2024-2025学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.3指数函数学案含解析北师大版必修1

PAGE§3指数函数学问点一指数函数的定义[填一填]函数y＝ax叫作指数函数，其中a>0且a≠1，定义域为R，值域为(0，＋∞)．[答一答]1．指数函数定义中为什么规定a>0且a≠1?提示：学问点二.指数函数的图像与性质[填一填]1．指数函数的图像与性质2.y＝ax与y＝(eq\f(1,a))x的关系一般地，当函数y＝ax与函数y＝(eq\f(1,a))x的自变量的取值互为相反数时，其函数值相等，这两个函数的图像是关于y轴对称的．3．函数y＝ax与y＝bx的特点(a>b>1)(1)当x<0时，总有ax<bx<1.(2)都过点(0,1)．(3)当x>0时，总有ax>bx>1.(4)指数函数的底数越大，当x>0时，其函数值增长得就越快．[答一答]2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)中底数a对函数图像的改变有什么影响？提示：设a>b>1>c>d>0，则y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图所示，从图中可以看出：在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．或者说在第一象限内，指数函数的图像，底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴．1．指数函数的形式特征(1)整体性：ax为一个整体，且前面系数为1.(2)独立性：自变量x在幂指数的位置且为单个x.(3)限制性：底数a是满意a>0且a≠1的常数．2．指数函数的图像特点(1)a>1时，图像像“一撇”，且在y轴右侧a越大，图像越靠近y轴(如图1)．(2)0<a<1时，图像像“一捺”，且在y轴左侧a越小，图像越靠近y轴(如图2)．3．指数函数中函数值的“有界性”当a>0，且a≠1时，对于随意x∈R，总有ax>0.类型一指数函数的概念【例1】函数y＝(a2－4a＋3)ax是指数函数，求a【思路探究】由题意知：①函数解析式中ax的系数为a2－4a＋3，②【解】因为y＝(a2－4a＋3)axeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－4a＋3＝1，,a>0且a≠1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2±\r(2)，,a>0且a≠1，))∴a＝2±eq\r(2).(1)函数y＝(a2－3a＋3)axA．a＝1或a＝2 B．a＝1C．a＝2 D．a>1，且a≠2解析：由指数函数的概念，得a2－3a＋3＝1，解得a＝1或a＝2.当a＝1时，底数是1，不符合题意，舍去；当a(2)下列函数中是指数函数的是③.(填序号)解析：①中指数式(eq\r(2))x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝eq\f(1,2)·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；③是指数函数；④中底数为x，不满意底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.类型二指数函数的定义域、值域【思路探究】先求定义域→分解原函数→考虑单调性→求出值域类型三指数函数的单调性规律方法对于复合函数y＝f[g(x)]，若f(t)为增函数，则y＝f[g(x)]单调性与g(x)相同；若f(t)为减函数，则y＝f[g(x)]单调性与g(x)相反，对于y＝f[g(x)]的值域求解事实上是以g(x)值域为y＝f(t)的定义域来求解．解：(类型四利用指数函数性质比较大小【例4】比较下列各题中两个数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,1.250.2；(3)1.70.3,0.93.1.【思路探究】首先应确定运用哪类函数，然后由相关函数的单调性推断大小．若不能看作同一函数的两个值，常用中间量“搭桥”．【解】(1)∵底数1.7>1，∴指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.(2)1.250.2＝0.8－0.2，∵0<0.8<1，∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上是减函数．又∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2，即0.8－0.1<1.250.2.(3)由指数函数的性质，得1.70.3>1.70＝1，0．93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1.规律方法比较两个数的大小常转化为比较同一函数的两个函数值的大小．对于1.70.3与0.93.1，不能干脆看成某一个指数函数的两个函数值，所以(3)题无法用(1)(2)两题的方法来进行比较．可在这两个数值之间找到中间量1，使这两个数值分别与1进行比较，进而得出1.70.3与0.93.1的大小．常用的中间量有－1,0,1.利用指数函数的性质，解答下列各题．(1)比较2.7a与2.7a(2)比较1.60.6与0.61.6的大小；(3)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))m>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n，比较m，n的大小．解：(1)考虑指数函数y＝2.7x，它在实数集R上是增函数．∵a<a＋1，∴2.7a<2.7a(2)由指数函数的性质知1.60.6>1.60＝1,0.61.6<0.60＝1，∴1.60.6>0.61.6.(3)考察指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x，它在实数集R上是减函数．∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))m>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n，∴m<n.类型五指数函数图像的变换【例5】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数y＝2x的图像经过怎样的变换得到的．(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2|x|；(4)y＝|2x－1|；(5)y＝－2x；(6)y＝－2－x.【思路探究】可用描点法或图像的变换规律作出函数的图像，然后再指出两个函数图像的关系．由图像的变换规律，可驾驭函数图像的大致形态和快速作图．【解】如图所示：(1)y＝2x－1的图像是由y＝2x的图像向右平移1个单位长度得到的；(2)y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向上平移1个单位长度得到的；(3)y＝2|x|的图像是保留y＝2x的图像中位于y轴及其右侧的部分，去掉位于y轴左侧的部分，再将右侧部分以y轴为对称轴翻折到左侧而得到的；(4)y＝|2x－1|的图像是由y＝2x的图像向下平移1个单位长度，然后将其x轴下方的图像对称到x轴上方得到的；(5)y＝－2x的图像与y＝2x的图像关于x轴对称；(6)y＝－2－x的图像与y＝2x的图像关于原点对称．规律方法(1)函数图像的平移变换y＝f(x＋a)＋b与y＝f(x)是函数的平移变换；(2)函数图像的对称变换一般地，函数y＝f(x)的图像与y＝f(－x)的图像关于y轴对称；与y＝－f(x)的图像关于x轴对称；与y＝－f(－x)的图像关于原点对称．(3)函数图像的翻折变换①y＝|f(x)|的图像是保留y＝f(x)的图像中位于x轴及其上方的部分，将y＝f(x)的图像中位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的；②y＝f(|x|)是一个偶函数，其图像关于y轴对称，y＝f(|x|)的图像是保留y＝f(x)的图像中位于y轴及其右侧的部分，去掉位于y轴左侧的部分，再将右侧部分以y轴为对称轴翻折到左侧而得到的．函数y＝ax－eq\f(1,a)(a>0，a≠1)的图像可能是(D)解析：若a>1，则0<eq\f(1,a)<1，所以y＝ax－eq\f(1,a)(a>0，a≠1)在R上是增函数，且图像可以由y＝ax的图像向下平移eq\f(1,a)个单位长度得到，其中0<eq\f(1,a)<1，因此选项A，B解除；若0<a<1，则eq\f(1,a)>1，所以y＝ax－eq\f(1,a)(a>0，a≠1)在R上是减函数，且图像可以由y＝ax的图像向下平移eq\f(1,a)个单位长度得到，其中eq\f(1,a)>1，故解除C，选项D正确.——规范解答——指数函数的综合应用【例6】已知函数f(x)＝eq\f(a,a2－1)(ax－a－x)(a>0且a≠1)．(1)推断f(x)的奇偶性；(2)探讨f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．【审题】抓信息，找思路①审条件：一个解析式：函数f(x)的解析式已知，且含有参数a；一个范围：第(3)问中已知x∈[－1,1]．一种关系：第(3)问中f(x)≥b恒成立．②建联系：解决奇偶性以及单调性都须要从函数的解析式入手分析，将探讨奇偶性和单调性的问题与函数解析式联系起来；求b的取值范围就和求f(x)的最小值联系起来．③找思路：探讨函数问题定义域不行忽视，依据函数解析式可得到函数的定义域，结合定义域寻求f(x)与f(－x)的关系，可推断奇偶性；利用函数单调性的定义可推断函数的单调性；依据(2)中的单调性求出f(x)的最小值即可确定b的取值范围．【点评】1.注意等式的变形方法和技巧等式的变形是数学运算过程中常常运用的手段，常用到的变形方法有分式的通分、因式分解、配方、分子分母有理化等，如本例利用提取公因式、通分等方法，使f(x2)－f(x1)变形为最终的结果．2．解决含参数的问题时要有分类探讨的意识解决与指数函数有关问题时，特殊要重视对底数取值范围的分类探讨，如本例中由于a的范围不确定而无法确定ax2与ax1的大小，故须要对a分0<a<1和a>1两种状况探讨，从而确定函数f(x)的单调性．已知定义域为R的函数f(x)＝eq\f(b－2x,2x＋a)是奇函数．(1)求a，b的值；(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．解：(1)因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，得b＝1.又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.此时f(x)＝eq\f(1－2x,2x＋1)，而f(－x)＝eq\f(1－2－x,2－x＋1)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以a＝b＝1.一、选择题1．函数f(x)＝eq\r(1－2x)的定义域为(C)A．(－∞，0) B．[0，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，＋∞)解析：要使函数f(x)＝eq\r(1－2x)有意义，需满意1－2x≥0，即2x≤20.∵指数函数y＝2x在R上是增函数，∴x≤0.故函数f(x)＝eq\r(1－2x)的定义域为(－∞，0]．2．函数y＝ax＋2(a>0，且a≠1)的图像经过的定点坐标是(D)A．(0,1) B．(2,1)C．(－2,0) D．(－2,1)解析：当x＋2＝0，即x＝－2时，无论a取何值，必有ax＋2＝1，即y＝1.所以函数y＝ax＋2(a>0，且a≠1)的图像经过的定点坐标是(－2,1)．二、填空题3．