2024-2025学年高中数学第2章数列2.2等差数列第1课时等差数列的定义及通项公式练习新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1课时等差数列的定义及通项公式1.已知数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则此数列是A.公差为3的等差数列 B.公差为－5的等差数列C.首项为3的等差数列 D.首项为－5的等差数列解析因为当n≥2时，an－an－1＝3n－5－[3(n－1)－5]＝3，所以此数列是公差为3的等差数列.故选A.答案A2.已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为A.eq\r(3) B.eq\r(2) C.eq\f(1,\r(3)) D.eq\f(1,\r(2))解析设a，b的等差中项为x，则有2x＝a＋b＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq\f(1,\r(3)－\r(2))＝(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(3)＋eq\r(2))＝2eq\r(3)，所以x＝eq\r(3)，故选A.答案A3.在等差数列{an}中，若a3＝2，a5＝8，则a9等于A.16 B.18解析设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝2，a5＝8，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝2，,a1＋4d＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－4，,d＝3，))则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.故选C.答案C4.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和nA.2 B.3解析依题意可得m＋2n＝8，2m＋n＝10，故3m＋3n＝18⇒m＋n＝6，故m和n的等差中项是3.答案B5.等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝11，则公差d＝________.解析等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝11，可得d＝eq\f(a6－a2,6－2)＝eq\f(11＋5,4)＝4.答案4[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.在等差数列{an}中，a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差dA.－2 B.－eq\f(1,2) C.eq\f(1,2) D.2解析由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝0，,a1＋6d－2a1－6d＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝－\f(1,2).))答案B2.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝A.5 B.8解析由题意，得a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，解得d＝1，所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.答案B3.在等差数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，则n是A.48 B.49 C.50 D.解析∵a2＋a5＝eq\f(2,3)＋5d＝4，∴d＝eq\f(2,3)，an＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)(n－1)＝33，解得n＝50.答案C4.数列{an}中，a3＝2，a5＝1，假如数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))是等差数列，则a11＝A.0 B.eq\f(1,11) C.－eq\f(1,13) D.－eq\f(1,7)解析设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))的公差为d，则2d＝eq\f(1,a5＋1)－eq\f(1,a3＋1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，所以d＝eq\f(1,12)，则eq\f(1,a11＋1)＝eq\f(1,a3＋1)＋8d＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，所以a11＝0.答案A5.已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则eq\f(a2－a1,b2－b1)等于A.eq\f(m,n) B.eq\f(m＋1,n＋1) C.eq\f(n,m) D.eq\f(n＋1,m＋1)解析设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝eq\f(y－x,m＋1)；其次个数列共(n＋2)项，∴d2＝eq\f(y－x,n＋1).这样可求出eq\f(a2－a1,b2－b1)＝eq\f(d1,d2)＝eq\f(n＋1,m＋1).答案D6.(实力提升)若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为A.p＋q B.0C.－(p＋q) D.eq\f(p＋q,2)解析∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（p－1）d＝q，①,a1＋（q－1）d＝p.②))①－②，得(p－q)d＝q－p.∵p≠q，∴d＝－1.代入①，有a1＋(p－1)×(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1.∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)×(－1)＝0.答案B二、填空题(每小题5分，共15分)7.已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________.解析因为n≥2时，an－an－1＝3，所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列.所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.答案3n8.已知{an}为等差数列，且a5－2a2＝1，a3＝－2，则公差d解析依据题意得：a5－2a2＝a1＋4d－2(a1＋d)＝－a1＋2d＝1，又a3＝a1＋2d＝－2，②由①②联立得，d＝－eq\f(1,4).答案－eq\f(1,4)9.(实力提升)已知在等差数列{an}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则数列{an}的通项公式an＝________.解析依题意得a2＋a6＝10，a3＋a7＝14，设首项为a1，公差为d，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＋a1＋5d＝10，,a1＋2d＋a1＋6d＝14，))解得a1＝－1，d＝2，故an＝2n－3.答案2n－3三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)已知数列{an}满意a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由.解析数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下：因为a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)(常数).所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)为首项，公差为eq\f(1,2)的等差数列.11.(12分)已知等差数列{an}：3，7，11，15，….(1)135，4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由.解析a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.(1)令an＝4n－1＝135，所以n＝34，所以135是数列{an}中的第34项.令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N*，所以4m＋19是{an}中的第m＋5项.(2)因为ap，aq是{an}中的项，所以ap＝4p－1，aq＝4q－1.所以2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，2p＋3q－1∈N*，所以2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项.12.(12分)(实力提升)数列{an}满意a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*).(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由.解析(1)∵a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，∴λ＝eq\f(3,2