2024-2025学年新教材高中数学第13章立体几何初步13.3.2空间图形的体积课时分层作业含解析苏教版必修第二册

PAGE课时分层作业(三十五)空间图形的体积(建议用时：40分钟)一、选择题1．若长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，则长方体的体积为()A．27cm3B．60cm3C．64cm3D．125cm3B[长方体即为四棱柱，体积为底面积×高，3×4×5＝60cm3.]2．若球的过球心的圆面圆周长是C，则这个球的表面积是()A．eq\f(C2,4π) B．eq\f(C2,2π)C．eq\f(C2,π) D．2πC2C[过球心的圆面圆的半径长就是球的半径长，设半径为r，则2πr＝C，r＝eq\f(C,2π)，球的表面积为4πr2＝4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2π)))eq\s\up12(2)＝eq\f(C2,π).]3．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ADC的体积是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1A[三棱锥D1­ADC的体积V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).]4．已知三棱锥P­ABC中，PA＝eq\r(23)，AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为()A．16B．28C．64D．96C[已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，将三棱锥补成长方体，它的体对角线是其外接球的直径，也是外接球的内接正方体的体对角线．∵PA＝eq\r(23)，AB＝3，AC＝4，∴三棱锥外接球的直径为eq\r(23＋9＋16)＝4eq\r(3)，∴外接球的内接正方体的体对角线长为4eq\r(3)，∴正方体的棱长为4，∴正方体的体积为64，故选C．]5．长方体的体对角线长为5eq\r(2)，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是()A．20eq\r(2)π B．25eq\r(2)πC．50π D．200πC[∵对角线长为5eq\r(2)，∴2R＝5eq\r(2)，S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝50π.]二、填空题6．将一铜球放入底面半径为16cm的圆柱形玻璃容器中，水面上升了9cm，则这个铜球的半径为________cm.12[设铜球的半径为Rcm，则有eq\f(4,3)πR3＝π×162×9，解得R＝12.]7．一个六棱锥的体积为2eq\r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12[设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×h＝2eq\r(3)，∴h＝1，∴斜高h′＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，∴S侧＝6×eq\f(1,2)×2×2＝12.]8．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．eq\r(7)[设新的底面半径为r，由题意得eq\f(1,3)×π×52×4＋π×22×8＝eq\f(1,3)×π×r2×4＋π×r2×8，∴r2＝7，∴r＝eq\r(7).]三、解答题9．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，假如AB＝AC＝eq\r(13)，BB1＝BC＝6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，求多面体BB1C1CEF的体积．[解]在△ABC中，BC边上的高h＝eq\r(\r(13)2－32)＝2，V柱＝eq\f(1,2)BC·h·BB1＝eq\f(1,2)×6×2×6＝36，∴VE­ABC＋Veq\s\do6(F­A1B1C1)＝eq\f(1,6)V柱＝6，故Veq\s\do6(BB1C1CEF)＝36－6＝30.10．如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.[解]在三棱锥A1­ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2)a，∵Veq\s\do6(A1­ABD)＝Veq\s\do6(A­A1BD)，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a×d.∴d＝eq\f(\r(3),3)a.1．正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq\r(3)，D为BC的中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为()A．1B．eq\f(3,2)C．3D．eq\f(\r(3),2)A[在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，Seq\s\do6(△DB1C1)＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－B1DC1底面上的高．∴Veq\s\do6(三棱锥A­B1DC1)＝eq\f(1,3)Seq\s\do6(△DB1C1)·AD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.]2．已知四棱锥的底面是边长为eq\r(2)的正方形，侧棱长均为eq\r(5).若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．eq\f(π,4)[由题可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为eq\f(1,2)，易知四棱锥的高为eq\r(5－1)＝2，故圆柱的高为1，所以该圆柱的体积为π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(π,4).]3．(一题两空)如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为骄傲的发觉．我们来重温这个宏大发觉，圆柱的体积与球的体积之比为________，圆柱的表面积与球的表面积之比为________．eq\f(3,2)eq\f(3,2)[由题意，圆柱底面半径r＝球的半径R，圆柱的高h＝2R，则V球＝eq\f(4,3)πR3，V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.∴eq\f(V柱,V球)＝eq\f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).S球＝4πR2，S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，∴eq\f(S柱,S球)＝eq\f(6πR2,4πR2)＝eq\f(3,2).]4．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为________．4πRr[法一：如图，作DE⊥BC于点E.设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr)，故球的表面积为S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相像三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即req\o\al(2,1)＝Rr，故r1＝eq\r(Rr)，故球的表面积为S球＝4πRr.]5．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．[解](1)交线围成的正方形EHGF如图所示．(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM