2025年高考一轮复习 专题10 三角函数的概念 诱导公式（思维导图+知识清单+核心素养分析+方法归纳）

专题10三角函数的概念诱导公式目录01思维导图02知识清单03核心素养分析04方法归纳一、角的概念1.角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点.2.角的分类任意角包括：正角、负角、零角.正角：一条射线按逆时针方向旋转形成的角.负角：一条射线按顺时针方向旋转形成的角.零角：一条射线没有进行任何旋转形成的角.温馨提示：对于角的形成过程，既要有旋转量，又要有旋转方向。二、终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.温馨提示：1.相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍；2.终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；3.终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍.三、象限角与轴线角1.象限角、轴线角的概念(1)象限角在平面直角坐标系中，如果角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么,角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.(2)轴线角如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限，称这个角为轴线角，2.象限角的集合表示锐角为{α|0⁰<a<90°},小于90°的角不等同于锐角，锐角不等同于第一象限的角.3.轴线角的集合表示(1)终边在x轴上的角{a|a=k·180°,k∈Z}.(2)终边在y轴上的角{a|a=k·180°+90°,k∈Z).(3)终边在坐标轴上的角{αlα=k·90°,k∈Z}.(4)终边在x轴非负半轴上的角{ala=k·360°,k∈Z}.(5)终边在x轴非正半轴上的角{a|a=k·360°+180°,k∈Z},(6)终边在y轴非负半轴上的角{αla=k·360°+90°,k∈Z).(7)终边在y轴非正半轴上的角{αla=k·360°+270°,k∈Z}.四、角度制与弧度制的概念1.角度制角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.2.弧度制(1)1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)弧度制用+弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.用符号rad表示，读作弧度.温馨提示：无论是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值.(3)弧度数公式如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么,角α的弧度数的绝对值是五、角度与弧度的换算角度与弧度的换算公式360⁰=2πrad,180°=πrad.六、弧长公式、扇形面积公式1.弧长公式角度制：为圆心角的角度数，R为扇形的半径).弧度制：l=aR(a为圆心角的弧度，0<a<2π,R为扇形的半径).2.扇形面积公式角度制：(n为圆心角的角度数，R为扇形的半径).弧度制：(a为圆心角的弧度，0<a<2π,R为扇形的半径，l为扇形的弧长).温馨提示：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示.七、任意角的三角函数(1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号＋＋－－＋－－＋＋－＋－记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．(3)三角函数线当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0,正切值不存在.八、同角三角函数基本关系(1)平方关系：．(2)商数关系：；九、三角函数诱导公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．温馨提示：1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．2．1.任意角、弧度制的概念，角度与弧度的互化是解三角函数的问题基础.2.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．3.若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．4.本专题在高考中多以选择题、填空题的形式出现；诱导公式在任意角三角函数的化简中起到重要作用.一、角及其表示例1(1)(多选)下列命题正确的是()A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}C．第三象限角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°答案AD解析B项，终边落在y轴上的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，角度与弧度不能混用，故错误；C项，第三象限角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ<α<\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))，故错误；D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，解得－eq\f(17,8)≤k≤－eq\f(1,8)(k∈Z)，从而当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故正确．(2)已知α为第三象限角，则eq\f(α,2)是第______象限角，2α是________的角．答案二、四第一、二象限或y轴的非负半轴上解析∵α是第三象限角，即2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，∴kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z，4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.当k为偶数时，eq\f(α,2)为第二象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)为第四象限角，而2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上．方法归纳：(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．(2)确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq\f(α,k)的终边所在位置．二、弧度制及其应用例2一扇形的圆心角α＝eq\f(π,3)，半径R＝10cm，求该扇形的面积．解由已知得α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，∴S扇形＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,3)·102＝eq\f(50π,3)(cm2)．延伸探究1．若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．解l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)·R2·sineq\f(π,3)＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)×102×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(50π－75\r(3),3)(cm2)．2．若将本例已知条件改为：“扇形周长为20cm”，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0<R<10)．所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.方法归纳：应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．三、三角函数的概念例3(1)若sinθ·cosθ<0，eq\f(tanθ,sinθ)>0，则角θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案D解析由eq\f(tanθ,sinθ)>0，得eq\f(1,cosθ)>0，所以cosθ>0.又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ为第四象限角．(2)已知α的终边在直线y＝2x上，则sinα＝________.答案±eq\f(2\r(5),5)解析由题意可知，α终边落在第一或第三象限，且tanα＝2，若在第一象限，可在α终边上任取一点(1,2)，∴sinα＝eq\f(2,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(5),5)，若在第三象限，可在α终边上任取一点(－1，－2)，∴sinα＝eq\f(－2,\r(－12＋－22))＝－eq\f(2\r(5),5).(3)已知α的终边过点(x,4)，且cosα＝－eq\f(3,5)，则tanα＝________.答案－eq\f(4,3)解析∵α的终边过点(x,4)，且cosα＝－eq\f(3,5)，∴x<0.∵cosα＝eq\f(x,\r(x2＋16))＝－eq\f(3,5)，∴x＝－3，∴tanα＝－eq\f(4,3).方法归纳：(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．四、同角三角函数基本关系例4(1)已知cosα＝－eq\f(5,13)，则13sinα＋5tanα＝.答案0解析∵cosα＝－eq\f(5,13)<0且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，则sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(12,13),－\f(5,13))＝－eq\f(12,5).此时13sinα＋5tanα＝13×eq\f(12,13)＋5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)))＝0.②若α是第三象限角，则sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝－eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(12,13),－\f(5,13))＝eq\f(12,5)，此时，13sinα＋5tanα＝13×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＋5×eq\f(12,5)＝0.综上，13sinα＋5tanα＝0.(2)已知tanα＝eq\f(1,2)，则eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝；sin2α＋sinαcosα＋2＝.答案－eq\f(5,3)eq\f(13,5)解析已知tanα＝eq\f(1,2)，所以eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－3,tanα＋1)＝－eq\f(5,3).sin2α＋sinαcosα＋2＝eq\f(sin2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋2＝eq\f(tan2α＋tanα,tan2α＋1)＋2＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋1)＋2＝eq\f(13,5).(3)已知sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，θ∈(0，π)，则tanθ＝.答案－eq\f(12,5)解析由sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，得sinθcosθ＝－eq\f(60,169)，因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，所以sinθ－cosθ＝eq\r(1－2sinθcosθ)＝eq\f(17,13)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(7,13)，,sinθ－cosθ＝\f(17,13)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(12,13)，,cosθ＝－\f(5,13)，))所以tanθ＝－eq\f(12,5).方法归纳：(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.五、诱导公式例5（1）已知，则.答案分析利用诱导公式化简，然后弦化切可得.解析因为，所以，原式.故