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数列无穷小与极限

数列是指定义在正整数集上的函数数列简记为例如,简记为简记为简记为

极限与连续数列的定义域正整数集是无限集,没有最大正整数.

即对任意给定的正数C,总存在正整数N,使得

依次取

在几何上,数列可以看作数轴上的一个动点,

数列的变化过程包含两个相关的无限过程:n的主动变化过程是自变量n的主动变化过程和因变量的被动变化过程.即n从1开始,不断增大(每次加1,无限重复).我们将n的这种变化过程称为n趋于无穷大,记为考察数列越来越接近坐标原点0.

变化趋势.对于数列我们主要研究当时的在数轴上,随着n从1开始不断增大,点与点0的接近程度,即先给定一个正数,记之为

我们用比较法描述点然后比较

与

的大小.注意

等价于而在所有正整数中,大于的正整数有无限多个,

我们从中任意选定一个,记之为N,即于是当时,有即数列从某一项(第N+1项)开始,每一项与极限是

常数0的距离都小于

我们把具有这种特征的数列称为无穷小,也说它的

定义2.1(数列极限的定义)

如果使得当时,不等式成立,记作设为数列,或称数列是无穷小.

则称当时数列的极限是0,

如果存在某个常数A,使得

则称当时数列的极限是A,

或称数列收敛于A.

记作如果不存在这样的常数A,使得

则称数列没有极限,

或称数列发散.

例2.1对任意的证明证所以

要使

只要

即

取正整数

定理2.1(无穷小比较定理)

证使得对于所有正整数

n,

由定义,A是常数.如果存在正数C,设则故证及无穷小比较定理,有例2.3证明证注意到及无穷小比较定理,有由

例2.4证明证令由二项式定理,有

及无穷

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