椭圆及其标准方程

2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程22021/6/2732021/6/2742021/6/2752021/6/27通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？62021/6/271.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．（重点）2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、难点）72021/6/27

82021/6/27

92021/6/27102021/6/27探究点1椭圆的定义根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？

思考：

结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？112021/6/27讨论：若把绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c≠0).（1）当2a>2c时，轨迹是

；（2）当2a=2c时，轨迹是

；（3）当2a<2c时，

；椭圆的概念：平面内与两个定点的距离的和等于定长的点的轨迹叫做椭圆，其中两定点叫椭圆的焦点，定点间的距离叫椭圆的焦距。(定长大于两定点间的距离)21,FF椭圆以F1,F2为端点的直线段不存在|MF1|+|MF2|＞|F1F2||MF1|+|MF2|=|F1F2||MF1|+|MF2|＜|F1F2|122021/6/27132021/6/27探究点2椭圆的标准方程思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？（1）建系设点;（2）写出点集；（3）列出方程；（4）化简方程；（5）检验.回顾圆的画法根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？

142021/6/27第一步：如何建立适当的坐标系呢？

想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM152021/6/27设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2

的距离的和等于2a(2a>2c>0).请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.162021/6/27解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)

，则F1，F2的坐标分别是(

c,0)、(c,0).xF1F2MOy172021/6/27由椭圆的定义得因为移项，再平方182021/6/27整理得两边再平方，得192021/6/27202021/6/27它表示焦点在y轴上的椭圆.它表示焦点在x轴上的椭圆.1oFyx2FM12yoFFMx212021/6/27椭圆的标准方程有哪些特征呢？【提升总结】222021/6/27

图形方程焦点坐标、位置F(±c，0)在Ｘ轴上F(0，±c)在Ｙ轴上a,b,c之间的关系c2=a2-b2P={M||MF1|+|MF2|=2a｝(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表：注:哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！232021/6/27判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，

并指明a2、b2，并写出焦点坐标答：在x

轴。（-3，0）和（3，0）答：在y

轴。（0，-5）和（0，5）分析：椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上。练一练：242021/6/27

随堂练习例1.椭圆的焦点坐标是（）A.(±5,0)B(0,±5)C(0,±12)D(±12,0)例2.椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）

A.5B.6C.4D.10AC252021/6/27作业课本p64练习11、3262021/6/27例1

已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点.求它的标准方程.解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为由椭圆的定义知272021/6/27又因为,所以因此,所求椭圆的标准方程为所以能用其他方法求它的方程吗？282021/6/27另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:①②联立①②,因此,所求椭圆的标准方程为:又∵焦点的坐标为292021/6/27【变式练习】已知椭圆经过两点和，求椭圆的标准方程.解：设椭圆的标准方程为则有

解得

所以，所求椭圆的标准方程为

.302021/6/27xyODMP例2

如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0）,则因为点P（x0,y0）在圆．．312021/6/27①把点ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得即所以点M的轨迹是一个椭圆.从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？322021/6/27例3

如图，设点A，B的坐标分别是(-5，0)和(5，0),直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是,求点M的轨迹方程.yAxMBO解：设点M的坐标（x,y）,因为点A的坐标是（-5,0）,所以,直线AM的斜率为332021/6/27同理，直线BM的斜率由已知有化简，得点M的轨迹方程为342021/6/271.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M，N两点，则三角形MNF2的周长为（）A.10B.20C.30D.40ByoF1F2MxN352021/6/27D362021/6/272.椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），则椭圆的标准方程是_________.答案：372021/6/273.已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为3m，求这个椭圆的标准方程.382021/6/27解：以两个焦点F1，F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，c=1.2.所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此椭圆的