2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.3蝗制学案含解析北师大版必修4

PAGE§3弧度制学问点一度量角的单位制及弧度数计算[填一填]1．度量角的单位制(1)角度制规定周角的eq\f(1,360)为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫角度制．(2)弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．弧度数的计算[答一答]1．“1弧度”指的是“1度的角所对的弧”吗？提示：不是.1弧度是指角的大小．2．“2rad”的角终边在第几象限？提示：2rad>eq\f(π,2)rad，且2rad<πrad，故2rad的角终边在其次象限．学问点二角度与弧度互化及扇形面积[填一填]3．角度与弧度的互化4．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则[答一答]3．终边落在x轴负半轴上的角可以表示为α＝k·360°＋π(k∈Z)．这样表示对吗？提示：不对．角度制和弧度制都可以用来表示角，但表示角时不行混用，故可以表示为α＝k·360°＋180°(k∈Z)或α＝2kπ＋π(k∈Z)．4．30°的角化为弧度是多少？120°是30°的几倍？其弧度数是多少？提示：30°＝eq\f(π,6)rad,120°是30°的4倍，其弧度数为eq\f(π,6)×4＝eq\f(2π,3)rad．1．对弧度制概念的三点说明(1)“1rad”是指：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，不是弧长，这个角是固定的，与圆的半径的长度无关．(2)引入弧度制后，角的集合与实数建立一一对应关系，我们今后表示角时，多用弧度制表示．(3)表示角时π就是无理数，它表示一个实数，同1rad角的大小一样，πrad的角表示：长度等于半径的π倍的圆弧所对的圆心角，在推断有理数表示角的象限，与π比较大小时，有时须要把π化为小数．2．对弧度数计算公式的说明我们常用α＝eq\f(l,r)来求解圆中圆心角所对的弧度数，一般来说，在圆中弧长是个正数，故得出的圆心角也为正数．但在平面直角坐标系中，所求的角不肯定为正角，所以经常依据须要在角α上添加正负号，故这个求弧度数的公式经常记为|α|＝eq\f(l,r).3．角度制与弧度制换算时应留意的四个问题(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写；假如以度(°)为单位表示角的大小时，度(°)不能省略不写．(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度．(3)有些角的弧度数是π的整数倍时，如无特殊要求，不必把π化成小数．(4)用“弧度”与“度”去度量每个角时，除了零角以外，所得的结果都是不同的，二者要留意不能混淆．4．角度制与弧度制换算的要点类型一弧度制与角度制的互化【例1】(1)18°＝________rad；(2)67°30′＝________rad；(3)eq\f(3,10)πrad＝________度；(4)2rad＝________度．【思路探究】干脆运用角度和弧度的换算公式转换即可．【解析】(1)18°＝eq\f(π,180)×18＝eq\f(π,10)(rad)．(2)67°30′＝67.5°＝67.5×eq\f(π,180)＝eq\f(3,8)π(rad)．(3)eq\f(3,10)πrad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)π×\f(180,π)))°＝54°.(4)2rad≈2×57.3°＝114.6°.【答案】(1)eq\f(π,10)(2)eq\f(3,8)π(3)54(4)114.6规律方法在角度与弧度相互转化时，应抓住关系式：(1)度数×eq\f(π,180)＝弧度数；(2)弧度数×eq\f(180°,π)＝度数．同时，我们要熟记一些特殊角的弧度数．(1)把－1200°化成弧度；(2)把－eq\f(5π,12)化成度．解析：(1)－1200°＝－1200×eq\f(π,180)＝－eq\f(20π,3).(2)－eq\f(5π,12)＝(－eq\f(5π,12)×eq\f(180,π))°＝－75°.类型二弧度制与终边相同的角的问题【例2】把下列角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它是第几象限角：(1)－eq\f(53π,3)；(2)2010°.【思路探究】eq\x(\a\al(将所给角化成,2kπ＋α的形式))→eq\x(\a\al(推断α是第,几象限角))→eq\x(\a\al(得到所给角是,第几象限角))【解】(1)－eq\f(53π,3)＝－18π＋eq\f(π,3)，而eq\f(π,3)是第一象限角，所以－eq\f(53π,3)是第一象限角．(2)2010°＝5×360°＋210°＝10π＋eq\f(7π,6)，而eq\f(7π,6)是第三象限角，所以2010°是第三象限角．规律方法在进行“弧度”与“角度”的互化时，若无特殊要求，切不行进行近似计算，也不必将π化为小数．留意角度制和弧度制不得混用，如α＝2kπ＋60°，k∈Z，β＝k·360°＋eq\f(π,4)，k∈Z都是不正确的写法．(1)－150°的弧度数是(A)A．－eq\f(5π,6) B．eq\f(4π,3)C．－eq\f(2π,3) D．－eq\f(3π,4)(2)eq\f(8π,5)弧度化为角度是(C)A．278° B．280°C．288° D．318°解析：(1)∵1°＝eq\f(π,180)rad，∴－150°＝－150×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,6).(2)∵1rad＝eq\f(180°,π)，∴eq\f(8π,5)＝eq\f(8π,5)×eq\f(180°,π)＝288°.类型三弧长与扇形面积公式的应用【例3】已知扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？【思路探究】先用R表示半径，再依据S＝eq\f(1,2)lR建立扇形面积S与半径R之间的函数关系，利用二次函数求最大值．【解】设扇形的半径是R，弧长是l，由已知条件可知：l＋2R＝20，即l＝20－2R.由0<l<2πR，得0<20－2R<2πR.∴eq\f(10,π＋1)<R<10.扇形的面积为S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25(eq\f(10,π＋1)<R<10)，当R＝5时，S最大，此时l＝10，α＝eq\f(l,R)＝2.规律方法当扇形周长肯定时，扇形的面积有最大值；其求法是把面积S转化为关于R的二次函数，但要注明R的取值范围．特殊留意一个扇形的弧长必需满意0<l<2πR.本题若改为扇形面积为25cm2，也可以求扇形周长的最小值．(1)已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad，则扇形的面积为(D)A．2 B．3C．6 D．9(2)设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(B)A．1 B．2C．3 D．4(3)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么，这个圆心角所对的弧长是(C)A．2 B．sin2C．eq\f(2,sin1) D．2sin1解析：(1)∵S扇＝eq\f(1,2)lR，R＝eq\f(l,α)＝eq\f(6,2)＝3，∴S扇＝eq\f(1,2)×6×3＝9.∴选D．(2)设半径为R，弧长为l，则2R＋l＝8，①eq\f(1,2)lR＝4，②由①②解得R＝2，l＝4.∵α＝eq\f(l,R)＝eq\f(4,2)＝2.∴选B．(3)如图，设∠ACB＝2，AB＝2，过点C作CO⊥AB于点O，则由题知α＝1，OA＝1，∵sinα＝eq\f(OA,AC)＝eq\f(1,R)，∴R＝eq\f(1,sin1)，又∵2α＝eq\f(l,R)，∴l＝2αR＝2·eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1).故选C．类型四综合应用【例4】如图，已知一长为eq\r(3)cm，宽为1cm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板拦住，使木板底面与桌面成30°的角，求点A走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．【思路探究】解题关键是分析出点A运动产生的轨迹．【解】eq\o\ac(AA1,\s\up17(︵))所在的圆半径是2cm，圆心角为eq\f(π,2)；eq\o\ac(A1A2,\s\up17(︵))所在圆的半径是1cm，圆心角是eq\f(π,2)；eq\o\ac(A2A3,\s\up17(︵))所在圆的半径是eq\r(3)cm，圆心角是eq\f(π,3)，所以点A走过的路程是3段圆弧之和，即2×eq\f(π,2)＋1×eq\f(π,2)＋eq\r(3)×eq\f(π,3)＝eq\f(9＋2\r(3),6)π(cm)．3段弧所在扇形的总面积是eq\f(1,2)×2×π＋eq\f(1,2)×eq\f(π,2)＋eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(\r(3)π,3)＝eq\f(7π,4)(cm2)．规律方法弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后敏捷运用弧长公式、扇形面积公式干脆求解或列方程(组)求解．在一般的时钟上，自零时起先到分钟与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的状况下)?解：解法一：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)起先到分针与时针再一次重合，设时针转过了xrad，则分针转过了(2π＋x)rad，而时针走1rad相当于经过eq\f(6,π)h＝eq\f(360,π)min，分针走1rad相当于经过eq\f(30,π)min，故有eq\f(360,π)x＝eq\f(30,π)(2π＋x)，得x＝eq\f(2π,11)，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是eq\f(2π,11)＋2π＝eq\f(24π,11)(rad)．解法二：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝eq\f(24π,11)，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是eq\f(24π,11)(rad)．——易错警示——对终边相同的区间角理解不到位致误【例5】已知eq\f(π,4)＋2kπ<α<eq\f(3π,4)＋2kπ，2kπ<β<eq\f(π,4)＋2kπ，其中k∈Z，求α＋β的范围．【错解】由已知两式左右分别相加，可得eq\f(π,4)＋4kπ<α＋β<π＋4kπ，k∈Z.【正解】∵eq\f(π,4)＋2k1π<α<eq\f(3π,4)＋2k1π，k1∈Z，2k2π<β<eq\f(π,4)＋2k2π，k2∈Z，∴eq\f(π,4)＋2(k1＋k2)π<α＋β<π＋2(k1＋k2)π.又∵k1，k2∈Z，∴存在整数k，使得k＝k1＋k2，∴eq\f(π,4)＋2kπ<α＋β<π＋2kπ，k∈Z.【错解分析】错解错误的缘由是对终边相同的区间角理解不到位，误以为两式中的k表示相同的整数．由于两式所表示的角是k分别取整数值时所对应的多数个区间角的并集，故两式中的k不肯定相等，可用k1，k2替换加以区分，然后利用不等式的性质进行求解．【防范措施】含有kπ的角的说明①关于含有kπ的角的集合求交集、并集时，每个集合都有肯定的周期规律，认清kπ的系数确定周期，不要漏角或添角．②关于含有kπ的角，求组合角时不能简洁相加减．已知α＝1690°.(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z)，β∈[0,2π)的形式；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且θ∈(－4π，－2π)．解：(1)由于α的弧度数为eq\f(π,180)×1690＝eq\f(169π,18)，又eq\f(169π,18)＝8π＋eq\f(25,18)π，∴α＝4·2π＋eq\f(25,18)π(k＝4，β＝eq\f(25π,18))．(2)由－4π<2kπ＋eq\f(25π,18)<－2π(k∈Z)，得k＝－2，∴θ＝－4π＋eq\f(25π,18)＝－eq\f(47,18)π.一、选择题1．将分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是(A)A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3) D．－eq\f(π,6)解析：拨慢分针是逆时针方向．2．下列命题中，错误命题是(D)A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．一度的角是周角的eq\f(1,360)，一弧度的角是周角的eq\f(1,2π)C．依据弧度的定义，180°肯定等于π弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关解析：依据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是错误命题．其他A、B、C均为正确命题．∴应选D．3．在半径为2cm的圆中，若有条弧长为eq\f(π,3)cm，则它所对的圆心角为(A)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)解析：设圆心角为θ，则θ＝eq\f(\f(π,3),2)＝eq\f(π,6).二、填空题4.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝eq\f(π,6)，则劣弧eq\o\ac(AB,\s\up17(︵))的长为eq\f(4,3)π.解析：连接AO，OB，因为∠ACB＝eq\f(π,6)，所以