材料力学 -轴向拉伸和压缩

章轴向拉伸和压缩章轴向拉伸和压缩2021/6/271§2—1概述§2—2轴力轴力图§2—3拉（压）杆截面上的应力§2—6拉（压）杆的强度计算§2—4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比§2—5材料在拉伸与压缩时的力学性质§2—7拉（压）杆超静定问题§2—8连接件的实用计算目录第二章轴向拉伸和压缩2021/6/272拉伸变细变长压缩变短变粗外力特征：外力（或外力的合力）的作用线与杆件的轴线重合FFFFFFFF变形特征：杆的两相邻横截面沿杆轴线方向产生相对移动，长度发生改变，拉长或压短，同时横截面变细或变粗。§2-1概述§2-1概述——轴向拉伸或压缩，简称为拉伸或压缩，是最简单也是做基本的变形。一、轴向拉伸或压缩变形2021/6/273二、工程实例桁架结构§2-1概述2021/6/274三、本章研究要点

主要研究杆件拉伸或压缩时的内力、应力、变形，通过试验分析由不同材料制成的杆件在产生拉伸或压缩变形时的力学性质，建立杆件在拉伸或压缩时的强度条件。§2-1概述2021/6/275一、截面法求轴力如图，设一等直杆在两端轴向拉力F的作用下处于平衡，欲求杆件横截面mm上的内力§2-2轴力、轴力图§2-2轴力、轴力图内力：构件在外力的作用下将产生变形，使得构件各质点间的相对位置发生变化而产生的附加内力。

截面法：截面法是求内力的一般方法，步骤：截开、分离、代替、平衡。mmFF2021/6/276mmFF在求内力的截面mm处，假想地将杆截为两部分截开代替留下左段为分离体mmFFN

以内力代替右段对左段的作用，绘分离体受力图。

内力合力的作用线与杆的轴线重合——轴力FN平衡对分离体列平衡方程FN=F§2-2轴力、轴力图分离2021/6/277mmFF代替mmFFN

以内力代替左段对右段的作用，绘分离体受力图。平衡对分离体列平衡方程FN=F§2-2轴力、轴力图若取右段为分离体mmFFN2021/6/278二、轴力的符号约定§2-2轴力、轴力图轴力方向以使所作用的杆微段拉伸为正；压缩为负。即拉为正，压为负。（正号轴力的指向是背离截面的，负号轴力的指向则是指向截面的）。1、轴力图的意义：形象地表示整个杆件上轴力沿轴线的变化情况，确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，为强度计算提供依据。三、轴力图2、轴力图的作法：以平行于杆轴线的横坐标（称为基线）表示横截面的位置；以垂直于杆轴线方向的纵坐标表示相应横截面上的轴力值，绘制各横截面上的轴力变化曲线。FN>0FNFNFN<0FNFNxFN2021/6/279§2-2轴力、轴力图三、轴力图3、轴力图的作图步骤：①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；②画纵坐标，正、负轴力各绘在基线的一侧；③标注正负号、各控制截面处、单位及图形名称。4、作轴力图的注意事项：①基线一定平行于杆的轴线，轴力图与原图上下截面对齐；②正负分绘两侧，

“拉在上，压在下”，封闭图形；③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号；④整个轴力图比例一致。xFN2021/6/2710FN图|FN|max=100kN+-150kN100kN50kNFNII=-100kN（压力）100kNIIIIFNIIIIIIII50kN100kNFNI=50kN（拉力）II50kNFNI§2-2轴力、轴力图多力作用下的轴向拉压杆件，应分段用截面法求轴力。150kN50kNIIIIFNII=-100kN（压力）FNII注：内力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。2021/6/2711FN图|FN|max=100kN+-150kN100kN50kNFNII=-100kN100kNIIIIFNIIIIIIII50kN100kNFNI=50kNII50kNFNI§2-2轴力、轴力图注：求解轴力时，一律先假定为正方向，则结果是正值则为拉力，是负值则为压力，且与轴力的符号约定相一致。150kN50kNIIIIFNII=-100kNFNII（拉力）（压力）（压力）2021/6/2712FN图|FN|max=100kN+-150kN100kN50kNFNII=100kN100kNIIIIFNIIIIIIII50kN100kNII50kN§2-2轴力、轴力图注：求解轴力时，一律先假定为正方向，则结果是正值则为拉力，是负值则为压力，且与轴力的符号约定相一致。150kN50kNIIII（压力）FNI=50kNFNIFNII=-100kNFNII2021/6/2713§2-2轴力、轴力图五、直接法作轴力图四、轴力方程——通常杆件上各截面处的轴力是不相同的，它是截面位置x的函数，即FN＝FN（x），称为轴力方程直接法：轴向拉伸（压缩）杆件任一横截面的轴力，等于该横截面任意一侧杆段上所有外力在轴线方向上投影的代数和。150kN50kNIIIIFNII+150kN－50kN=0FNIIFNII=－150kN+50kN=－100kN2021/6/2714轴力图的特点：突变值=集中载荷+–3kN5kN8kN§2-2轴力、轴力图5kN8kN3kN五、直接法作轴力图四、轴力方程——通常杆件上各截面处的轴力是不相同的，它是截面位置x的函数，即FN＝FN（x），称为轴力方程直接法：轴向拉伸（压缩）杆件任一横截面的轴力，等于该横截面任意一侧杆段上所有外力在轴线方向上投影的代数和。FN图2021/6/2715

[例]杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。BD段：解：用直接法DE段：AB段：注：内力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。30KN20KN30KN402010–++FN图2021/6/2716§2-2轴力、轴力图轴力图的作图步骤：①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；②画纵坐标，正、负轴力各绘在基线的一侧；③标注正负号、各控制截面处、单位及图形名称。作轴力图的注意事项：①多力作用时要分段求解，一律先假定为正方向，优先考虑直接法；②基线‖轴线，正负分绘两侧，

“拉在上，压在下”，比例一致，封闭图形；③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号；④阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。xFN§2-2轴力、轴力图2021/6/2717

内力是由外力引起的，仅表示某截面上分布内力向截面形心简化的结果。而构件的变形和强度不仅取决于内力，还取决于构件截面的形状和大小以及内力在截面上的分布情况。为此，需引入应力的概念。FFFF一、应力的概念——所谓应力是指截面上某点处单位面积内的分布内力，即内力集度。§2-3拉（压）杆截面上的应力§2-3拉（压）杆截面上的应力2021/6/2718MAF求截面上M点的应力包围M

点取一微面积

A设

A上内力的总和为

F

A面积上内力的平均集度§2-3拉（压）杆截面上的应力pm——A面积上的平均应力由于截面上内力的分布一般是不均匀的，如果让

A趋于零，则pm

的极限值即为M点处的内力集度，也称为m-m截面上M点处的总应力——M点处的总应力2021/6/2719一般而言，一点的总应力p既不与截面垂直，也不与截面相切。习惯上将p分解为一个与截面垂直的法向分量和一个与截面相切的切向分量。法向分量称为正应力，用

表示；切向分量称为切应力，用

表示。MAp

注意：1、在谈到应力时，必须指明应力所在的平面及点的位置；2、没有特别说明的情况下，提到应力一般指正应力和切应力。应力的单位：帕斯卡(pa)、兆帕（Mpa）、吉帕（Gpa）1帕=1牛顿/米2(N/m2)1GPa=109Pa1MPa=1N/mm2=106Pa§2-3拉（压）杆截面上的应力应力的正、负号约定：正应力

以拉应力为正，压应力为负；切应力

以使所作用的微段绕其内部任意点有顺时针方向转动趋势者为正，反之为负。——M点处的总应力2021/6/2720

取一等直圆杆，在其外表面上刻两条横截面平面的轮廓线A、B和许多与轴线平行的纵线在两端施加一对轴向拉力F1、实验：

拉（压）杆横截面上只有正应力，没有切应力。ABFFAB§2-3拉（压）杆截面上的应力二、拉（压）杆横截面上的应力2021/6/2721

所有的纵向线都伸长，伸长量都相等，仍与轴线平行，而横截面轮廓线A、B平移到A'、B'，仍为一与轴线垂直的平面圆周线在两端施加一对轴向拉力FABA'B'结论：表面各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同平面假设：直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。结论：由平面假设知，正应力在横截面上是均匀分布的FFFFFNF§2-3拉（压）杆截面上的应力2021/6/2722

结论：由平面假设知，正应力在横截面上是均匀分布的FNFFFN2、轴向拉压的应力计算：——FN

为轴力，A为杆的横截面面积拉力引起的应力称为拉应力，压力引起的应力称为压应力；应力的符号与轴力的符号一致，即拉应力为正，压应力为负。§2-3拉（压）杆截面上的应力2021/6/27233、圣维南原理——FN

为轴力，A为杆的横截面面积§2-3拉（压）杆截面上的应力说明：杆端集中力作用点附近区域内的应力分布比较复杂，并非均匀分布，上式只能计算该区域内横截面上的平均应力，而不是应力的真实情况；且应力分布规律及其计算公式与外力作用方式有关，其研究已经超出材料力学范围。研究表明，弹性杆件横截面上的应力分布规律在距外荷载作用区域一定距离后，不因外荷载作用方式而改变。这一结论称为圣维南原理ABFF2021/6/2724例2.2图2.7（a）所示三角托架中，AB杆为圆截面钢杆，直径d=30mm；BC杆为正方形截面木杆，截面边长a＝100mm。已知F＝50kN，试求各杆的应力。§2-3拉（压）杆截面上的应力2021/6/2725解：运用截面法，在距离自由端为x的截面处将杆截断，取下段为脱离体，设G（x）为该段杆的重量，则§2-3拉（压）杆截面上的应力2021/6/2726x的方程（轴力方程）x＝0时，x＝l时，FN图§2-3拉（压）杆截面上的应力2021/6/2727x＝0时，x＝l时，——即应力沿杆长的分布是x的线性函数FN图σ分布图§2-3拉（压）杆截面上的应力2021/6/2728例题：一横截面为正方形的砖柱分上，下两段，其受力情况，各段长度及横截面面积如图所示，图中长度的单位为mm，已知F=50KN，试求荷载引起的最大工作应力。FABCFF3000400021370240§2-3拉（压）杆截面上的应力2021/6/272950KN150KN解：FABCFF3000400037024021先求轴力、作轴力图，再代入公式求应力

max在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力。§2-3拉（压）杆截面上的应力2021/6/2730Fkk

F

以图示横截面面积为A的轴向拉杆为例，求与横截面成

角的任一斜截面k—k上的应力三、拉（压）杆斜截面上的应力

在下一节拉伸与压缩试验中我们会看到，铸铁试件压缩时，其断面并非横截面，而是斜截面。为了全面分析解决杆件的强度问题，还需研究斜截面上的应力。1、研究意义2、斜截面上的应力§2-3拉（压）杆截面上的应力2021/6/2731Fkk

F

假想地用一平面沿斜截面k—k将杆一分为二，取左段为研究对象Fkkxn

p

：斜截面上的总应力

：自横截面外法线到斜截面外法线的夹角轴力FN=F，均布于斜截面上FNA

：斜截面的面积

逆时针时

为正号顺时针时

为负号§2-3拉（压）杆截面上的应力三、拉（压）杆斜截面上的应力2021/6/2732Fkk

FFkkxn

横截面的面积为A，则有故有为横截面上的应力§2-3拉（压）杆截面上的应力2021/6/2733沿截面法线方向的正应力

沿截面切线方向的切应力

Fkk

FFkkxn

（1）、应力的大小正应力切应力Fkkxn

将p

=σcosα分解为两个分量：§2-3拉（压）杆截面上的应力2021/6/2734Fkk

FFkkxn

斜截面上既有正应力，又有切应力，且都是α的函数。（3）、分析正应力切应力Fkkxn

——拉压杆最大正应力发生在横截面上，且在此截面上切应力为零。求

max当

=0时，

max=

，§2-3拉（压）杆截面上的应力2021/6/2735Fkk

FFkkxn

（3）、分析正应力切应力Fkkxn

——拉压杆最大切应力发生在与横截面成45o的斜面上，数值上等于最大正应力的一半。求当

=±45o

时，§2-3拉（压）杆截面上的应力2021/6/2736

这种由于杆件形状或截面尺寸突然改变而引起局部区域的应力急剧增大的现象称为应力集中§2-3拉（压）杆截面上的应力四、应力集中的概念特点是：在小孔附近的局部区域内，应力急剧增大，但在稍远处，应力迅速降低而趋于均匀。2021/6/2737——应力集中现象的截面上最大应力§2-3拉（压）杆截面上的应力四、应力集中的概念——孔洞横截面的净面积——孔洞截面视作均匀分布按净面积计算的名义应力应力集中因数（>1）2021/6/2738

这种由于杆件形状或截面尺寸突然改变而引起局部区域的应力急剧增大的现象称为应力集中§2-3拉（压）杆截面上的应力四、应力集中的概念注意：1、应力集中并不是由于洞口直径所在的横截面削弱使得该面上的应力有所增加而引起的，杆件外形的骤然变化，是造成应力集中的主要原因。2、试验结果表明，截面尺寸改变得越急剧、角越尖，应力集中的程度就越严重。3、各种材料对应力集中的敏感程度不相同。2021/6/2739§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比FF一、轴向拉压杆的变形分析FF轴向拉伸：轴向伸长、横向缩短轴向伸长量：横向缩短量：轴向压缩：轴向缩短、横向伸长轴向缩短量：横向伸长量：注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不一的杆件，因此引入应变的概念。2021/6/2740FFFF1、轴向变形量：2、横向变形量：二、线应变轴向线应变：线应变：单位长度的长度改变量称之为线应变。用ε表示，量纲为一。横向线应变：

当杆件受拉伸沿轴向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩沿轴向缩短时，横向则伸长。§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比2021/6/2741FFFF二、线应变

当杆件受拉伸沿轴向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩沿轴向缩短时，横向则伸长。实验表明，对于同一种材料，当拉（压）杆内的应力不超过材料的比例极限时，存在如下关系：

——称为泊松比，量纲为一§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比2021/6/2742二、线应变注意：上式计算出的ε是轴向纤维在全长l内的平均线应变，当沿杆长度均匀变形（所有截面的正应力都相等）时，它也代表l长度范围内任一点处轴向方向的线应变。当沿杆长度非均匀变形时（如一等直杆在自重作用下的变形），它并不反映沿长度各点处的轴向线应变。FF§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比2021/6/2743二、线应变FF——微段的平均线应变x截面处沿轴线方向的线应变§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比2021/6/2744三、胡克定律实验表明，工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此范围内轴向拉、压杆件的伸长或缩短量

l，与轴力

FN和杆长

l成正比,与横截面面积

A成反比。式中：引入比例系数E，则变形可写成E——弹性模量（与材料性质有关的物理量，单位Pa）EA——抗拉（压）刚度——即变形与弹性模量、横截面面积的乘积成反比。§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比2021/6/2745三、胡克定律E——弹性模量EA——抗拉（压）刚度又因为①式可写成：，又，则有：或：——①——②——③①、②、③式都称为胡克定律胡克定律：在弹性范围，正应力与线应变成正比。θ§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比2021/6/2746E——弹性模量EA——抗拉（压）刚度——①

l表示长为

l的杆件在轴力

FN的作用下的伸长量或缩短量条件：整个杆长

l上的轴力、弹性模量及横截面面积都为常数当轴力在n段中分别为常量时–++FN图当轴力在杆长范围内为位置的函数时§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比2021/6/2747例2.5如图所示一等直钢杆，横截面为b×h=10×20mm2的矩形，材料的弹性模量E=200GPa。试计算：（1）每段的轴向线变形；（2）每段的线应变；（3）全杆的总伸长。§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比2021/6/274850kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m解：用直接法画轴力图§2-5拉（压）杆的变形分析：多力作用下，整个杆长范围内轴力分段为常数，只能分段求变形，再求和。

又因为BD段内虽然轴力为常数，但截面面积又分两段，所以要分4段求变形。40KN20KN10KN–+–FN图2021/6/274940KN20KN10KN–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m解：用直接法画轴力图§2-5拉（压）杆的变形FN图2021/6/275040KN20KN10KN–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m解：用直接法画轴力图§2-5拉（压）杆的变形FN图即杆被压短了1.572mm2021/6/2751解：把自重简化为沿着轴线均匀分布的线荷载，集度q＝γA任意取一个截面1－1，画受力图。轴力在1－1截面处取出一微段dy作为研究对象，受力如图。由于取的是微段，dFN(y)可以忽略，认为在微段dy上轴力均匀分布（常数）§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比2021/6/2752§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比2021/6/2753等直杆由自重引起的变形量等于把自重当作集中力作用在杆端所引起的变形量的一半。G令取一根相同的杆件，把它的自重作为一个集中力作用在自由端，此时杆件的伸长量为§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比2021/6/2754例2.7图2.16（a）为一简单托架。AB杆为圆钢，横截面直径d=20mm。BC杆为8号槽钢。已知F=60kN，E=200GPa，求结点B的位移。§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比2021/6/2755例2.7图2.16（a）为一简单托架。AB杆为圆钢，横截面直径d=20mm。BC杆为8号槽钢。已知F=60kN，E=200GPa，求结点B的位移。§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比2021/6/2756例2.7图2.16（a）为一简单托架。AB杆为圆钢，横截面直径d=20mm。BC杆为8号槽钢。已知F=60kN，E=200GPa，求结点B的位移。§2-4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比2021/6/2757材料的力学性质是指在外力作用下材料在变形和破坏过程中所表现出的性能材料的力学性质除取决于材料本身的成分和组织结构外，还与荷载作用状态、温度和加载方式等因素有关。本节重点讨论常温、静载条件下金属材料在拉伸或压缩时的力学性质。§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质2021/6/2758标矩：在试件中部等直部分取长度为l0的一段作为试验段，称为标距l

0=10d——十倍试件

或

l

0=5d——五倍试件

实验设备：主要有两类，一类称为万能试验机；另一类设备是用来测试变形的变形仪。试件：为使不同材料的试验结果能进行对比，对于钢、铁和有色金属材料，需按规定加工成标准试件§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质试验方法2021/6/2759§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质变形仪万能试验机2021/6/2760荷载位移曲线：将试件受到的轴向力F和与之相对应的变形量Δl一一记录下来，直到试件被拉断或压坏，然后以Δl为横坐标，F为纵坐标画出若干个点，以曲线相连，得到一条F－Δl曲线，称之为荷载位移曲线§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质OFDl应力-应变曲线：为使材料的性能与几何尺寸无关，将荷载位移曲线中的F值除以试件的原始横截面，即用正应力σ作为纵坐标，将Δl值除以原始计算长度l，即用轴向线应变ε作为横坐标，得到一条σ

－ε

曲线，称为应力-应变曲线。Oσε试验方法2021/6/2761§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质应力-应变曲线：为使材料的性能与几何尺寸无关，将荷载位移曲线中的F值除以试件的原始横截面，即用正应力σ作为纵坐标，将Δl值除以原始计算长度l，即用轴向线应变ε作为横坐标，得到一条σ

－ε

曲线，称为应力-应变曲线。Oσε强度指标——材料发生失效时的应力值塑性指标——表征材料塑性变形能力的值试验方法2021/6/2762§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质低碳钢拉伸试验的应力应变曲线1、强度性质：四个阶段Oσεa'abd弹性阶段屈服阶段强化阶段局部变形阶段ec弹性阶段（oa'段）屈服阶段（a'c段）强化阶段（cd段）局部变形阶段（颈缩阶段）（de段）一、低碳钢拉伸时的力学性质2021/6/2763§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质弹性阶段（oa'段）Oσεa'abd弹性阶段ecσeσpoa‘段：弹性变形σe——弹性极限αaa‘段：微弯曲线(非线性、弹性），，低碳钢：σe≈σp＝200MPaE＝200GPa一、低碳钢拉伸时的力学性质oa段：直线(线弹性）σp——比例极限2021/6/2764§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质屈服阶段（a'c段）Oσεa'abd弹性阶段ecσeσpσsαa‘c段：水平锯齿状（应力基本不变，应变继续增大），进入弹塑性变形阶段σs——屈服极限（屈服阶段最低点b对应的应力值）低碳钢：σs≈240MPa屈服阶段一、低碳钢拉伸时的力学性质名义屈服极限滑移线屈服极限σs是确定材料设计强度的主要依据。2021/6/2765§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质强化阶段（cd段）Oσεa'abd弹性阶段ecσeσpσsσbcd段：上升的曲线，斜率比弹性阶段小（部分地恢复了抵抗变形的能力），主要是塑性变形σb——强度极限（最高点d所对应的应力值）α低碳钢：σb≈400MPa强化阶段屈服阶段一、低碳钢拉伸时的力学性质强度极限σb是衡量材料强度的另一个重要指标。2021/6/2766§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质局部变形阶段（de段）Oσεa'abd弹性阶段ecσeσpσsσbde：下降的曲线，由于颈部横截面面积急剧减小，使试件变形增加所需的拉力在下降，所以按原始面积算出的应力也随之下降α强化阶段屈服阶段试件的变形集中在某一段内，横截面面积显著地收缩，出现颈缩现象，一直到试件被拉断。e′实际的应力增长的，如图中的虚线de'一、低碳钢拉伸时的力学性质2021/6/2767§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质2、变形性质：两个塑性指标延伸率：断面收缩率：

延伸率和断面收缩率越大，材料的塑性变形能力越强—脆性材料—塑性材料一、低碳钢拉伸时的力学性质对于十倍试件低碳钢是一种典型的塑性材料2021/6/2768§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质3、卸载定律及冷作硬化：2134εσO卸载定律：当加载到任一点，然后缓慢卸载，在卸载过程中，应力应变曲线将沿着与弹性阶段的直线相平行的方向直到应力为零，应力与应变之间遵循直线关系的规律称为材料的卸载定律。C

e：弹性应变

p：塑性应变一、低碳钢拉伸时的力学性质2021/6/2769冷作硬化：在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载，当再次加载时，试件在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大，但塑性变形和延伸率有所降低。2134ε

σOC§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质冷拉时效：在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载，休息几天后再加载，能获得更高的比例极限和强度极限，但是塑性能力进一步降低。3、卸载定律及冷作硬化：

e：弹性应变

p：塑性应变2021/6/2770二、低碳钢压缩时的力学性质§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质aE=tga低碳钢拉伸应力应变曲线D(ss)(se)BA(sp)E(sb)gs(MPa)200400e0.10.2O低碳钢压缩应力应变曲线E、σs

均与拉伸实验中的基本相同，无颈缩，无破坏点，最后被压成饼状2021/6/2771三、铸铁在拉伸和压缩时的力学性质§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质——脆性材料，抗压能力远大于抗拉能力

——断口截面：受拉破坏：沿着横截面被拉断

受压破坏：沿着与轴线约成45o的斜截面剪断2021/6/2772四、塑性材料和脆性材料力学性能比较§2-5材料在拉伸、压缩时的力学性质塑性材料脆性材料断裂前有很大塑性变形断裂前变形很小抗压能力与抗拉能力相近抗压能力远大于抗拉能力可承受冲击载荷，适合于锻压和冷加工适合于做基础构件或外壳材料的塑性或脆性会随材料所处的温度、应变速率和应力状态等条件的变化而不同。2021/6/2773一、基本概念§2-6拉（压）杆的强度计算3、许用应力：把极限应力除以一个大于一的系数n（称为安全因数），所得结果称为许用应力，记作[σ]2、极限应力：极限状态时的最大应力称为极限应力，记作σ0n>1——安全因数1、极限状态：材料发生断裂或出现明显的塑性变形而丧失正常工作能力时的状态。§2-6拉（压）杆的强度计算2021/6/2774一般来讲因为断裂破坏比屈服破坏更危险3、许用应力：把极限应力除以一个大于一的系数n（称为安全因数），所得结果称为许用应力，记作[σ]n>1——安全因数§2-6拉（压）杆的强度计算2021/6/2775

轴向拉（压）杆工作时，正应力绝对值最大的横截面称为危险截面二、强度计算注：要运用强度公式，首先要判断危险截面的位置及最大工作应力的位置。轴向拉（压）杆的强度条件：§2-6拉（压）杆的强度计算2021/6/2776（1）强度校核（2）截面设计（3）确定许用荷载注：当满足强度条件求许用荷载的方法：先求许用轴力，再根据轴力和荷载的关系确定许用荷载。§2-6拉（压）杆的强度计算二、强度计算2021/6/2777例题：三角屋架的主要尺寸如图所示，它所承受的竖向均布荷载沿水平方向的集度为q=10kN/m。屋架中钢拉杆AB直径d=22mm，许用应力[]=170MPa。试校核AB的强度。CqAB8.4m1.4m§2-6拉（压）杆的强度计算2021/6/2778解：（1）求支反力CqAB8.4m1.4m因为此屋架结构及其荷载左右对称，所以FRAFRB（2）求AB杆的轴力取半个屋架为脱离体，画受力图CA4.2mFRAFNABFCXFCY1.4mq§2-6拉（压）杆的强度计算2021/6/2779（3）求杆AB的应力CqAB8.4m1.4mFRAFRB（4）强度校核CA4.2mFRAFNABFCXFCY1.4mq（5）结论：满足强度条件（或者“安全”）§2-6拉（压）杆的强度计算2021/6/2780三、应用强度条件的步骤及注意事项1、步骤：①内力分析——确定危险截面的可能位置②应力分析——确定危险截面及其最大应力的位置③强度条件及其应用2、注意事项：①轴向拉压杆横截面上只有正应力，没有切应力；②不论是强度校核、设计截面还是求许用荷载，最后一定要有结论。§2-6拉（压）杆的强度计算2021/6/2781ABCF求：1、当F=10kN时，校核该结构的强度2、求许用荷载[F]3、当F＝[F]时，重新选择杆的截面。例：如图所示结构，已知：AB杆为钢杆，长度面积，BC杆为木杆，长度，面积。§2-6拉（压）杆的强度计算2021/6/2782ABCF解：1、当F=10kN时，校核该结构的强度取铰B为研究对象，画受力图BFFN1FN2§2-6拉（压）杆的强度计算例：如图所示结构，已知：AB杆为钢杆，长度面积，BC杆为木杆，长度，面积。2021/6/2783ABCFBFFN1FN2所以满足强度条件§2-6拉（压）杆的强度计算解：1、当F=10kN时，校核该结构的强度例：如图所示结构，已知：AB杆为钢杆，长度面积，BC杆为木杆，长度，面积。2021/6/2784例：如图所示结构，已知：AB杆为钢杆，长度面积，BC杆为木杆，长度，面积。解：2、求许用荷载[F]BFFN1FN2分析：要求许用荷载，先求许用轴力由得由得§2-6拉（压）杆的强度计算2021/6/2785例：如图所示结构，已知：AB杆为钢杆，长度面积，BC杆为木杆，长度，面积。ABCF解：3、当F＝[F]＝40.4KN时，重新选择截面面积BFFN1FN2由得所以，可以选择AB杆的面积为505mm2，BC杆的面积为10000mm2§2-6拉（压）杆的强度计算2021/6/2786一、超静定问题的概念§2-7拉（压）杆超静定问题§2-7拉（压）杆超静定问题静定问题：单个物体或物体系统独立未知量的数目正好等于它的独立的平衡方程的数目，全部未知量均可求出，这样的问题称为静定问题，相应的结构称为静定结构。

超静定或静不定：独立未知量的数目多于独立的平衡方程的数目，未知量不可全部求出，这样的问题称为超静定问题，相应的结构称为超静定结构。超静定次数多余约束2021/6/2787独立的平衡方程数：2×3＝6未知力数：2+1+2+1＝6独立的平衡方程数=未知力数独立的平衡方程数：2×3＝6未知力数：3+1+2+1＝7未知力数>独立的平衡方程数静定问题超静定问题§2-7拉（压）杆超静定问题2021/6/2788§2-7拉（压）杆超静定问题2021/6/2789§2-7拉（压）杆超静定问题2021/6/2790二、力法求解超静定结构的一般步骤§2-7拉（压）杆超静定问题力法：以多余约束的约束反力为基本未知量来求解超静定结构的一种方法。

例题：两端固定的等直杆AB，横截面积为A，弹性模量为E，在C点处承受轴力F的作用，如图所示。计算A、B的约束反力。

2021/6/2791§2-7拉（压）杆超静定问题

例题：两端固定的等直杆AB，横截面积为A，弹性模量为E，在C点处承受轴力F的作用，如图所示。计算A、B的约束反力。（1）判定超静定次数及多余约束（2）静力方面基本体系：是指去掉原超静定结构的所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定结构。（4）物理方面（3）几何方面（5）补充方程变形协调条件2021/6/2792§2-7拉（压）杆超静定问题

例题：两端固定的等直杆AB，横截面积为A，弹性模量为E，在C点处承受轴力F的作用，如图所示。计算A、B的约束反力。（1）判定超静定次数及多余约束（2）静力方面基本体系：是指去掉原超静定结构的所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定结构。（4）物理方面（3）几何方面（5）补充方程（6）求解2021/6/2793§2-7拉（压）杆超静定问题（1）判定超静定次数及多余约束；（2）选取基本体系，列静力平衡方程；（3）列出变形协调条件；（4）物理方面，将杆件的变形用力表示；（5）将物理方程代入变形协调条件，得到补充方程；（6）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。二、力法求解超静定结构的一般步骤说明：（1）力法求解超静定问题的关键是找到正确的变形协调条件；（2）一般从多余约束处找到变形协调条件；（3）多余约束的选择有时不是惟一的。（4）几次超静定就要列几个几何方程2021/6/2794§2-7拉（压）杆超静定问题

例题：两端固定的等直杆AB，横截面积为A，弹性模量为E，在C点处承受轴力F的作用，如图所示。计算A、B的约束反力。（1）判定超静定次数及多余约束（2）静力方面基本体系：是指去掉原超静定结构的所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定结构。2021/6/2795例2.10图2.29（a）所示三杆铰接于结点A，并在结点受力F作用，设①杆和②杆的抗拉刚度均为E1A1，③杆的抗拉刚度为E3A3

，试求三杆的内力。§2-7拉（压）杆超静定问题（1）静力方面2021/6/2796例2.10图2.29（a）所示三杆铰接于结点A，并在结点受力F作用，设①杆和②杆的抗拉刚度均为E1A1，③杆的抗拉刚度为E3A3

，试求三杆的内力。§2-7拉（压）杆超静定问题（2）几何方面2021/6/2797例2.10图2.29（a）所示三杆铰接于结点A，并在结点受力F作用，设①杆和②杆的抗拉刚度均为E1A1，③杆的抗拉刚度为E3A3

，试求三杆的内力。§2-7拉（压）杆超静定问题（3）物理方面（4）补充方程2021/6/2798例2.10图2.29（a）所示三杆铰接于结点A，并在结点受力F作用，设①杆和②杆的抗拉刚度均为E1A1，③杆的抗拉刚度为E3A3

，试求三杆的内力。§2-7拉（压）杆超静定问题（5）求解2021/6/2799思考题刚性梁ABC由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。尺寸

如图所示，拉力P为已知。求各杆的轴力。ABC123408080P5075分析：都是二力杆，三个未知量，又由于是平面平行力系，有且只有两个平衡方程，所以是一次超静定问题。§2-7拉（压）杆超静定问题2021/6/27100变形相容条件？变形后三根杆与梁仍绞接在一起。ABC123408080P5075变形几何方程？§2-7拉（压）杆超静定问题2021/6/27101ABC123P5075补充方程FN1FN2FN3P408080静力平衡方程§2-7拉（压）杆超静定问题2021/6/27102三、温度应力§2-7拉（压）杆超静定问题温度应力：在超静定结构中，温度变化所引起的杆件变形由于受到限制而产生的应力称为温度应力。注意1、计算温度应力的关键同样是根据变形协调条件列出补充方程。2、杆的变形包括两部分，由温度变化所引起的变形，以及温度变形产生的杆件内力引起的弹性变形。2021/6/27103三、温度应力§2-7拉（压）杆超静定问题α——材料的线膨胀因数，表示温度改变10C时杆件单位长度的伸缩。变形协调条件2021/6/27104例2.12

图2.32（a）所示结构，刚性横梁ACB受到①、②两根杆件的约束，已知①杆为钢杆，横截面面积，长度，弹性模量，线膨胀因数，②杆为铜杆，相应数据为，，，如，如①、②两杆的温度升高，试求两杆的轴力。2021/6/27105例2.12

图2.32（a）所示结构，刚性横梁ACB受到①、②两根杆件的约束，已知①杆为钢杆，横截面面积，长度，弹性模量，线膨胀因数，②杆为铜杆，相应数据为，，，如，如①、②两杆的温度升高，试求两杆的轴力。2021/6/27106例2.12

图2.32（a）所示结构，刚性横梁ACB受到①、②两根杆件的约束，已知①杆为钢杆，横截面面积，长度，弹性模量，线膨胀因数，②杆为铜杆，相应数据为，，，如，如①、②两杆的温度升高，试求两杆的轴力。2021/6/27107例2.12

图2.32（a）所示结构，刚性横梁ACB受到①、②两根杆件的约束，已知①杆为钢杆，横截面面积，长度，弹性模量，线膨胀因数，②杆为铜杆，相应数据为，，，如，如①、②两杆的温度升高，试求两杆的轴力。2021/6/27108四、装配应力§2-7拉（压）杆超静定问题2021/6/27109§2-8连接件的实用计算§2-8连接件的实用计算连接件：通过一定的方式将不同构件组合成整体结构或结构部件以使各构件共同工作，这样的部件称为连接件。2021/6/27110§2-8连接件的实用计算一、剪切的实用计算搭接对接FF2021/6/27111§2-8连接件的实用计算一、剪切的实用计算外力与连接件轴线垂直连接件横截面发生错位我们将错位横截面称为剪切面FF2021/6/27112§2-8连接件的实用计算一、剪切的实用计算F剪切面FSFF2021/6/27113§2-8连接件的实用计算一、剪切的实用计算F剪切面FSFF剪切面上的应力分布是很复杂的工程上往往采用实用计算的方法，假设剪切面上只有切应力没有正应力，且与剪力FS对应的切应力在剪切面上是均匀分布的

FS——剪切面上的剪力

——为剪切面的面积2021/6/27114§2-8连接件的实用计算一、剪切的实用计算F剪切面FSFF

FS——剪切面上的剪力

——为剪切面的面积剪切强度条件：

[]

——连接件所用材料的许用切应力2021/6/27115§2-8连接件的实用计算一、剪切的实用计算搭接中，铆钉杆只有一个剪切面，因为两个外力作用线不在一直线上，所以在连接处会产生弯曲变形，在实用计算中忽略了剪切面上的正应力。为了避免这一缺点，可采用对接。FF单剪对接双剪2021/6/27116§2-8连接件的实用计算二、挤压的实用计算一般来讲，承受剪切的构件在发生剪切变形的同时都伴随有挤压挤压破坏的特点是：在构件相互接触的表面，因承受了较大的压力，接触处的局部区域发生显著的塑性变形而使连接松动FF板与铆钉之间接触并传递力的面称为挤压面2021/6/27117挤压面上所传递的压力称为挤压力，用Fbs表示。

挤压面为上半个圆柱面挤压面为下半个圆柱面板与铆钉之间接触并传递力的面称为挤压面§2-8连接件的实用计算二、挤压的实用计算FF挤压面上所产生的应力称为挤压应力，用

bs表示。

2021/6/27118挤压面上的应力分布也是很复杂的，在实用计算中，假设挤压应力

bs在计算挤压面上是均匀分布的，即挤压面为上半个圆柱面挤压面为下半个圆柱面§2-8连接件的实用计算二、挤压的实用计算FFFbs——挤压力Abs——计算挤压面的面积2021/6/27119§2-8连接件的实用计算二、挤压的实用计算Fbs——挤压力Abs——计算挤压面的面积关于计算挤压面面积的确定：1、当挤压面为平面时，计算挤压面面积Abs为实际接触面的面积；2、当挤压面为曲面时，如铆钉、螺栓等连接件的挤压面为半个圆柱面，计算挤压面面积Abs用圆柱面在直径平面上的投影面积来代替，即2021/6/27120§2-8连接件的实用计算二、挤压的实用计算Fbs——挤压力Abs——计算挤压面的面积2021/6/27121§2-8连接件的实用计算二、挤压的实用计算Fbs——挤压力Abs——计算挤压面的面积挤压强度条件：

[

bs]

——连接件所用材料的许用挤压应力连接件和被连接件之间的挤压是相互的，其挤压应力相等。因此，当两者材料不同时，只需校核二者之中许用挤压应力较小的一个即可。2021/6/27122连接破坏的主要形式连接件被连接件——板挤压破坏挤压破坏剪切破坏轴向拉压破坏§2-8连接件的实用计算2021/6/27123例图示受拉力P作用下的螺栓，剪切面面积为

，挤压面面积为

。Dπdhπ(D2-d2)/4§2-8连接件的实用计算2021/6/27124铆钉群等量受力的条件铆钉直径均相等（粗细相同）外力通过铆钉群的形心§2-8连接件的实用计算2021/6/27125§2-8连接件的实用计算例2.14图示对接式铆钉连接，已知：板的宽度，两盖板的厚度，两主板的厚度，铆钉直径。连接中各部分材料相同，其许用拉应力许用切应力，许用挤压应力。设外力，试对该连接作强度校核。2021/6/27126§2-8连接件的实用计算例2.14图示对接式铆钉连接，已知：板的宽度，两盖板的厚度，两主板的厚度，铆钉直径。连接中各部分材料相同，其许用拉应力许用切应力，许用挤压应力。设外力，试对该连接作强度校核。铆钉1、剪切强度校核双剪2021/6/27127§2-8连接件的实用计算例2.14图示对接式铆钉连接，已知：板的宽度