第22讲 轨迹方程（解析版）

一．选择题（共5小题）1．过点P(2,1)斜率为正的直线交椭圆=1于A，B两点．C，D是椭圆上相异的两点，满足CP，DP分别平分上ACB，上ADB，则ΔPCD外接圆半径的最小值为()【解答】解：如图，先固定直线AB，设，则f（C）=f（D）=f(P)，其中为定值，故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且ΔPCD外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑BP>AP的阿波罗尼斯圆的情况，BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，接下来寻求半径的表达式，同理，当BP<AP时有，综上，当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y-1=k(x-2)，即y=kx-2k+1，与椭圆方程联立可得(24k2+5)x2+48k(1-2k)x+96(k2-k-1)=0，)，则由根与系数的关系有2.|x2-2|注意到x1-2与x2-2异号，故故选：D.A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆表示点P(x,y)到定点(-1,1)与定直线的距离相等的点的轨迹，由抛物线的定义可知：点P的轨迹是抛物线.故选：C.3．若动圆过定点A(-3,0)且和定圆(x-3)2+y2=4外切，则动圆圆心P的轨迹为()A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．双曲线一支【解答】解：设动圆的半径为R，动圆圆心为P，点A在动圆上，:|PA|=R又定圆(x-3)2+y2=4的圆心为B(3定圆与动圆P相外切:圆心距|PB|=R+2:点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支故选：D.2:(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及则动圆圆心M的轨迹方程为()2【解答】解：设动圆圆心M的坐标为(x,y)，半径为r，故点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的左支，2故点M的轨迹方程为故选：B.5．已知F是抛物线x2=4y的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点轨迹方程是()A．x2=y-B．x2=2y-C．x2=2y-2D．x2=2y-1【解答】解：由x2=4y，得其焦点坐标为(0,1)，设线段PF中点为(x,y)，P(x1，y1)，由中点坐标公式得P是抛物线上的点，:x12=4y1，即4x2:x2=2y-1.故选：D.二．填空题（共7小题）6．两定点的坐标分别为A(-1,0)，B(2,0)，动点满足条件上MBA=2上MAB，动点M的轨迹【解答】解：设M(x,y)，上MAB=α,则上MBA=2α,它们是直线MA、MB的倾角还是倾角的补角，与点M在x轴的上方还是下方有关；以下讨论：①若点M在x轴的上方，y>0，此时，直线MA的倾角为α,MB的倾角为兀-2α,:tanα=kMA=，tan:-，得：3x2-y2=3，|MA|>|MB|，:x≥1.当2α=90O时，α=45O，ΔMAB为等腰直角三角形，此时点M的坐标为(2,3)，它满足上述方程.②当点M在x轴的下方时，y<0，同理可得点M的轨迹方程为3x2-y2=3(x≥1)，③当点M在线段AB上时，也满足2上MAB综上所求点的轨迹方程为3x2-y2=3(x≥1)或y=0(-1<x<2).=36的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为【解答】解：如图，连接MA，根据垂直平分线的性质，MA=MQ，因此点M的运动轨迹为椭圆，设其方程为，所以其方程为故答案为.2=16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于N点，则点N的轨迹方程为【解答】解：因为MF1的垂直平分线与MF2交于N点，所以NF1=NM. 所以点N的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆， 2所以点N的轨迹方程为故答案为9．已知圆M:(x+1)2+y2=1，圆N:(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，则C的方程为半径3.设动圆的半径为R，动圆P与圆M外切并与圆N内切，:|PM|+|PN|=R+1+(3-R)=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，2-c2=3.:曲线C的方程为去掉点(-2,0))故答案为+(y-1)2所表示的曲线是双曲线. 意义是：平面内动点(x,y)到定点(1,1)，与到定直线x+y=0的距离的比为·2的点的轨迹， :轨迹是双曲线.故答案为：双曲线.11．若动点P(x,y)到定点F(5,0)的距离是它到直线x=的距离的倍，则动点P的轨迹方程是【解答】解：点P(x,y)到定点F(5,0)的距离是·(x-5)2+y2，点P(x,y)到直线x=的距离是|x-|，化简为12．在平面直角坐标系xOy中，直线x=t(-4<t<4)与椭圆交于两点P1(t,y1)、P(t,y2)，且y1>0、y2<0，A1、A2分别为椭圆的左所在的曲线方程为两式左右分别相乘得y2=-(x2-16)①P(t,y1)、P2(t,y2)在椭圆上 :y12=9，y22=9y12代入①可得故答案为三．解答题（共28小题）13．已知点A(-2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-，记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线.【解答】解：点A(-2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-，化简得曲线C是一个椭圆，除去左右顶点.14．已知坐标平面上点M(x,y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5.（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C，线段AB，点A为C上一点，点B(11,13)，求AB的中点P的轨迹方程.【解答】解1）由题意坐标平面上点M(x,y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5，得=5，化简得x2+y2-2x-2y-23=0.:点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25，（2）设P(x,y)，A(x0，y0)，根据题意有，所点A在圆C上，所以有(x0-1)2+(y0-1)2=25，所以(2x-12)2+(2y-14)2=25，所以所以AB的中点P的轨迹方程为+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，求点E的轨迹方程.由椭圆定义可得点E的轨迹方程为…（10分）16．已知圆M:(x+1)2+y2=1，圆N:(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点Q(1,1)作圆M的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB被曲线C截得的弦的中点坐标.【解答】解1）由已知得圆M的圆心为M(—1,0)，半径r1=1，圆N的圆心为N(1,0)，半设动圆P的圆心为P(x,y)，半径为R.圆P与圆M外切并且与圆N内切，(r由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆（左定点除外得2a=4，:a=2，c=1，:b2=3，:椭圆方程为:中点的横坐标为代入直线l:y=—2x—1，得中点的纵坐标为，:所求中点坐标为.17．已知圆M:(x+1)2+y2=1，圆N:(x1)2+y圆心P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）若直线l:y=x+k与曲线C相切，求k的值.设动圆P半径为R.M在N内，:动圆只能在N内与N内切，不能是N在动圆内，即：R<3动圆P与圆M外切，则PM=1+R，动圆P与圆N内切，则PN=3-R，:PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值.:P是以M、N为焦点的椭圆.MN的中点为原点，故椭圆中心在原点，:b2=a2-c2=4-1=3，:C的方程为2若直线l和曲线C相切，18．已知圆M:(x+1)2+y2=1，圆N:(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．求C的方程.设动圆P半径为R.M在N内，:动圆只能在N内与N内切，不能是N在动圆内，即：R<3动圆P与圆M外切，则PM=1+R，动圆P与圆N内切，则PN=3-R，:PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值.:P是以M、N为焦点的椭圆.MN的中点为原点，故椭圆中心在原点，:b2=a2-c2=4-1=3，:C的方程为19．已知圆C的方程为(x-3)2+y2=4，定点A(-3,0)，求过定点A且和圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程.【解答】解：圆P与圆C外切，如图，:由双曲线的定义，点P的轨迹是以A，C为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中a=1，:b2=c2-a2=9-1=8.故所求轨方程为20．已知两圆C1:(x+4)2+y2=2，C2:(x-4)2+y2=2．动圆M与两圆都相切，求动圆圆心M的轨迹方程.【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆C1:(x+4)2+y2=2，:|MC1|=|MC2|，即M点在线段C1，C2的垂直平分线上2的坐标分别为(-4,0)与(4,0):其垂直平分线为y轴，:动圆圆心M的轨迹方程是x=0；②若一内切一外切，不妨令与圆C1:(x+4)2+y2=2内切，与圆C2:(x-4)2+y2=2外切， 则M到C2的距离减去M到C2的距离的差是2·2，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以(4,0)与(4,0)为焦点，以·为实半轴长的双曲线左支，故可得b2=c2a2=14，故:此双曲线的方程为一顶点A的轨迹方程.【解答】解：如图，设E、F分别为圆与AB、AC的两个切点，:点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，:b=，:轨迹方程为一故答案为22．直角三角形ABC的直角顶点A为动点，B(一·3，0)C(3，0)，作AD丄BC于D，动点E满足当动点A运动时，点E的轨迹为曲线G，（1）求曲线A的轨迹方程；（2）求曲线G的轨迹方程；（3）设直线L与曲线G交于M、N两点，坐标原点O到直线L的距离为3，求|MN|的最大值. 【解答】解1）直角三角形ABC的直角顶点A的轨迹为圆：x2+y2=3(x≠±·3)；（2）设E(x,y)，A(x0，y0)，则D(x0，0)，x+y=3，动点E满足代入曲线A的轨迹方程可得x2+3y2=3，化为+y2=1当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为：y=kx+m，M(x1，y1)，N(x2，y2).坐标原点O到直线L的距离为 3,22:|MN|=2)24x1x2]] =时取等号.综上可得：|MN|的最大值为2.23．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，求动点P的轨迹方程.【解答】解：由抛物线的定义知点P的轨迹是以F为焦点的抛物线，其开口方向向右，且解得p=4，所以其方程为y2=8x.故答案为：y2=8x.【解答】解：设动圆圆心为M(x,y)，半径为R，:定圆圆心为C(2,0)，半径r=1，两圆外切，又动圆M与直线x+1=0相切，:圆心M到直线x+1=0的距离d=R，:|MC|=d+1，即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到直线x+2=0的距离，由抛物线的定义可得，点M的轨迹是以C为焦点，x+2=0为准线的抛物线，且=2，即故动圆圆心的轨迹方程为y2=8x.25．设O为坐标原点，动点M在椭圆C+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP=2NM．求点【解答】解：设M(x0，y0)，由题意可得N(x0，0)，设P(x,y)，由点P满足NP=·2 即有x00即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形.(Ⅱ)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AM.BM=一2，求点M所以22A，B的坐标满足方程组2c2，不妨设设点M的坐标为，则27．设λ>0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y=x2上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM=λMP，求点P【解答】解：由QM=λMP知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y)，Q(x,y0)，M(x,x2x2y0=λ(yx2)即y0=(1+λ)x2λy①λ-A得将①代入②式得y—λ③又点B在抛物线y=x2故所求的点P的轨迹方程：y=2x—128．已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(Ⅰ)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR//FQ；(Ⅱ)若ΔPQF的面积是ΔABF的面积的两倍，求AB:R是PQ的中点，:RF=RP=RQ，:ΔPAR三ΔFAR，:上FQB=上PAR，:上PRA=上PQF，:AR//FQ.，B(x2，y2)，0)，准线为设直线AB与x轴交点为N，:ΔPQF的面积是ΔABF的面积的两倍，:2|FN|=1，:xN=1，即N(1,0).2=x-1.:AB中点轨迹方程为y2=x-1.29．已知点F1(-1,0)，F2(1,0)，动点P满足F1F2为PF1和PF2的等差中项.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F1作直线L交C于A，B两点，求AB的中点M的轨迹方程.【解答】解1）:F1(-1,0)，F2(1,0)，:点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，:a=2，:椭圆的方程是」A，B在椭圆C上，(1,0)适合上式，30．已知点P(2,2)，圆C:x2+y2一8y=0，过点P的动直线l与圆C交于AAB的中点为M，O为坐标原点．求M的轨迹方程.所以圆心为C(0,4)，半径为4.2231．在平面直角坐标系xOy中，曲线22（1）求曲线C的直角坐标方程；线C交于A，B两点，求【解答】解1）曲线C的参数方程为为参数，t∈R)，整理得曲线C的普通方程2t2:x2AA2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点.A2B交点M的轨迹方程；:x2矩形ABCD与矩形A,B,C,D,的面积相等，证明：t+t为定值.【解答】(I)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2=x1，y2=-y1，」A1(-a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为直线A2B的方程为A(x1，y1)在椭圆C0上，代入③可得：y2=(II)证明：设A,(x3，y3)，矩形ABCD与矩形A,B,C,D,的面积相等:4|x1||y1|=4|x3||y3|:x1y1=x3y3A，A,均在椭圆上，:a2(x—x)=xx2，:x1≠x3.:x+x=a22:y+y=b2:t+t=a2+b2为定值.（1）试判断直线AB是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点M是ΔPAB的外接圆圆心，求点M的轨迹方程.【解答】解1）因为点P是抛物线C:y=x2—3的顶点，根据题意可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=kx+b，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A、B是C上的两个动点，则有x1所以124b=8，解得b=1，又直线PA的斜率为kPA=设点，则有消去x1所以点M的轨迹方程为34．已知椭圆与抛物线M:y2=4x有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点作一条斜率为k(k≠0)的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点E，P为弦AB的中点，过点E作直线OP的垂线交OP于点Q，问是否存在一定点H，使得QH的长度为定值？若存在，则求出点H，若不存在，请说明理由.【解答】解1）抛物线M:y2=4x的焦点为(1,0)，可得a2b2=1①,抛物线的准线x=1被椭圆截得的弦长为3，所以椭圆C的方程为（2）设直线AB:y=k(x—1)，联立直线与椭圆方程所以点Q的轨迹为以，0)为圆心，为半径的圆，所以存在定点H(，0)，使得QH的长为定值. 35．已知椭圆的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为B1，=2，过点P(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.(Ⅲ)求证：直线B1M与直线B2N的交点T的纵坐标为定值.因为离心率为 2,2又c2解得m=1或1（舍去2x22x222所以直线与椭圆无交点，所以ΔOMN的面积不存在.(Ⅲ)证明：由题意知，直线l的方程为y=kx+2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x2因为直线和椭圆有两个交点，22设T(m,n)，因为B1，T，N在同一条直线上，mx1x1x1因为B2，T，N在同一条直线上，则mx2x2x2所以所以交点T恒在一条直线y=上，所以交点T的纵坐标为定值为1 22.（1）求椭圆C的方程；（2）设过椭圆C的右焦点F与坐标轴不垂直的直线l交C于点A，B，交y轴于点E，P为线段AB的中点，EQ丄OP且Q为垂足．问：是否存在定点H，使得QH的长为定值？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.故C的方程为22所以椭圆C的方程（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，直线则直线AB与y轴的交点为E(0,一2k)，所以直线EQ过定点M(1,0)，所以存在定点H(,0)，使QH的长为定值.（1）求E的方程.（2）设E的左、右顶点分别为A，B，过点(,0)的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，则从以下①②③三个问题中任选一个填到横线①求直线AC和BD交点的轨迹方程；②是否存在实常数λ,使得k1=λk2恒成立；③过点C作关于x轴的对称点C,，连结C,，D得到直线l1，试探究：直线l1是否恒过定点.【解答】解1）依题意解得（2）设直线l的方程为)，由韦达定理，得直线AC的方程；直线BD的方程联立方程，得2+)y2=(ty2)y1 2ty1y2+9y2=92(y1=92(y12)3y14+3y2)2y1y12,所以直线AC和BD交点的轨迹方程是直线x=6.)，由韦达定理，得于k1y1x23k2x19y1,故存在实数使得k1=λk2恒成立.由韦达定理，得直线C,D与x轴交于点M，说明C,，D，M三点共线，于是kC,M=kDM，假设，即亦即mx1x2mx1mx2m则y1(x2m)=y2(x1m)，所