工程力学I课件：杆件横截面上的应力分析

杆件横截面上的应力分析5.1应力与应变5.2拉（压）杆横截面上的应力5.3泊松比圣维南原理应力集中5.4拉（压）杆斜截面上的应力切应力互等定理5.5受扭圆轴横截面上的应力5.6弯曲梁横截面上的应力问题提出两杆横截面上的轴力始终相同，完成了杆件的内力分析，还不足以解决杆件的强度问题。解决杆件的强度问题，还须对杆件进行应力分析。两根拉杆：材料相同，粗细不同，拉力相同并同步增大。细杆先被拉断。5.1应力和应变一、应力1、平均应力：

△A上的内力平均集度为:

当△A趋于零时，pm

的大小和方向都将趋于某一极限值。2、某点的应力：p称为该点的应力，它反映内力系在该点的强弱程度，p是一个矢量。

p一般来说既不与截面垂直，也不与截面相切，对其进行分解垂直于截面的应力分量:σ相切于截面的应力分量:τσ

正应力τ

切应力1KPa=1000Pa1MPa=1000KPa1GPa=1000MPa3、正应力与切应力二、位移与应变

构件在外力作用下尺寸和形状的改变，称为变形

构件在其变形的同时，其上的点、面相对于初始位置的变化，称为位移

所有变形后的单元体组合起来就是变形后的构件形状，反映出构件的整体变形。单元体：各边边长为无限小的正六面体1、位移正应变线应变切应变角应变切应变的单位是rad2、应变7三、胡克定律试验表明，对于工程中常用材料制成的杆件：1、在弹性范围内加载时2、单元体只承受单方向正应力或只承受切应力结论：正应力与线应变以及切应力与切应变之间存在线性关系。τγOσxεxOE-材料的杨氏弹性模量G-材料的切变模量5.2拉（压）杆横截面上的应力一、

实验现象平面假设轴向拉伸实验实验现象(1)各横向线仍保持直线，任意两相邻横向线沿轴线发生相对平移；(2)横向线仍然垂直于纵向线，纵向线仍然保持与杆件的轴线平行，原来的矩形网格仍为矩形。平面假设:变形前原为平面的横截面，变形后仍然保持为平面

。

横截面上各点处仅有正应力s，

并沿截面均匀分布。设横截面的面积为A，由静力学关系：其中：σ（符号规定：拉为正、压为负）FN为杆件横截面上的轴力

A为杆件横截面面积。拉（压）杆横截面上正应力的计算公式适用条件：弹性体，符合胡克定律；轴向拉压；离杆件受力区域较远处的横截面（2）对于杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆：（1）公式也适用于FN为压力时的应力计算。但要注意对于细

长压杆受压时容易被压弯，属于稳定性问题（这一内容

将在后面专门研究），这里所指的是受压杆未被压弯的

情况。例5-1阶梯杆OD,左端固定，受力如图所示，OC段的横截面面积是CD段横截面面积A的两倍,求杆内最大的轴力和最大正应力的大小及其位置。解：1、画出轴力图FNmax=3F

在OB段，拉力2、计算应力最大应力位于CD段最大轴力的位置并不一定是最大应力的位置。例题5-2起吊三角架如图所示，已知杆AB由两根横截面面积为A的角钢制成，设A=10.86cm2,F=130kN,a=30°。求杆AB横截面上的应力。2)计算sAB解：1）以节点A为研究对象，列平衡方程拉例5-1等截面直杆的直径，受载如图所示，其中：

，，，。试求杆的最大正应力。解：1.画轴力图，确定杆件内各截面的轴力。画出杆件的轴力图如图所示。由轴力图可知，杆件的BC段的轴力最大，且2.求最大正应力。BC段轴力是压力，故得到的应力是压应力。例5-3起重吊环的尺寸如图所示，若起吊重量

，试求吊环内的最大正应力。分析：从吊环的受力情况和截面法可知，轴力沿吊环轴线是不变的，故最大正应力必然发生在最小横截面上。解：2.求吊环的最小横截面面积。1.求吊环的轴力。由截面法易知，吊环的轴力为：分别计算孔ϕ22处、销子处和接近凹槽底部处的横截面面积A1、

A2和A3：故吊环的最小横截面面积3.求吊环内的最大正应力。吊环内的最大正应力5.3泊松比圣维南原理应力集中一、泊松比纵向应变横向应变通过试验发现，在弹性范围内：泊松比对于各向同性材料，有：二、圣维南原理

当杆端承受集中载荷或其他非均匀分布的载荷时，杆件并非所有的横截面都保持平面，从而产生均匀的轴向变形，这种情况下，

公式：并不对杆件所有横截面都适用。圣维南原理:将原力系用静力等效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略远处，该影响就非常小。有限元分析的圣维南原理三、应力集中

由圣维南原理知，等直杆受轴向拉伸或压缩时，在离开外力作用处较远的横截面上的正应力是均匀分布的。但是，如果杆截面尺寸有突然变化，比如杆上有孔洞、沟槽或者制成阶梯时，截面突变处局部区域的应力将急剧增大，但在离开圆孔或切口稍远处，应力就迅速降低且趋于均匀。

由于截面急剧变化所引起的应力局部增大现象，称为应力集中。理论应力集中系数α

应力集中处的最大应力。由解析理论、实验或数值方法确定。削弱以后横截面上的平均应力。不考虑应力集中条件下求得的应力值。实验结果表明：截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小，应力集中的程度就越严重。应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。应力集中能促使疲劳裂纹的形成和扩展，因而对构件的疲劳强度影响极大。

不同材料的实验表明，拉压杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时沿斜截面发生。5.4拉压杆斜截面上的应力切应力互等定理斜截面的方位角

：以x轴为始边，以外法线轴n为终边，逆时针转向的

角为正，反之为负。

斜截面上的全应力

切应力的正负号：围绕所取分离体顺时针转向的为正结论：切应力互等定理:过同一个点的两个相互垂直的平面上，切应力必成对出现，方向垂直要两个平面的交线，大小相等，符号相反（指向相对或者相悖）（1）a=0时，即横截面上只有正应力没有切应力。（2）受拉（压）杆斜截面上的正应力是关于a的函数，且a=0时（横截面）正应力为最大值，即（3）受拉（压）杆斜截面上的切应力是关于a的函数，且a=45o时切应力为最大值，即（4）将a

、

带入式（b），可得例：已知阶梯形直杆受力如图所示，杆各段的横截面面积分别为A1=A2=2500mm2，A3=1000mm2，杆各段的长度如图。求(1)杆AB、BC、CD段横截面上的正应力(2)杆AB段上与杆轴线夹45°角(逆时针方向)斜截面上的正应力和切应力。解(1)计算各杆段横截面上的正应力利用截面法求出各段轴力(步骤略)AB段BC段CD段解(2)计算杆AB斜截面上的正应力和切应力5.5受扭圆轴横截面上的应力扭转实验实验现象（1）所有轴向线仍近似为直线，且都倾斜了相同的微小角度γ。（2）所有圆周线保持原有的大小、形状及其相互之间的距离，

在横截面内绕轴线转过了一个角度φ，称为扭转角。（3）变形前矩形abcd，变形后错动成平行四边形

发生了剪切变形。一、

实验现象平面假设平面假设：圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍为大小相同的平面，其半径仍保持为直线；且相邻两横截面之间的距离不变。扭转圆轴横截面上无正应力，只存在切应力。二、受扭圆轴横截面上切应力的计算公式1、变形几何关系其中表示扭转角沿轴线长度方向的变化率。同一截面上为常数，因此与成正比2、物理关系在剪切比例极限内由于发生在垂直于半径的平面内，所以也应与半径垂直。3、静力关系微剪力t(ρ)dA其对圆心的微力矩

(t(ρ)dA)r横截面上所有微力矩之和等于扭矩，即记——截面极惯性矩——受扭圆轴横截面上切应力的计算公式其中：T为横截面上的扭矩Ip为横截面的极惯性矩r为所求切应力点到圆心的距离公式的适用条件等直圆轴线弹性范围4、受扭圆轴横截面上的最大切应力对某一横截面而言，T为常数，Ip

也是常数，因此横截面上的切应力是r

的线性函数圆心处r=0

t=0外表面r=r

max

t=tmax记——抗扭截面系数5、受扭圆轴横截面上切应力的分布规律二、截面极惯性矩和抗扭截面系数1、实心圆轴2、空心圆轴内外径之比:3、薄壁圆筒内外径之比:R0——平均半径

δ

——壁厚横截面上的切应力(认为均匀分布):例5-4-1一直径为的实心圆轴，受到扭矩作用。试求在距离轴心

处的切应力，并求轴横截面上的最大切应力。解：2.求τ(ρ)及τmax1.求截面的极惯性矩和抗扭截面系数例5-4-2如将上题中的实心圆轴改为内、外径之比为

的空心圆轴，若两轴的最大切应力相等，求此时空心圆轴的外径，并比较实心轴和空心轴的重量。解：1.求空心圆轴的外径记空心轴的外径为D1，则由题意有：故空心轴的外径2.比较实心轴和空心轴的重量由于两轴长度相等、材料相同，故两轴重量之比等于横截面面积之比：可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量只有实心轴的78%，说明空心截面比实心节省材料。如果将空心截面改为薄壁截面，可以发现节省材料的效果更为明显。但是如果壁太薄，轴可能由于皱褶失稳破坏。例5-5图示圆截面阶梯轴，AB与BC段的直径分别为d1与d2，且

，材料的切变模量为G。试求轴内的最大切应力。解：（1）作扭矩图,可得（2）计算最大切应力，

故得轴内的最大切应力5.6弯曲梁横截面上的应力AC、DB段既有剪力又有弯矩，横截面上同时存在正应力和切应力，这种情况称为横力弯曲。CD段只有弯矩，横截面上就只有正应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲。剪力FS是相切于横截面的内力系的合力；弯矩M是垂直于横截面的内力系的合力。剪力FS只与横截面上的切应力t

有关；弯矩M只与横截面上的正应力s

有关。

弯曲内力分量与应力分量的关系一、纯弯曲梁横截面上的应力1.实验现象及平面假设变形前变形后（1）纵向线都弯曲成弧线，凸边弧线长度增加，而凹边弧线长度减小。（2）横向线仍为直线，但相对原来的位置转过了一个角度，且仍与纵向线正交。现象

由于弯曲的作用，上部纤维缩短，下部纤维伸长。

中间必有一层保持原长，这一层称为:中性层。变形后中性层和横截面的交线（cc），称为中性轴。平面假设：变形前为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕横截面内某一条直线转过一个角度。单向受力假设：梁内各纵向纤维仅受到单向拉伸或压缩，彼此间互不挤压、互不牵拉。假设梁横截面上各点存在正应力梁的横截面上各点切应力为零结论2.变形几何关系从纯弯曲梁中沿轴线取dx的微段:中性层位于O’O’mm’变形前长度:mm’变形后长度:mm’位置的线应变:表明:距离中性层为y的任一纵向纤维的线应变与y

成正比。

r

为中性层曲率半径，

系一待定常数。3.物理关系

纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或者压缩，小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于单向应力状态。代入几何关系得到

梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时，有

这表明：梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按线性规律变化。4.静力学关系微面积上的微内力σ(y)dA

组成一与梁轴线平行的空间平行力系。因横截面上只有弯矩M，故有:z轴(中性轴)过截面形心因为y轴为截面纵向对称轴（自动满足）1/r为梁轴线的曲率EIz为梁的抗弯刚度此即为梁纯弯曲时横截面上正应力的计算公式

纯弯梁横截面内正应力s随高度y呈线性分布，以中性层为界，一侧受拉，另一侧受压。受压一侧正应力为负受拉一侧正应力为正——梁纯弯曲时横截面上正应力的计算公式5.纯弯曲梁横截面上的正应力及其分布适用条件平面弯曲弹性范围

6、梁横截面上的最大正应力梁横截面上的最大正应力发生在距离中性轴的最远处，即记——抗弯截面系数

7、梁的抗弯截面系数实心矩形截面实心圆截面其他形状的截面及型钢几何性质可参见附录例5-6矩形截面梁AB受载及截面尺寸分别如图(a)、(b)所示。试求梁A端右侧截面上a、b、c、d四点处的正应力。解：1.求梁A端右侧

截面上的弯矩画梁的弯矩图如图(c)所示。可知梁为纯弯曲，梁A端右侧截面上的弯矩：2.求横截面的惯性矩Iz

和抗弯截面系数Wz3.求各点的正应力（拉应力）（拉应力）点c在中性轴上，故点d和点a关于中性轴对称，故（压应力）二、横力弯曲时横截面上的应力横力弯曲时，梁横截面上的弯矩随截面位置的不同而变化。确定最大正应力要综合考虑弯矩值、截面的形状和尺寸，按下式计算：横力弯曲时，由于剪力的作用使梁发生了非均匀分布的切应力，梁的横截面将不再保持平面而发生翘曲。在细长梁(梁的跨度与截面高度之比大于5)情况下，用上式计算结果能够满足一般工程问题的精度要求。但对于短粗梁，则需要采用弹性力学或有限元分析等其他方法进行求解。例5-7图(a)示大梁由NO.50a工字钢制成，跨中作用一集力

。试求梁危险截面上的最大正应力以及翼缘与腹板交界处的正应力。解：1.画梁的计算简图并求支座反力画梁的计算简图如图(b)所示。支座反力：2.画梁的弯矩图，确定危险截面画梁的弯矩图如图(c)所示。故截面C为危险截面，且3.由附录Ⅰ查得型钢相关参数。查得NO.50a工字钢的相关参数为：惯性矩：4.求弯曲正应力危险截面C上的最大正应力危险截面C上翼缘与腹板交界处的正应力抗弯截面系数：翼缘与腹板交界处到中性轴的距离：三、弯曲切应力横力弯曲时，梁的横截面上既有弯矩又有剪力，因此梁的横截面上除正应力外，还有切应力。弯曲切应力的分布规律要比正应力复杂。横截面形状不同，弯曲切应力分布情况也随之不同。对形状简单的截面，可以直接就弯曲切应力的分布规律作出合理的假设，然后利用静力关系建立起相应的计算公式。但对于形状复杂的截面，需借助弹性力学理论或实验比拟方法来进行研究。本节介绍几种常见的简单形状截面梁弯曲切应力的分布规律，并直接给出相应的计算公式。61/681.矩形截面梁儒拉夫斯基假设（1）截面上任意一点的切应力

t的方向和

该截面上的剪力FS的方向平行。（2）切应力沿宽度均匀分布，即t的大小只

与距离中性轴的距离有关，而与截面

宽度无关。61/68矩形截面梁横截面上的切应力计算公式根据上述假设，可得矩形截面梁横截面上纵坐标为y的任意一点的弯曲切应力的计算公式：其中：Fs为横截面上的剪力

Sz*为梁横截面上距中性轴为y的横线以外

部分的面积（图中A1*）对中性轴的静矩

的绝对值

b为横截面宽度Iz为整个横截面对中性轴z的惯性矩（1）沿截面高度，弯曲切应力的大

小按图示的抛物线规律变化。（2）在上、下边缘各点处，

弯曲切应力为零。（3）在中性轴上的各点处(y=0)，切

应力最大，且最大切应力为：这表明：其中：A=bh为横截面面积。即：矩形截面梁的最大切应力为横截面上名义平均切应力的1.5倍。2.工字形截面梁工字形截面由翼缘和腹板组成上翼缘下翼缘腹板由于腹板截面是狭长矩形，因此儒拉夫斯基假设仍然适用。即：若要计算腹板上距中性轴y处的切应力，Sz*是图中黄色部分面积对中性轴的静矩。