2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：函数应用（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：函数应用（10题）一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•天心区校级模拟）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年．样本中氚的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足N=N0⋅2-t12.43，其中NA．t=12.43loB．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的132D．若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x＞16（多选）2．（2024•吉安模拟）已知函数f（x）＝sinx|sinx|﹣cos2x，则（）A．f（x）的图象关于点（π，0）对称 B．f（x）的值域为[﹣1，2] C．若方程f(x)=-14在（0，m）上有6个不同的实根，则实数mD．若方程[f（x）]2﹣2af（x）+a2＝1（a∈R）在（0，2π）上有6个不同的实根ii（i＝1，2，⋯，6），则ai=16xi的取值范围是（（多选）3．（2024•天河区校级二模）对于任意两个正数u，v（u＜v），记曲线y=1x直线x＝u，x＝v，x轴围成的曲边梯形的面积为L（u，v），并约定L（u，u）＝0和L（u，v）＝﹣L（v，u），德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现L（1，x）＝lnx．关于L（u，A．L(1B．L（440，380）＝80L（2，3） C．2L(u，D．L（uu，vu）＞v﹣u（多选）4．（2024•新郑市校级三模）已知f（x）＝|sinx|cosx+sin2x，则（）A．f（x）的图象关于点(π2B．f（x）的值域为[-C．f（x）在区间（0，50）上有33个零点 D．若方程f(x)=34在（0，t）（t＞0）有4个不同的解xi（i＝1，2，3，4），其中xi＜xi+1（i＝1，2，3），则x1+x2+x3+x4+t（多选）5．（2024•广东模拟）已知函数f(x)=2xA．f（x）的定义域为R B．f（x）是非奇非偶函数 C．函数f（x+2024）的零点为0 D．当x＞0时，f（x）的最大值为1（多选）6．（2024•定西模拟）已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a，g（x）＝x2﹣4|x|+2﹣a，则（）A．当g（x）有2个零点时，f（x）只有1个零点 B．当g（x）有3个零点时，f（x）只有1个零点 C．当f（x）有2个零点时，g（x）有2个零点 D．当f（x）有2个零点时，g（x）有4个零点（多选）7．（2024•毕节市模拟）函数f(x)=-x2+2x，A．∃b∈R，使得g（x）的图象关于原点对称 B．若a＝﹣1，﹣1＜b＜0，则方程g（x）＝0有大于2的实根 C．若0＜a≤1，b＝1，则方程g（x）＝0至少有两个实根 D．若a≥1，b＜1，则方程g（x）＝0有三个实根（多选）8．（2024•茂名模拟）已知x1为方程x3+x﹣1＝0的根，x2为方程x5+x﹣1＝0的根，则（）A．1+x1x2＜x1+x2 B．2＜C．x1＜x2 D．x（多选）9．（2024•雁峰区校级一模）已知函数f（x）＝x﹣tanx，x∈{x|0＜x＜5π2，x≠πA．当x∈(0，π2)B．x2+x1＜3π C．若x2＞x1，则x2﹣x1＞π D．x1sinx2+x2sinx1＜0（多选）10．（2024•菏泽二模）函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．下列结论正确的有（）A．函数f（x）＝[x]与函数h（x）＝x﹣1无公共点 B．若x∈（0，1），则f(-C．k=123D．所有满足f(m)=f(n)(m，n∈[0，10

2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：函数应用（10题）参考答案与试题解析一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•天心区校级模拟）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年．样本中氚的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足N=N0⋅2-t12.43，其中NA．t=12.43loB．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的132D．若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x＞16【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】CD【分析】对于A，由N=N0⋅2-t12.43对于B，将t＝24.86代入N=N对于C，将t＝62.15代入N=N对于D，由题意可得-x12.43=log20.4【解答】解：对于A，由N=N0⋅所以-t12.43=log2NN0，t对于B，将t＝24.86代入N=N0⋅2-t12.43，得N＝N0•所以经过24.86年后，样本中的氚元素是原来的14对于C，将t＝62.15代入N=N0⋅2-t12.43，得N＝N0•所以经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的132对于D，因为x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，所以N0•2-x12.43=即2-x12.43=0.4，-x12.43=log20.4＝log225=1﹣log25所以x≈﹣12.43×（﹣1.322）≈16.557＞16，故正确．故选：CD．【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了对数与指数的基本运算及互化，属于基础题．（多选）2．（2024•吉安模拟）已知函数f（x）＝sinx|sinx|﹣cos2x，则（）A．f（x）的图象关于点（π，0）对称 B．f（x）的值域为[﹣1，2] C．若方程f(x)=-14在（0，m）上有6个不同的实根，则实数mD．若方程[f（x）]2﹣2af（x）+a2＝1（a∈R）在（0，2π）上有6个不同的实根ii（i＝1，2，⋯，6），则ai=16xi的取值范围是（【考点】函数与方程的综合运用．【专题】分类讨论；对应思想；综合法；三角函数的图象与性质；直观想象；数学运算．【答案】BC【分析】对于A，判断f（2π﹣x）＝﹣f（x）是否成立，即可判断；对于B，分sinx≥0、sinx＜0去绝对值，即可判断；对于C，分sinx≥0、sinx＜0求解即可；对于D，由题意可得f（x）＝a﹣1或f（x）＝a+1，f（x）＝a﹣1有4个不同的实根，f（x）＝a+1有2个不同的实根，列出不等式组，可得a的范围，再结合三角函数的对称性求解即可．【解答】解：因为f（x）＝sinx|sinx|﹣cos2x，所以f（2π﹣x）＝﹣sinx|sinx|﹣cos2x≠﹣f（x），所以f（x）的图象不关于点（π，0）对称，A错误；当sinx≥0时f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin2x﹣（1﹣2sin2x）＝3sin2x﹣1，所以﹣1≤3sin2x﹣1≤2，当sinx＜0时，f（x）＝﹣sin2x﹣cos2x＝﹣sin2x﹣（1﹣2sin2x）＝sin2x﹣1，所以﹣1＜sin2x﹣1≤0，综上得﹣1≤f（x）≤2，B正确；当sinx≥0时，由f(x)=-14当sinx＜0时，由f（x）=-14所以方程f(x)=-14在（0，+∞）上的前7所以17π6＜m≤由[f（x）]2﹣2af（x）+a2＝1，即[f（x）﹣a]2＝1，f（x）﹣a＝1或f（x）﹣a＝﹣1，得f（x）＝a﹣1或f（x）＝a+1，所以f（x）＝a﹣1有4个不同的实根，f（x）＝a+1有2个不同的实根，所以-1所以0＜a＜1，设x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，则x1+x4＝x2+x3＝π，x5+x6＝3π，所以i=16所以ai=16xi的取值范围是（0，故选：BC．【点评】本题考查了三角函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．（多选）3．（2024•天河区校级二模）对于任意两个正数u，v（u＜v），记曲线y=1x直线x＝u，x＝v，x轴围成的曲边梯形的面积为L（u，v），并约定L（u，u）＝0和L（u，v）＝﹣L（v，u），德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现L（1，x）＝lnx．关于L（u，A．L(1B．L（440，380）＝80L（2，3） C．2L(u，D．L（uu，vu）＞v﹣u【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】AB【分析】根据L（1，x）＝lnx确定出L（x，1）的结果，然后分类讨论u＞1、v＜1、u＜1＜v、v＝1或u＝1时L（u，v）的结果，由此确定出L（u，v）的解析式，再根据解析式逐项分析即可．【解答】解：由题意L（1，x）＝﹣L（x，1）＝lnx，所以L（x，1）＝﹣lnx，当u＞1时，L（u，v）＝L（1，v）﹣L（1，u）＝lnv﹣lnu，当v＜1时，L（u，v）＝L（u，1）﹣L（v，1）＝L（1，v）﹣L（1，u）＝lnv﹣lnu，当u＜1＜v时，L（u，v）＝L（u，1）+L（1，v）＝L（1，v）﹣L（1，u）＝lnv﹣lnu，当v＝1或u＝1时，L（u，v）＝lnv﹣lnu也成立，综上所述，L（u，v）＝lnv﹣lnu；对于A：L(1所以L(110，对于B：L（440，380）＝ln380﹣ln440＝ln380﹣ln280＝80（ln3﹣ln2），且L（2，3）＝ln3﹣ln2，所以L（440，330）＝80L（2，3），故B正确；对于C：如图，因为曲边梯形的面积总小于对应梯形的面积，所以L(u，即2L(u，v)＜对于D：取u＝1，v＝2，则L（uu，vu）＝L（1，2）＝ln2＜2﹣1＝1，故D错误．故选：AB．【点评】本题考查函数新定义，对学生分析与总结问题的能力要求较高，所以难题．（多选）4．（2024•新郑市校级三模）已知f（x）＝|sinx|cosx+sin2x，则（）A．f（x）的图象关于点(π2B．f（x）的值域为[-C．f（x）在区间（0，50）上有33个零点 D．若方程f(x)=34在（0，t）（t＞0）有4个不同的解xi（i＝1，2，3，4），其中xi＜xi+1（i＝1，2，3），则x1+x2+x3+x4+t【考点】函数与方程的综合运用．【专题】整体思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【答案】AB【分析】根据题意可得f（π﹣x）＝﹣f（x），从而可对A判断；由题意可得f（x+2π）＝f（x），则2π为f（x）的一个周期，不妨讨论[0，2π]内的值域情况，从而可对B判断；令f（x）＝0，可得sinx＝0或cosx＝0，即x=12kπ（k∈Z），从而可对C判断；根据f(x)=34分情况讨论得到29π12＜t≤49π12，x1+x2+x【解答】解：对A：由f（π﹣x）＝|sin（π﹣x）|cos（π﹣x）+sin2（π﹣x）＝|sinx|×（﹣cosx）﹣（sin2x）＝﹣|sinx|cosx﹣sin2x＝﹣f（x），所以f（π﹣x）+f（x）＝0，则f（x）的图象关于(π2，对B：由f（x）＝|sinx|cosx+sin2x＝|sinx|cosx+2sinxcosx，因为f（x+2π）＝|sin（x+2π）|cos（x+2π）+sin（2x+4π）＝|sinx|cosx+2sin2x＝f（x），所以f（x）的一个周期为2π，不妨讨论[0，2π]一个周期的值域情况，当0≤x≤π2，此时sinx≥0，则f(x)=|sinx|cosx+sin2x=1因为x∈[0，π2]，所以2x∈[0，π]，则sin2x∈当π2＜x≤π，此时sinx≥0，cosx则f(x)=|sinx|cosx+sin2x=1因为x∈(π2，π]，所以2x∈（π，2π]，则sin2x∈[﹣当π＜x≤3π2，此时sinx≤0，则f(x)=|sinx|cosx+sin2x=-因为x∈(π，3π2]，所以2x∈（2π，3π]，则sin2x∈当3π2＜x≤2π，此时sinx≤0，cosx则f(x)=|sinx|cosx+sin2x=-因为x∈(3π2，2π]，所以2x∈（3π，4π]，则sin2x∈[﹣综上所述f(x)∈[-对C：f（x）＝cosx（|sinx|+2sinx），令f（x）＝0得sinx＝0或cosx＝0，可得x=12kπ（k所以31π2＜50，32π2＞50，所以f（x）在（0，对D：f（x）是以2π为周期的周期函数，当x∈（0，π]时f(x)∈则f(x)=34在（0，π]上有2个实根x1，x2，且x1与x2关于x=π当x∈（π，2π]时f(x)∈[-12，12]则f(x)=34在（2π，3π]上有2个实根x3，x4，且x3与x4关于9π4且x3=2π+π当x∈（3π，4π]时f(x)∈[-12，12]当x∈（4π，5π]时，f(x)=34有2个实根，但f（x）只需有所以29π12＜t≤49π12，又因为x1+x2+x3+x所以x1+x2+x3+x4+t的取值范围是(89π12，故选：AB．【点评】本题考查三角函数的应用，需要熟练掌握诱导公式、正弦函数的图像、二倍角的三角函数公式等知识，属于中档题．（多选）5．（2024•广东模拟）已知函数f(x)=2xA．f（x）的定义域为R B．f（x）是非奇非偶函数 C．函数f（x+2024）的零点为0 D．当x＞0时，f（x）的最大值为1【考点】函数的零点；基本不等式及其应用；函数的定义域及其求法；函数的奇偶性．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；数学运算．【答案】AD【分析】根据函数解析式有意义，列式求出f（x）的定义域，从而判断出A项的正误；由函数奇偶性的定义，判断出f（x）的奇偶性，从而判断出B项的正误；求出方程f（x+2004）＝0的根，从而判断出C项的正误；当x＞0时，利用基本不等式求出f（x）的最大值，从而判断出D项的正误．【解答】解：对于A，函数f(x)=2xx2+9的自变量x满足x2+9≠0，解得x∈R，故f（x）的定义域为对于B，因为f（﹣x）=-2x(-x)2+9=-2xx2+9=-f（对于C，f（x+2024）=2(x+2024)(x+2024)2+9，可知f（x+2024）＝0即函数f（x+2024）的零点为﹣2024，故C项不正确；对于D，当x＞0时，f（x）=2x+9x≤22x⋅所以当x＞0时，f（x）最大值为f（3）=13，故故选：AD．【点评】本题主要考查函数的定义域与奇偶性、函数零点的求法、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．（多选）6．（2024•定西模拟）已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a，g（x）＝x2﹣4|x|+2﹣a，则（）A．当g（x）有2个零点时，f（x）只有1个零点 B．当g（x）有3个零点时，f（x）只有1个零点 C．当f（x）有2个零点时，g（x）有2个零点 D．当f（x）有2个零点时，g（x）有4个零点【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．【专题】综合题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】BD【分析】做出函数y＝|2x﹣1|y＝x2﹣4|x|+2的大致图象，问题转化为y＝a与这两个函数图象交点的个数问题．【解答】解：分别令函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a＝0，g（x）＝x2﹣4|x|+2﹣a＝0，即|2x﹣1|＝a，x2﹣4|x|+2＝a，它们的根为y＝a分别与y＝|2x﹣1|和y＝x2﹣4|x|+2交点的横坐标，作出y＝|2x﹣1|和y＝x2﹣4|x|+2的大致图象，如图所示：由图可知，当g（x）有2个零点时，f（x）无零点或只有1个零点，A错误；当g（x）有3个零点时，f（x）只有1个零点，B正确；当f（x）有2个零点时，g（x）有4个零点，C错误，D正确．故选：BD．【点评】本题考查函数的零点个数的判断，考查直观想象与逻辑推理的核心素养，属于中档题．（多选）7．（2024•毕节市模拟）函数f(x)=-x2+2x，A．∃b∈R，使得g（x）的图象关于原点对称 B．若a＝﹣1，﹣1＜b＜0，则方程g（x）＝0有大于2的实根 C．若0＜a≤1，b＝1，则方程g（x）＝0至少有两个实根 D．若a≥1，b＜1，则方程g（x）＝0有三个实根【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．【专题】对应思想；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】AB【分析】由已知可得f（x）为奇函数，作出图象，当b＝0时，g（x）＝af（x）为奇函数，可判断A；由已知可得g（x）＝﹣f（x）+b，依据y＝f（x）与y＝b的图象交点个数可判断B；由y＝af（x）与y＝﹣b至多有2个交点，可判断C；当a＝1，b＝﹣3时，可得y＝f（x）与y＝﹣b只有一交点，可判断D．【解答】解：由f(x)=-x2+2x，x≥0对于A，当b＝0时，g（x）＝af（x）为奇函数，故∃b∈R，使得g（x）的图象关于原点对称，故A正确；对于B，若a＝﹣1，﹣1＜b＜0，则g（x）＝﹣f（x）+b，由g（x）＝0，可得f（x）＝b，如图，若y＝f（x）与y＝b有三个交点，存在交点的横坐标大于2，所以方程g（x）＝0有大于2的实根，故B正确；对于C，若0＜a≤1，b＝1，则由y＝f（x）图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍可得y＝af（x）的图象，如图，由g（x）＝0，可得af（x）＝﹣b，由图象，若y＝af（x）与y＝﹣b至多有2个交点，所以方程g（x）＝0至多有两个实根，故C错误；对于D，当a＝1，b＝﹣3时，由g（x）＝0，可得f（x）＝﹣b，由图象可得y＝f（x）与y＝﹣b只有一交点，故方程g（x）＝0只有一个实根，故D错误．故选：AB．【点评】本题考查了数形结合法在解决函数的零点问题的应用，属于难题．（多选）8．（2024•茂名模拟）已知x1为方程x3+x﹣1＝0的根，x2为方程x5+x﹣1＝0的根，则（）A．1+x1x2＜x1+x2 B．2＜C．x1＜x2 D．x【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑推理；直观想象；数学运算．【答案】BCD【分析】由题意可得x1、x2为函数y＝x3，y＝x5与直线y＝1﹣x的交点的横坐标，作出图象，由幂函数及一次函数的性质可得12＜x1＜x2＜1，从而可判断C；用作差法判断A；利用不等式的性质判断B；令f（x）=exx，1【解答】解：由x3+x﹣1＝0，可得x3＝1﹣x，由x5+x﹣1＝0，可得x5＝1﹣x，所以x1、x2为函数y＝x3，y＝x5的图象与直线y＝1﹣x的交点的横坐标，又因为y＝x3，y＝x5均单调递增，当0＜x＜1时，x3＞x5，如图所示：由此可知0＜x1＜x2＜1，则x1＜x2，故C正确；又因为当x=12时，y＝1﹣x=12，y＝所以12＜x1＜x2＜对于A，因为1+x1x2﹣（x1+x2）＝（1﹣x1）+x2（x1﹣1）＝（1﹣x1）（1﹣x2）＞0，所以1+x1x2＞x1+x2，故错误；所以1＜1x所以2＜1x2+对于D，令f（x）=exx，12则f′（x）=(x-1)e所以f（x）在（12，1又因为12＜x1＜x2＜所以f（x1）＞f（x2），即ex1x1＞ex2故选：BCD．【点评】本题考查了转化思想、数形结合思想，考查了幂函数的性质及导数的综合运用，属于中档题．（多选）9．（2024•雁峰区校级一模）已知函数f（x）＝x﹣tanx，x∈{x|0＜x＜5π2，x≠πA．当x∈(0，π2)B．x2+x1＜3π C．若x2＞x1，则x2﹣x1＞π D．x1sinx2+x2sinx1＜0【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．【答案】ACD【分析】A选项，作单位圆，利用面积得到tanα＞α；BC．画出y1＝tanx与y2＝x的函数图象，数形结合判断BC选项；D．不妨设x2＞x1，则3π2＞x2-π＞x1＞π，根据y=1cosx在(π，3π2)上单调递减，得到1cosx1【解答】解：A．设∠AOB=α∈(0，π2)，作出单位圆，与x轴交于A过点A作AC垂直于x轴，交射线OB于点C，连接AB，由三角函数定义可知AC＝tanα，AB=α设扇形OAB的面积为S1，则S△OAC＞S1，即12tanα＞12α当x∈(0，π2)时，有不等式tanB．画出y1＝tanx，x∈{x|0＜x＜5π2，x≠由图象可知，x1∈(π，3π2)，x2∈(2π，5π2)C．y＝tanx的最小正周期为π，由图象可知x2＞x1+π，故x2﹣x1＞π，C正确；D．不妨设x2＞x1，则3π2因为y=1cosx在所以1cosx1由x1＝tanx1，x2＝tanx2可知，x1所以x1因为x1∈(π，所以sinx1＜0，sinx2＞0，所以sinx1sinx2＜0，所以x1sinx2+x2sinx1＜0，D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想，属中档题．（多选）10．（2024•菏泽二模）函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．下列结论正确的有（）A．函数f（x）＝[x]与函数h（x）＝x﹣1无公共点 B．若x∈（0，1），则f(-C．k=123D．所有满足f(m)=f(n)(m，n∈[0，10【考点】函数与方程的综合运用．【专题】数形结合；函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；直观想象．【答案】ABD【分析】作出函数f（x）＝[x]与函数h（x）＝x﹣1的图像，即可判断A；根据x的取值范围，分别求出f(-x)+12，-(f(x)+12)的值，判断B；对k的取值分类讨论，即可判断C；对m，【解答】解：函数f（x）＝[x]与函数h（x）＝x﹣1的图像如图所示，由图可得函数f（x）＝[x]与函数h（x）＝x﹣1无公共点，A正确；若x∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f(--(f(x)+12)=-(0+1当k∈{k|1≤k≤6，k∈N}时，f(k当k∈{k|7≤k≤13，k∈N}时，f(k当k∈{k|14≤k≤20，k∈N}时，f(k当k∈{k|21≤k≤23，k∈N）}时，f(k当k∈{k|1≤k≤7，k∈N}时，f(-当k∈{k|8≤k≤14，k∈N}时，f(-当k∈{k|15≤k≤21，k∈N}时，f(-当k∈{k|22≤k≤23，k∈N}时，f(-k=123f(-当m∈[0，1）时，n∈[0，1），f（m）＝f（n）＝0，此时（m，n）组成区域的面积为1，当m∈[1，2）时，n∈[1，2），f（m）＝f（n）＝1，此时（m，n）组成区域的面积为1，当m∈[2，3）时，n∈[2，3），f（m）＝f（n）＝2，此时（m，n）组成区域的面积为1，当m∈[3，103)时，n∈[3，103此时（m，n）组成区域的面积为(10综上点所述，（m，n）组成区域的面积为1×3+1故选：ABD．【点评】本题主要考查命题真假的判断、函数的新定义，解题的关键是理解新符号的含义，考查学生数形结合的能力和作图能力，属于难题．

考点卡片1．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2x2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x＜解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=x用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2的最值是这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2x+8-2x当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1=(x+1)当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（当且仅当技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．2．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．3．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．4．函数的零点【知识点的认识】一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解题方法点拨】解法﹣﹣二分法①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）【命题方向】零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．5．函数零点的判定定理【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．6．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．7．函数与方程的综合运用【知识点的认识】函数与方程的综合运用是指结合函数的性质和方程的解法解决复杂问题．【解题方法点拨】﹣函数性质：分析函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质．﹣方程求解：利用函数性质建立方程，求解方程根．﹣综合应用：将函数性质和方程求解结合，解决实际问题．【命题方向】常见题型包括函数性质和方程解法的综合运用，解决复杂的数学问题．8．分段函数的应用【知识点的认识】分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．【解题方法点拨】正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件8000100-p元，预计年销售量将减少p（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，年销售收入为8000100-p（11.8﹣p政府对该商品征收的税收y=8000100-p（11.8﹣p）p故所求函数为y=80100-p（11.8﹣p由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得80100-p（11.8﹣p）p≥化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）=8000100-p（11.8﹣p）（2≤p≤∵g(p)=8000100-p(11.8-p)=800(10+882100-p∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大．这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．【命题方向】修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．9．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y=kx（k＞0）型，增长特点是y随③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a