第20讲 共线向量问题（解析版）

一．解答题（共18小题）1．已知直线l:y=kx+1，椭圆E:(Ⅰ)若不论k取何值，直线l与椭圆E恒有公共点，试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数关系式；求椭圆E的方程.【解答】解：(Ⅰ):直线l恒过定点M(0,1)，且直线l与椭圆E恒有公共点，:点M(0,1)在椭圆E上或其内部，得（联立方程组，用判别式法也可）当m>3时，椭圆的焦点在y轴上，e=x2:M(0,1)，:由AM=2MB得x1=-2x2③.将③④代入②得，-2，解得m2=6(m2=-15不合题意，舍去）.:椭圆E的方程为=112分）2．已知直线l:y=kx+1(k≠0)与椭圆3x2+y2=a(a>0)相交于A，B两个不同的点，记直线l与y轴的交点为C.【解答】解：设A(x1，y1)，B(x2，y(I)联立{22得：4-x2|直线l:y=kx+1(k≠0)与y轴的交点为C(0,1)，AC=(-x1，1-y1)，CB=(x2，y2--x2|4k4k2162)22 3．已知直线l:y=kx+1(k≠0)与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴【解答】解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，-x2|1-y1)=2(x2，y2-1)，解得x1=-2x2，代入上式得：xx2=-x2当且仅当k2=3时取等号，此时x2=，x1x2=-2x=-2× 所以，ΔAOB面积的最大值为，此时椭圆的方程为3x2+y2=5.4．在平面直角坐标系中，已知A1(-·,0),A2(√2,0),P(x,y),M(x,1),N(x,-2)，若实数λ使得λ2（1）求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型；若过点B(0,2)的直线l与（1）中P点的轨迹交于不同的两点E，F(E在B，F之间试求ΔOBE与OBF面积之比的取值范围.【解答】解1）OM=(x,【解答】解1）OM=(x,1),ON=(x,-2),A1P=(x+·2,y),A2P=(x-·2,y)」λ2-P:(x2-2)λ2=x2-2+y2化简得：(1-λ2)x2+y2=2(1-λ2)①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线②λ=0时方程为x2+y2=2轨迹为圆③λ∈(-1，0)(0，1)时方程为轨迹为椭圆:SΔOBE:SΔOBF=|x1|:|x2|5．如图，动点M到两定点A(-1,0)、B(2,0)构成ΔMAB，且上MBA=2上MAB，设动点M的轨迹为C.的取值范围.【解答】解：(Ⅰ)设M的坐标为(x,y)，显然有x>0，且y≠0化简可得3x2-y2-3=0而点(2,±3)在曲线3x2-y2-3=0上综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1)；:①有两根且均在(1,+∞)内设f(x)=x2-4mx+m2+3，:{f(1)=1-4m+m2+2-4(m2+3)l设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，:|PQ|<|PR|，:xR=2m+·3(m2-6．如图，动点M与两定点A(-1,0)、B(1,0)构成ΔMAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C.求的取值范围.:直线MA、MB的斜率之积为4，:4x2-y2-4=0综上点M的轨迹方程为可得3x22mxm24=0①当1或1是方程①的根时，m的(xR，yR)，:|PQ|<|PR|，::m>0且m≠17．在平面直角坐标系xOy中，已知ΔABC的两个顶点A，B的坐标分别为(一1,0)，(1,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于一2，记顶点C的轨迹为曲线E.(Ⅱ)设直线y=kx+2(0<k<2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R（点R在点P和点Q之间且求实数λ的取值范围.且AC，BC所在直线的斜率之积等于一2，化简得曲线E的方程为：2x2+y2=2(y≠0)；与曲线E相交于不同的两点Q，R（点R在点P和点Q之间设Q(x1，y1)，R(x2，y2)又0<k<2，:2<k2<:x1=λx2…③由①②得(1+λ)x2=22，λx22=结合②得→实数λ的取值范围.:点R在点P和点Q之间，:λ>1综上，实数λ的取值范围：(1,3)8．已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.λλμ【解答】解：(Ⅰ):抛物线C:y2=2px经过点P(1,2)，:4=2p，解得p=2，联立方程组可得1，消y可得k2x2+x+1=0，又:PA、PB要与y轴相交，:直线l不能经过点(1,一2)，即k≠一3，(Ⅱ)证明：设点M(0,yM)，N(0,yN)， 2x1x2=2，:为定值.9．如图，已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B.（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.,,求证：λ+μ为定值.【解答】解1）抛物线C:y2=2px经过点P(1,2)，:4=2p，解得p=2，联立方程组可得，（2）证明：设点M(0,yM)，N(0,yN)，λ(1yM)，故同理，即有λ+μ为定值.10．已知点P(1,2)在抛物线C:y2=2px上，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.（1）求直线l的斜率的取值范围；λλμλμ若不是，求1+1的取值范围λμ.【解答】解1）因点P(1,2)在抛物线C:y2=2px上，则22=2p.1，解得p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x.令直线l的斜率为k，则直线l方程为：y=kx+1，直线l与抛物线C有两个不同的交点A、B，则2一4k2>0，解得k<1且k≠0，否则PA或PB之一平行于y轴，矛盾，因此k≠一3，（2）设点M(0,yM)，N(0,yN)，QM=(0,yM一1设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x22λμ1—yM1—yN2y12y2(2y1)(2y2)2λμ11．已知ΘM:2+y2=，直线l:x=，动圆N与ΘM相外切，且与直线l相切．设动圆圆心N的轨迹为C，过点Q(0,1)的直线l与曲线C有两个不同的交点A、B.（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，点P(1,2)，直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N，QM=λλμ整理可得：y2=4x；所以曲线C的方程为：y2=4x；由题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：y=kx+1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)同理可得N的坐标λ-可得μ=1yN，λ=1yM，所以所以为定值2.12．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆其中，,其中λ为正常数．当点C恰为椭圆的右顶点时，对应的.（1）求椭圆E的离心率；（2）求a与b的值；（3）当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.22，（2）因为C(a,0)，λ=，将它代入到椭圆方程中，（3）解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，又椭圆的方程为所以由2 +4y2，（3）解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，1ly1由AP=1ly1+λx3=1+λ1+λ,将A，B坐标代入椭圆方程得两式相减得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，即3(x1+x2)+4(y1+y2)kAB=0，ⅆ（14分）同理，3(x3+x4)+4(y3+y4)kCD=0，而kAB=kCD，所以3(x3+x4)+4(y3+y4)kAB=0，所以3λ(x3+x4)+4λ(y3+y4)kAB=0，所以3(x1+λx3+x2+λx4)+4(y1+λy3+y2+λy4)kAB=0，即6(1+λ)+8(1+λ)k=0，所以kAB=-为定值.ⅆ（16分） 13．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F，过F作x轴的垂线交x22双曲线4-y=1的两条渐近线于E，G，得到三角形OEG的面积为1x22（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P，M，N的三个点都在椭圆C上，设MN的中点为Q，且PO=2OQ，试判断的面积是否为定值，并说明理由. 【解答】解1）因为椭圆的离心率为，，双曲线-y2=1的两条渐近线的方程为y=±,设FG=t，则OF=2t，因为三角形OEG的面积为1，所以.2t.2t=1，所以2，c=OF=2t=所以椭圆C的方程为（2）①当直线MN的斜率不存在时，所以Q(1,0)，此时MN的方程为x=1；或Q(1,0)，此时MN的方程为x=1.所以ΔPMN的面积为.|MN|.|PQ|= 36由椭圆轴对称性得：当MN的方程为x=1时，ΔPMN362②当直线MN的斜率存在时，设直线MN方程为y=kx+m，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，;1l1ly12,2m2)，x2因为点P在椭圆上，所以代入椭圆整理得满足△>0，因而m与k满足的等式关系为x2因为ΔPMN的重心是坐标原点O，所以ΔPMN的面积为ΔOMN的面积的3倍，设直线l与y轴交于点D，则D(0,m).36关系式（1）代入得S=362 综合①②得，ΔPMN的面积为定值.14．双曲线，已知Q是双曲线E上一点，A、B分别是双曲线E的左右顶点，直线QA，QB的斜率之积为1. (Ⅱ)若双曲线E的焦距为22，直线过点P(2,0)且与双曲线E交于M、N两点，若MP=3PN，求直线l2可得(1k2)x2+4k2x14k2=0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x222)，②15．已知圆O:x2+y2=2，过点A(1,1)的直线交圆O所得的弦长为，且与x轴的交点为双曲线E:=1的右焦点F(c，0)(c>2)，双曲线E的离（1）求双曲线E的方程；过点P作动直线l交双曲线右支于M、N两点，点Q异于M，N，且在线段MN上运动，并满足关系=，试证明点Q恒在一条直线上.圆心O到直线的距离为，解得2a2设过点P(4，5)作动直线l交双曲线右支于M(x1，y1)、N(x2，y2)两点，3点Q(x,y)，|PN||ON|:设=λ,则x11λ31+λ1λ1+λ1λ1+λ3x，1λ.1+λ=y，则x1λx2.x11λ1+λ3x，1λ.1+λ=y，即x4y=4，16．点P在以F1，F2为焦点的双曲线上，已知P丄P，|PF|，O为坐标原点.2PP2PP(Ⅲ)若过点Q(m，0)(m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且M--=λ-(λ为非零常数问在x轴上是否存在定点G，使F丄(GMλGN)？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由. PF1丄PF2:(4a)2+(2a)2=(2c)2:e=·5OP=4，:x1x2=4，代入E化简x1x2=a2，:a2=2(III)假设在x轴上存在定点G(t,0)使F使F设l:x=ky+m，M(x3，y3)，N(x4λλGN=(x3tλx4+λt,y3λy4),F1F2=(2·10,0)F丄(GMλGN)x3tλx4+λt=0k(y3λy4)+(1λ)m+(λ1)t=0（3）由MQ=λQN:y3+λy4=0:y3