2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：幂函数、指数函数、对数函数（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：幂函数、指数函数、对数函数（10题）一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•孝南区校级模拟）已知函数f（x）＝ex和g（x）＝lnx的图象与直线y＝2﹣x的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则（）A．0＜x1＜1 B．x1+x2＜2 C．0＜x1x2＜1 D．e（多选）2．（2024•萍乡二模）已知2a＝5b＝10，则下列关系正确的是（）A．ea﹣b＞1 B．a+b＜ab C．a+4b＜9 D．(（多选）3．（2024•上饶模拟）已知a＞b＞0，则（）A．1a＜1b B．2a＞2C．a13＜b13 D．log（多选）4．（2024•九龙坡区模拟）若b＞c＞1，0＜a＜1，则下列结论正确的是（）A．ba＜ca B．logba＞logca C．cba＜bca D．blogca＞clogba（多选）5．（2024•福州模拟）已知实数x，y，z满足：2xA．y＜x＜z B．x＜y＜z C．y＜z＜x D．x＜z＜y（多选）6．（2024•贵阳模拟）已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则（）A．2a+2b⩾2C．log2a+log2b⩽1 D．a2+b2⩾2（多选）7．（2024•盐城一模）已知x，y∈R，且12x＝3，12y＝4，则（）A．y＞x B．x+y＞1 C．xy＜14 （多选）8．（2024•驻马店三模）若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（）A．M＝{0，2，4，6}，N＝{4} B．M＝{x|x2＜1}，N＝{x|x＞﹣1} C．M＝{x|y＝lgx}，N＝{y|y＝ex+5} D．M＝{（x，y）|x2＝y2}，N＝{（x，y）|y＝x}（多选）9．（2024•重庆模拟）已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则（）A．a2+b2≥2 B．14C．log2a+log2b≥0 D．a2﹣b＞0（多选）10．（2024•金华模拟）已知0＜a＜b＜1，m＞n＞1，则（）A．ba＞ab B．mn＞nm C．logba＞logmn D．logan＞logbm

2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：幂函数、指数函数、对数函数（10题）参考答案与试题解析一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•孝南区校级模拟）已知函数f（x）＝ex和g（x）＝lnx的图象与直线y＝2﹣x的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则（）A．0＜x1＜1 B．x1+x2＜2 C．0＜x1x2＜1 D．e【考点】对数函数的图象；函数与方程的综合运用．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】ACD【分析】由题意可得A，B两点的中点为（1，1），从而可得0＜x1＜1，1＜x2＜2，且x1+x2＝2，即可判断AB；由x1x2=x1(2-【解答】解：因为函数f（x）＝ex和g（x）＝lnx互为反函数，所以函数f（x）＝ex和g（x）＝lnx的图象关于直线y＝x对称，由y=xy=2-x解得x=1又因为直线y＝2﹣x与直线y＝x垂直，所以A，B两点的中点为（1，1），所以0＜x1＜1，1＜x2＜2，且x1+x2＝2，所以A正确，B错误；由x1x2=x1(2-x1)=-x12+2x1故选：ACD．【点评】本题主要考查了指数及对数函数对称性的应用，属于中档题．（多选）2．（2024•萍乡二模）已知2a＝5b＝10，则下列关系正确的是（）A．ea﹣b＞1 B．a+b＜ab C．a+4b＜9 D．(【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质；对数值大小的比较．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】AD【分析】由2a＝5b＝10，得a＝log210，b＝log510，1a+【解答】解：因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510，1a+1b=lg2+所以a＞b＞0，a﹣b＞0，所以ea﹣b＞1，选项A正确；由1a+1b=a+bab=1，所以因为a+4b＝（a+4b）（1a+1b）＝5+4ba+ab≥5+24ba因为1a+1b=1，所以1a=1-1故选：AD．【点评】本题考查了指数与对数的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．（多选）3．（2024•上饶模拟）已知a＞b＞0，则（）A．1a＜1b B．2a＞2C．a13＜b13 D．log【考点】对数值大小的比较；等式与不等式的性质；不等关系与不等式．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】AB【分析】对A：由不等式性质计算即可得；对B：结合指数函数的单调性即可得；对C、D：举出反例即可得．【解答】解：对A：由a＞b＞0，故ab＞0，则aab＞bab，即对B：由a＞b＞0，且f（x）＝2x为定义域上的单调递增函数，故2a＞2b＞20＝1，故B正确；对C：当a＝8，b＝1时，有a13=813=2对D：当a＝2，b=12时，有loga2＝log22＝1，logb2=log122=-1，此时log故选：AB．【点评】本题主要考查了不等式的性质及函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．（多选）4．（2024•九龙坡区模拟）若b＞c＞1，0＜a＜1，则下列结论正确的是（）A．ba＜ca B．logba＞logca C．cba＜bca D．blogca＞clogba【考点】对数值大小的比较；等式与不等式的性质；不等关系与不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；高考数学专题；数学运算．【答案】BC【分析】根据幂函数的单调性，判断出A、C项的正误；根据对数函数的单调性与不等式的性质，判断出B项的正误；通过举反例加以说明，判断出D项的正误．【解答】解：对于A，由0＜a＜1，可知幂函数y＝xa是（0，+∞）上的增函数，结合b＞c＞1，可知ba＞ca，故A项不正确；对于B，由0＜a＜1，可知对数函数y＝logax是（0，+∞）上的减函数，结合b＞c＞1，可知logab＜logac＜loga1＝0，即1logba＜1logca＜对于C，根据a﹣1＜0，可知幂函数y＝xa﹣1是（0，+∞）上的增函数，结合b＞c＞1，可知ba﹣1＜ca﹣1，即bab＜cac，整理得cba对于D，取a=12，b＝4，c＝2，满足b＞c＞1，0＜a＜此时blogca＝4log212=-4，clogba＝2log412=log414=-1，可得blogca＜c故选：BC．【点评】本题主要考查幂函数与对数函数的单调性及其应用、对数的运算法则与不等式的性质等知识，属于中档题．（多选）5．（2024•福州模拟）已知实数x，y，z满足：2xA．y＜x＜z B．x＜y＜z C．y＜z＜x D．x＜z＜y【考点】对数值大小的比较；对数的运算性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】ABD【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数、对数函数的图象，即可求解．【解答】解：令2x画出y＝2x，y=x-13，y＝由图象可知：当y＝t在①位置时，y＜x＜z；当y＝t在②位置时，x＜y＜z；当y＝t在③位置时，x＜z＜y；故y＜z＜x不可能成立．故选：ABD．【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．（多选）6．（2024•贵阳模拟）已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则（）A．2a+2b⩾2C．log2a+log2b⩽1 D．a2+b2⩾2【考点】对数的运算性质；基本不等式及其应用；有理数指数幂及根式．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】BD【分析】利用基本不等式可判断ABD，利用对数的运算性质，结合基本不等式可判断C．【解答】解：对于A，∵2a＞0，2b＞0，∴2a+2b≥22a⋅2b=22a+b=222=4，当且仅当2a＝对于B，∵a＞0，b＞0，∴1a+1b=12（a+b）（1a+1b）=12（2+b对于C，∵a＞0，b＞0，∴ab≤(a+b2)2=1，当且仅当∴log2a+log2b＝log2ab≤log21＝0，故C错误；对于D，∵a＞0，b＞0，∴ab≤(a+b2)2=1，当且仅当∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2ab≥4﹣2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．（多选）7．（2024•盐城一模）已知x，y∈R，且12x＝3，12y＝4，则（）A．y＞x B．x+y＞1 C．xy＜14 【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质；有理数指数幂及根式．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；数学运算．【答案】ACD【分析】由已知结合指数及对数的转化及对数函数的性质检验选项A；结合对数的运算性质检验选项B；结合基本不等式检验选项C，D即可．【解答】解：因为12x＝3，所以x＝log123，因为12y＝4，所以y＝log124，则y＞x，A正确；x+y＝log1212＝1，所以B错误；因为x＞0，y＞0，xy≤(x+y2)2=14，当x＝y(x+y)2故选：ACD．【点评】本题主要考查了指数与对数的转化公式，还考查了对数函数的性质，基本不等式的应用，属于中档题．（多选）8．（2024•驻马店三模）若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（）A．M＝{0，2，4，6}，N＝{4} B．M＝{x|x2＜1}，N＝{x|x＞﹣1} C．M＝{x|y＝lgx}，N＝{y|y＝ex+5} D．M＝{（x，y）|x2＝y2}，N＝{（x，y）|y＝x}【考点】求对数函数的定义域；Venn图表示交并补混合运算；指数函数的值域．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；数学运算．【答案】ACD【分析】分别解出各选项，再考查它们的关系，结合韦恩图即可判断．【解答】解：由题中韦恩图可得N⊆M，对于A，M＝{0，2，4，6}，N＝{4}，N⊆M，故A正确；对于B，M＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|x＞﹣1}，M⊆N，故B错误；对于C，M＝{x|y＝lgx}＝{x|x＞0}，N＝{y|y＝ex+5＞5}，N⊆M，故C正确；对于D，M＝{（x，y）|x2＝y2}＝{（x，y）|y＝x或y＝﹣x}，N＝{（x，y）|y＝x}，N⊆M，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查集合的含义、集合间的关系以及韦恩图，较简单．（多选）9．（2024•重庆模拟）已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则（）A．a2+b2≥2 B．14C．log2a+log2b≥0 D．a2﹣b＞0【考点】对数的运算性质；基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；数学运算．【答案】AB【分析】根据基本不等式可判定A，根据指数函数的单调性可判定B，根据基本不等式、对数运算及对数函数单调性可判断C，根据二次函数的性质可判断D．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝2，∴a2当且仅当a＝b＝1时取等号，故A正确．∵a＞0，b＞0，且a+b＝2，∴0＜a＜2，0＜b＜2，∴﹣2＜a﹣b＜2，∴14＜2由2=a+b≥2ab，得0＜ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴log2a+log2b＝log2（ab）≤log21＝0∵a2-b=a2-(2-a)=(a+12)2-94，又0＜a＜故选：AB．【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论，二次函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）10．（2024•金华模拟）已知0＜a＜b＜1，m＞n＞1，则（）A．ba＞ab B．mn＞nm C．logba＞logmn D．logan＞logbm【考点】对数值大小的比较．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】ACD【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解．【解答】解：对于A，因为指数函数y＝bx在R上单调递减，且a＜b，所以ba＞bb，因为幂函数y＝xb在（0，+∞）上单调递增，且a＜b，所以ab＜bb，所以ba＞ab，故A正确，对于B，取m＝5，n＝2，则52＜25，故B错误；对于C，因为对数函数y＝logbx在（0，+∞）上单调递减，y＝logmx在（0，+∞）上单调递增，所以logba＞logbb＝1，logmn＜logmm＝1，所以logba＞logmn，故C正确；对于D，因为对数函数y＝logax在（0，+∞）上单调递减，y＝logbx在（0，+∞）上单调递减，所以logan＞logam＞logbm，故D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．

考点卡片1．Venn图表示交并补混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．Venn图表示N∩（∁UM）为：．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】如图，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k∈M}，则阴影部分表示的集合是（）解：由题意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，故阴影部分表示的集合是∁R（M∪N）＝[0，8]．2．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，且3．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如42与84就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6∴不等式sinx≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔1a证明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a⋅1ab＞b⋅若1a＜∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．4．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2x2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x＜解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=x用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2的最值是这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2x+8-2x当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1=(x+1)当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（当且仅当技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．5．有理数指数幂及根式【知识点的认识】根式与分数指数幂规定：amn=nam（a＞0，m，n∈Na-mn=1amn=1nam（a＞0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义有理数指数幂（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：amn=nam（a＞0，m，n∈N②负分数指数幂：a-mn=1amn=1nam（a＞③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解题方法点拨】例1：下列计算正确的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、aa=aC、4(-3)4=3D、(ax)2a2分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正确；∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a•{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}{{a}^{3}}$，∴B不正确；∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正确；∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正确．故选：C．点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$B、am•an＝am•nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故选：D．点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．6．指数函数的值域【知识点的认识】指数函数的解析式、定义、定义域、值域1、指数函数的定义：一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝ax（a＞0，且a≠1）3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x=14，x=