专题6.5 一次函数与方程、不等式的关系-重难点题型（学生版）2022年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）

专题6.5一次函数与方程、不等式的关系-重难点题型【苏科版】【知识点1一次函数与一元一次方程、不等式的关系】1.任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.【题型1一次函数的与一元一次方程】【例1】（2020秋•包河区期中）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：（1）关于x的方程kx+b＝0的解；（2）代数式k+b的值；（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．【变式1-1】（2021秋•泰兴市校级期末）已知一次函数y＝kx+1与y=−12x+b的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx+【变式1-2】一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝4的解为多少？【变式1-3】已知一次函数y＝kx﹣6的图象如图（1）求k的值；（2）在图中的坐标系中画出一次函数y＝﹣3x+3的图象（要求：先列表，再描点，最后连线）；（3）根据图象写出关于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解．【题型2一次函数的与一元一次不等式（数形结合）】【例2】（2021春•高明区期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c=14（d﹣A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【变式2-1】（2021•安徽模拟）已知一次函数y1＝kx+3（k为常数，且k≠0）和y2＝x﹣3．当x＜2时，y1＞y2，则k的取值范围是（）A．﹣2≤k≤1且k≠0 B．k≤﹣2 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0【变式2-2】（2021春•盐湖区校级期末）我们知道，若ab＞0．则有a＞0b＞0或a＜0b＜0．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+A．x＞2 B．﹣0.5＜x＜2 C．0＜x＜2 D．x＜﹣0.5或x＞2【变式2-3】（2021春•中山市期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小；②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3；④d﹣b＝3（a﹣c）．其中正确的有（）A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③【题型3一次函数的与一元一次不等式（取值范围）】【例3】（2021春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y1＝x+1与直线l2：y2＝2x﹣2交于点A．（1）求点A的坐标；（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；（3）已知直线l3：y3＝kx+1，当x＜3时，对于x的每一个值，都有y3＞y2，直接写出k的取值范围．【变式3-1】（2021春•茌平区期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．（1）求点A的坐标；（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．【变式3-2】（2021春•海珠区期末）已知一次函数y1＝ax+b的图象交x轴和y轴于点B和D；另一个一次函数y2＝bx+a的图象交x轴和y轴于点C和E，且两个函数的图象交于点A（1，4）（1）当a，b为何值时，y1和y2的图象重合；（2）当0＜a＜4，且在x＜1时，则y1＞y2成立．求b的取值范围；【变式3-3】（2020春•赣县区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数y=−23x的图象交于点B（（1）求a的值及一次函数y＝kx+b的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数y=−23x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求（3）直接写出关于x的不等式0＜−23x＜kx+【题型4一次函数与一元一次不等式（面积问题）】【例4】（2021春•诸城市期末）如图，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3）；直线y＝1﹣mx分别与x轴交于点C，与直线AB交于点D，已知关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x＞−4（1）分别求出k，b，m的值；（2）求S△ACD．【变式4-1】（2021春•东辽县期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；（3）求△ADC的面积．【变式4-2】（2020春•宁化县校级月考）如图，直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P（a，2）．（1）求出不等式2x≤kx+3的解集；（2）求出△OAP的面积．【变式4-3】已知一次函数y1＝﹣2x﹣3与y2=12（1）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（2）根据图象，不等式﹣2x﹣3＞12x+2的解集为（3）求两图象和y轴围成的三角形的面积．【题型5一次函数的与一元一次不等式（求点的坐标）】【例5】如图，直线y＝kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4），且MN=5.（1）求直线MN的解析式；（2）根据图象，写出不等式kx+b≥0的解集；（3）若点P在x轴上，且点P到直线y＝kx+b的距离为125，直接写出符合条件的点P【变式5-1】（2021春•顺德区期末）一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．（1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是；（2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1．①求点B的坐标；②求a的值．【变式5-2】（2020秋•南京期末）已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的函数关系式；（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，直接写出当x在什么范围内，不等式2x﹣4＞kx+b．【变式5-3】在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1与y轴交于点C，直线y＝x+k（k≠0）与y轴交于点A，与直线y＝﹣2x+1交于点B，设点B的横坐标为﹣2．（1）求点B的坐标及k的值；（2）求直线y＝﹣2x+1、直线y＝x+k与y轴所围成的△ABC的面积；（3）根据图象直接写出不等式﹣2x+1＞x+k的解集．【知识点2一次函数与二元一次方程】（1）每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.（2）解二元一次方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当自変量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线的交点坐标.【题型6一次函数与二元一次方程】【例6】（2021•济南二模）中国古代数学专著《九章算术》“方程”一章记载用算筹（方阵）表示二元一次方程组的方法，发展到现代就是用矩阵式a1b1a2b2xy=c1c2来表示二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2，而该方程组的解就是对应两直线（不平行）a1x+b【变式6-1】如图，直线y＝﹣2x+6与直线y＝mx+n相交于点M（p，4）．（1）求p的值；（2）直接写出关于x，y的二元一次方程组y=−2x+6y=mx+n（3）判断直线y＝3nx+m﹣2n是否也过点M？并说明理由．【变式6-2】（2021秋•文成县期末）如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P，（1）求出两条直线的函数关系式；（2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解；（3）求出图中△APB的面积．【变式6-3】（2020秋•西安