、已知条件和勾股定理可依次求出EH、CE、AE、DE的长，进而可得DH的长，再根据勾股定理即可求出答案．【解析】解：如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则AD=DE，AD2+DE2=AE2，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在直角SKIPIF1<0中，根据勾股定理可得：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．16．（2022·辽宁锦州）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D为SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0绕点D逆时针旋转得到SKIPIF1<0，当点A的对应点SKIPIF1<0落在边SKIPIF1<0上时，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延长线上，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积是____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】先证明SKIPIF1<0是等边三角形，再证明SKIPIF1<0，再利用直角三角形SKIPIF1<0角对应的边是斜边的一般分别求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，再利用勾股定理求出SKIPIF1<0，从而求得SKIPIF1<0的面积．【详解】解：如下图所示，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点O，连接SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，∵点D为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0．三、简答题（共46分）17．（7分）如图，点D是SKIPIF1<0内部的一点，SKIPIF1<0，过点D作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为E、F，且SKIPIF1<0求证：SKIPIF1<0为等腰三角形．【答案】见解析.【分析】欲证明AB＝AC，只要证明∠ABC＝∠ACB即可；【解析】证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0为等腰三角形．18．（7分）（2022·四川自贡·中考真题）如图，△SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【答案】详见解析【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB≌△AEC，由全等三角形的性质可得SKIPIF1<0．【详解】证明：∵△SKIPIF1<0是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，在△ADB和△AEC中，SKIPIF1<0∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴SKIPIF1<0．19．（8分）（2022·浙江温州·中考真题）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点E．（1）求证：SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0时，请判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)相等，见解析【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；

（2）利用平行线的性质可得SKIPIF1<0，

则AD=

AE，从而有CD

=

BE，由(1)

得，SKIPIF1<0，可知BE

=

DE，等量代换即可．【详解】(1)证明：∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0．理由如下：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．20．（12分）已知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）试猜想线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系，并证明你的结论．（2）若将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0方向平移至图2情形，其余条件不变，结论SKIPIF1<0还成立吗？请说明理由．（3）若将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0方向平移至图3情形，其余条件不变，结论SKIPIF1<0还成立吗？请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）先用SKIPIF1<0判断出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，进而判断出SKIPIF1<0，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．【详解】解：（1）SKIPIF1<0理由如下：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）成立，理由如下：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）成立，理由如下：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．21．（12分）（2021·重庆）在等边SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．图1图2图3（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：SKIPIF1<0；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且SKIPIF1<0，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当SKIPIF1<0最小时，直接写出SKIPIF1<0的面积．【答案】（1）①SKIPIF1<0；②见解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）①连接AG，根据题意得出△ABC和△GEF均为等边三角形，从而可证明△GBC≌△GAC，进一步求出AD=3，AG=BG=SKIPIF1<0，然后利用勾股定理求解即可；②以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，先证明出△BFK是顶角为120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，从而得出结论即可；（2）利用“胡不归”模型构造出含有30