2025届高考数学一轮知能训练第九章概率与统计第3讲几何概型含解析

PAGE1-第3讲几何概型1．(2024年重庆一中模拟)在[－2,3]上随机取一个数x，则(x＋1)(x－3)≤0的概率为()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)2．(2024年辽宁铁岭模拟)已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)3．(2024年湖北武汉武昌调研)在区间[0,1]上随机取一个数x，则事务“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)4．(2024年陕西)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为()A.eq\f(3,4)＋eq\f(1,2π)B.eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)C.eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)D.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)5．(2024年福建)如图X9­3­1，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于()图X9­3­1A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)6．(2024年湖南长沙联考)如图X9­3­2，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是()图X9­3­2A．1－eq\f(π,4)B.eq\f(π,12)C.eq\f(π,4)D．1－eq\f(π,12)7．(2024年山东)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事务“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．8．(2024年广东广州调研)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满意∠AMB>90°的概率为________．9．已知正三棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP­ABC<eq\f(1,2)VS­ABC的概率是__________________．10．如图X9­3­3所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率为________．图X9­3­311．(2024年重庆检测)在不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0))所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在其次象限的概率为________．12．图X9­3­4为中国古代刘徽的《九章算术注》中探讨“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，记正方形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC上任取一点，此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为p1，p2，则()图X9­3­4A．p1＝p2B．p1<p2C．p1≤p2D．p1≥p213．小李从网上购买了一件商品，快递员安排在下午5：00～6：00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5：30～6：00.快递员到小李家时，假如小李未到家，则快递员会打电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来，否则，就将商品存放在快递柜中，则小李须要去快递柜收取商品的概率为()A.eq\f(1,9)B.eq\f(8,9)C.eq\f(5,12)D.eq\f(7,12)

第3讲几何概型1．D解析：由(x＋1)(x－3)≤0，得－1≤x≤3.由几何概型得所求概率为eq\f(4,5).2．C解析：如图D266，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含F点)上时，△ABD为钝角三角形．∴△ABD为钝角三角形的概率为eq\f(1＋2,6)＝eq\f(1,2).图D2663．D解析：∵log0.5(4x－3)≥0，∴0<4x－3≤1，即eq\f(3,4)<x≤1，∴所求概率P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4).故选D.4．C解析：z＝(x－1)＋yi⇒|z|＝eq\r(x－12＋y2)≤1⇒(x－1)2＋y2≤1，如图D267可求得A(1,1)，B(1,0)，阴影面积等于eq\f(1,4)π×12－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2).若|z|≤1，则y≥x的概率为eq\f(\f(π,4)－\f(1,2),π×12)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).故选C.图D2675．B解析：由已知，得B(1,0)，C(1,2)，D(－2,2)，P(0,1)，A(－2,0)，则矩形ABCD的面积为3×2＝6，阴影部分面积为eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).故该点取自阴影部分的概率等于eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).6．A解析：鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.∴“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－eq\f(π,4).故选A.7.eq\f(3,4)解析：直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，须要满意圆心到直线的距离小于半径，即d＝eq\f(|5k|,\r(1＋k2))<3.解得－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4).而k∈[－1,1]，∴所求概率P＝eq\f(\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).8.eq\f(π,8)解析：如图D268，假如M点位于以AB为直径的半圆内部，则∠AMB>90°；否则，M点位于半圆上及空白部分，则∠AMB≤90°.∴∠AMB>90°的概率p＝eq\f(\f(1,2)×π×12,22)＝eq\f(π,8).图D2689.eq\f(7,8)解析：由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满意VP­ABC<eq\f(1,2)VS­ABC，故使得VP­ABC<eq\f(1,2)VS­ABC的概率：P＝eq\f(大三棱锥的体积－小三棱锥的体积,大三棱锥的体积)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).10.eq\f(2,5)解析：∵∠B＝60°，∠C＝45°，∴∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，∴BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.记事务N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事务N发生．由几何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5).11.eq\f(2,9)解析：画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0))图D269表示的平面区域(如图D269中阴影部分所示)，∵S△ABC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3,2)＝eq\f(9,4)，S△AOD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，∴点P恰好落在其次象限的概率为eq\f(S△AOD,S△ABC)＝eq\f(\f(1,2),\f(9,4))＝eq\f(2,9).12．C解析：方法一，设△ABC两直角边的长分别为a，b，其内接正方形的边长为x，由eq\f(x,a)＝eq\f(b－x,b)得x＝eq\f(ab,a＋b)，则p1＝eq\f(2ab,a＋b2)，p2＝1－p1＝1－eq\f(2ab,a＋b2)＝eq\f(a2＋b2,a＋b2)≥eq\f(2ab,a＋b2)(当且仅当a＝b时取等号)．方法二(特别法)，设BC＝1，AC＝2，CD＝x，则x＝eq\f(2,3)，故p1＝eq\f(4,9)，p2＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9)，从而解除A、D，当△ABC为等腰直角三角形时p1＝p2，解除B.故选C.13．D解析：设快递员到达的时间为x，小李到家的时间为y，则eq\b\lc\{\rc\(