第26讲 四边形面积问题（解析版）

一．选择题（共1小题）1．已知双曲线C:x2-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上的任意一点，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点， 若四边形PAOB(O为坐标原点）的面积为·2，且PF1PF2>0，则点P的横坐标的取值范围 【解答】解：双曲线C:x2-的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，渐近线方程为y=bx，y=-bx，设P(m,n)，可得b2m2-n2=b2，设PA的方程为y=b(x-m)+n，PB的方程为y=-b(x-m)+n，O到直线PA的距离为解得b=2·,则双曲线的方程为=1，焦点F2为直径的圆的方程为x2+y2=9，联立双曲线方程解得PF1PF2>0，可得P在以F1F可得P的横坐标的范围是故选：A.二．填空题（共2小题）F2为椭圆的左右焦点，过椭圆的中心任作一直线与椭圆交于PQ两点，当四边形PF1QF点，当四边形PF1QF2面积最大时，PF1.PF2的值等于7.【解答】解：因为四边形是平行四边形，所以，四边形可以成两个全等三角形的组合图形，则SPF1QF2=||sinθ;当θ取最大值时四边形PF1QF2面积最大，sinθ=即当点P、Q分别在上下顶点时，θ取最大值，四边形PF1QF2面积最大，令椭圆的实半轴为a=5，虚半轴为b=4，焦半径为c故答案为7.3．设F1，F2是椭圆+y2=1的两个焦点，过F1，F2分别作若l1与椭圆C交于A，B两点，l2与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方则四边形ABCD面积的最大值为4.因为l1//l2，设平行线间的距离为d，所以四边形ABCD面积为S=|AB|●d，①当直线的斜率不存在时，可得四边形ABCD为矩形，设直线AB的方程：x=±,代入椭圆的方程可得F2②当直线的斜率存在且不为0时，且m≠0，由椭圆的对称性可得ABCD为平行四边形，设l1的方程为：x=my，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得两条平行线间的距离，所以t所以故答案为：4.三．解答题（共15小题）4．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率，过右焦点F作与x轴垂直的直线l，l与椭圆的交点到x轴的距离为.（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，过点F的直线l9与椭圆C交于A、B两点(A、B不在x轴上【解答】解1）由已知可得因为直线经过右焦点，又因为a2=b2+c2，所以椭圆的方程为.（2）因为过F(1,0)的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不在x轴上所以设直线l的方程为x=ty+1，得(3t2+4)y2+6ty-9=0，所以四边形AOBE为平行四边形，由对勾函数的单调性，得当m=1，即t=0时，Smax=5．已知椭圆的离心率为，过其右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆C于线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右顶点为R，且满足|RP+PQ|=2.（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k（其中k≠0)的直线l过点F，且与椭圆交于点A，B，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆交于点C，D，求四边形ACBD面积S的取值范围.【解答】解1）由e==得a=2c，RP+RQRP+RQ|=|2RF|=2(a-c)=2（2）斜率为k（其中k≠0)的直线l过点F，可得直线方程为：y=k(x-1)，:△=122恒正，xA+xB=，xAxB=:（此处也可以用点差法：由得:点C，D到直线AB的距离之和为dC+dD= :S的取值范围：(6,4·3)……………………（126．已知曲线C:y=，D为直线y=—上的动点，过D作C的两条切线，切点分别（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.【解答】解1）证明：的导数为y’=x，设切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，即有切线DB的方程为y=x2x—，联立两切线方程可得2直线AB的方程为可化为可得AB恒过定点(0,)；（2）法一：设直线AB的方程为y=kx+AB中点H(k,k2+)，由H为切点可得E到直线AB的距离即为|EH|，可得即有直线AB的方程为y=或y=±x+，此时D(±1,-)到直线AB的距离为='2；E(0,)到直线AB的距离为，法二：（2）由（1）得直线AB的方程为y=tx+.于是x1x2222|x1-x2|2，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1=，设M为线段AB的中点，则M(t,t2+).综上，四边形ADBE的面积为3或4.7．如图，O为坐标原点，椭圆C1:的左、右焦点分别为F1，F2，C2的方程；作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.2b2=1:椭圆C1的方程为+y2=1，双曲线C2的方程为—y2=:直线AB不垂直于y轴，:设AB的方程为x=ny—1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，2·(y1+y2)24y1y2:M在直线AB上，直线PQ的方程为，:P，Q的坐标分别为:P，Q在直线A，B的两端，则四边形APBQ的面积S=|AB|(d1+d2)=2.厂3厂 12n2.:当n2=0，即n=0时，四边形APBQ面积取得最小值2.8．已知点F是抛物线C:x2=4y的焦点，P是其准线l上任意一点，过点P作直线PA，PB与抛物线C相切，A，B为切点，PA，PB与x轴分别交于Q，R两点.(Ⅰ)求焦点F的坐标，并证明直线AB过点F；(Ⅱ)求四边形ABRQ面积的最小值.【解答】解：(I)解法一：F(0,1)，同理lPB:y=x-y2.所以直线AB过焦点F.(I)解法二：F(0,1)，设AB直线方程为y=kx+m，则由m得x2-4kx-4m=0，所以x1+x2=4kx1.x2=-4m，过A的切线方程为y-y1= 过B的切线方程为y-y2=，所以交点P的坐标为因为P在直线y=-1上，所以x1.x2=-4m=-4，所以m=1即直线过焦点F.(II)由(I)知lAB:y=x+1，代入C:x2=4y得x2-2x0x-4=0，P到AB的距离所以SΔPAB=f(t)=t3—t在[2，+∞)上是增函数，则四边形ABRQ面积的最小值为3.9．已知A(2,0)，B(2,0)，曲线C1上任意一点P满足直线AP与直线BP的斜率之积为3—.4（1）求曲线C1的标准方程；（2）已知直线l过F(1,0)（与x轴不重合）且交C1于M，N两点，过F且垂直于直线l的直线m交C2:(x+1)2+y2=16于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【解答】解1）设动点P(x,y)，由题意可知x≠±2，kAP=，kBP=化简可得（2）当l与x轴不垂直时，〔y=l3x〔y=l3xk(x1)+4y2得(4k2+3)x28k2x+4k212=x2圆心C2(1,0)到m的距离为2，故四边形MPNQ的面积|MN||PQ|=12可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8·)，四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8·3). x+y=0交M于A，B两点，且椭圆M的离心率为.（1）求椭圆M的方程；（2）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD丄AB，求四边形ACBD面积的最大值. 所以椭圆的右焦点为(·3,0)， 因为椭圆M的离心率为，故椭圆M的方程为由题意，可设直线CD的方程为y=x+n22则直线CD的斜率为1，，当n=0时，S取得最大值， 故四边形ACBD面积的最大值为.11．过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y—=0交M于A，B两点，且椭圆的长轴长为短轴长的·2倍.（1）求M的方程；（2）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线分别为AB，CD，且ABCD=0，求四边形【解答】解1）由题意知b+c2，所以M的方程为（2）联立方程组，依题意可设直线CD的方程为：y=x+m， 当m=0时，S最大，最大值为. 所以四边形ACBD的面积最大值为.两条渐近线l1、l2上的两点，△OP1P2(O为坐标原点）的面积为9，点P是曲线C上的一点，且P且P（1）求此双曲线的方程；（2）设点M是此双曲线C上的任意一点，过点M分别作l1、l2的平行线交l2、l1于A、B两点，试证：平行四边形OAMB的面积为定值.（3）若点M是此双曲线C上不同于实轴端点的任意一点，设θ=上F1MF2(F1、F2分别【解答】（1）解：」双曲线的离心率e==·i5，:c=v5a，2a2:双曲线的渐近线方程为y=±2x，设P2P22x2」P」点P在双曲线上，:8x1x2=9a2，①x1222:所求双曲线方程为一双曲线C的渐近线方程为y=±2x，:设其中一条平行y=2x的直线方程为y联立y02x0，解得 :0y0||MF|cosθ,1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ;（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积.，可令x=c，解得y=b·c21=b2，设M(c,b2)，2，则双曲线的方程为可得夹角θ=arctan2·;2x2y2=2，可得(2k2)x2+2·k2x3k22=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x22 综上可得△AF1B的面积的最小值为43； 双曲线的渐近线方程为y=±·2x， Q到直线y=s2x的距离为d=，联立直线y=x，可得第一象限上的一点，且满足|PF1|+|PF2|=8，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线PA、PB与渐近线的交点分别是A和B.（1）求四边形OAPB的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点P,为双曲线C,上任意一点，过点P,分别作双曲线C,两条渐近线的平行线P,A,、P,B,与渐近线的交点分别是A,和B,．请问四边形OA,P,B,的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用a、b表示该定值若不是定值，请说明理由.22可得PF2F2，则点P的横坐标为xP=2，2联立双曲线的方程，解得点，直线OP的方程为3x—2y=0，点B到直线OP的距离为 因此，四边形OAPB的面积为S平行四边形OAPB=2SΔOBP=iOP.d=；（2）四边形OA,P,B,的面积为定值ab，理由如下：设点P,(x0，y0)，双曲线的渐近线方程为，联立，解得，即点B,(+y0,+x0)，0直线OP,的方程为y=x，即y0x—x0y=0，0是坐标原点，点M满足OA是坐标原点，点M满足OA=2OM.(Ⅱ)若互相平行的两条直线l，l’分别过定点(—·i3,0)和(,0)，且直线l与曲线E交于P，Q两点，直线l’与曲线E交于R，S两点，若四边形PQRS的面积为，求直线l的方程.所以，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆（不含左右顶点）.所以，点A的轨迹方程为故，点M的轨迹E的方程为，即+y2=1(y≠0)..这时，四边形PQRS的面积为2，不符合要求.当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=k(x+·)，则直线l’的方程为y=k(x—·)x2又，两条平行直线l，l’间的距离d=.解得，k=±1或k=±故，直线l的方程为y=±(x+)或16．如图，O为坐标原点，椭圆C1:的左右焦点分别为F1F2，离心·3-1.（2）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.4-b4=于是3b-b=|F2F4|=双曲线C2的方程为-y2=1.（2）因为直线AB不垂直于y轴且过点F1(-1,0)，故可设直线AB的方程为x=my-1.由联立椭圆方程+y2=1，得y2-2my-1=0，易知此方程的判别式大于0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1+y2=，y1y2=因此x1+x2=m的中点为故直线PQ的斜率为-，PQ的方程为，即mx+2y=0.由联立双曲线方程，得x2=4，所以2-m2>0，x2=，y2=+y2设点A到直线PQ的距离为d，则B