第19讲 利用平面向量解决平行四边形问题（原卷版）

一．解答题（共16小题） 1．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆经过且离心率e=，（1）求椭圆方程.（2）经过点(0,)且斜率k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和①求k的取值范围.与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.2．已知椭圆的右焦点F，点E(，0)(c为椭圆的半焦距）在x轴上，若椭圆的离心率e=，且|EF|=1.（1）求椭圆方程；（2）若过F的直线交椭圆与A，B两点，且–A+–与向量=(4,-·i2)共线（其中O为3．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P、Q，(Ⅱ)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OP+OQ与AB共线，如果存在，求出4．如图，设抛物线方程为x2=2py(p>0)，M为直线y=-2p上任意一点，M不在y轴上，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B. (ⅱ)已知当M点的坐标为(2,-2p)时，|AB|=4·10，求此时抛物线的方程；(Ⅱ)是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py(p>0)上，其中，点C满足OC=OA+OB(O为坐标原点若存在，求出所有适合题意的点M5．已知点A，B的坐标分别是(-·2，0)，(·2，0)，动点M(x,y)满足直线AM和BM的斜率之积为-3，记M的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）直线y=kx+m与曲线E相交于P，Q两点，若曲线E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点求m的取值范围.6．如图所示，已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x+y-22=0相切.(Ⅱ)直线l:y=kx+m与圆O相交于P，Q两点，若在圆O上存在一点R，使四边形OPRQ为平行四边形，求实数m的取值范围.7．在ΔABC中，A，B的坐标分别是(-·2,0),(·2,0)，点G是ΔABC的重心，y轴上一点M满足GM//AB，且|MC|=|MB|.(Ⅱ)直线l:y=kx+m与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点求m的取值范围.8．已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；若l过点延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.l0:3x-4y-10=0与以原点为圆心、以椭圆E的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆E的方程；（2）过点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q．问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.10．已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，四边形A1B1A2B2的面积为4，坐标原点O到直线AB的距离为.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C上一点P作两条直线分别与椭圆C相交于点A，B（异于点P)，试判断以OP和AB为对角线的四边形是否为菱形？若是，求出直线AB的方程；若不是，请说明理由.11．已知椭圆左右两个焦点分别为F1，F2，R(1,)为椭圆C1上一点，过F2且与x轴垂直的直线与椭圆C1相交所得弦长为3．抛物线C2的顶点是椭圆C1的中心，焦点与椭圆C1的右焦点重合.(Ⅱ)过抛物线C2上一点P（异于原点O)作抛物线切线l交椭圆C1于A，B两点，求ΔAOB面积的最大值；(Ⅲ)过椭圆C1右焦点F2的直线l1与椭圆相交于C，D两点，过R且平行于CD的直线交椭圆于另一点Q，问是否存在直线l1，使得四边形RQDC的对角线互相平分？若存在，求出l1的方程；若不存在，说明理由.，F2分别为椭圆的左、右焦点在椭圆E上，且点P和F1关于点对称.（1）求椭圆E的方程；（2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.13．设F1，F2分别为椭圆的左，右焦点在椭圆E上，且点P和F1关于点对称.(Ⅱ)过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.F(c,0)，已知点和都在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率.(Ⅱ)设直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形，求m的取值范围.15．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，短轴长为2，O为原点，直线AF与椭圆C的另一个交