高等数学教程（第4版）课件：曲率_第1页
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曲率4.8.1弧长的微分

单调增函数弧长的微分（简称弧微分）.曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量.))弧段弯曲程度越大转角相同弧段越短1.曲率的定义)转角越大弯曲程度越大4.8.2曲率及其计算公式

设曲线C是光滑的,曲线的弯曲程度与转角成正比,与弧长成反比.定义4.4

)yxo（则称其极限值为曲线C在点M处的曲率.曲率

曲率的计算公式由曲率的计算公式得设曲线由参数方程给出,

因所以所以直线的曲率恒为零.证明：例4.48证明：直线的曲率恒为零.不妨设圆的参数方程为证明：例4.49证明：圆上各点处的曲率等于半径的倒数.于是曲率为例4.50求抛物线上曲率最大的点.解显然,当时,k最大.所以,抛物线在顶点处的曲率最大.定义4.5

使曲率中心,曲率半径.设曲线

y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为k(k≠0).在点M处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,称此圆为曲线在点M处的曲率圆.4.8.3曲率圆与曲率半径以D为圆心,为半径作圆(如图).(1)曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的(2)曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处(3)曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点注曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).的曲率越小(曲线越平坦

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